安徽省安庆市岳西县汤池中学2021-2022学年高一下学期第三次段考数学试题（含答案）

汤池中学2021~2022学年度第二学期高一第三次段考

数学

本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

2．如图，在正方体中，O为底面的中心，P是的中点，Q是上的点，且平面平面，则（    ）

A．Q与C重合    B．Q与重合    C．Q为的中点    D．Q为的三等分点

3．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则（    ）

A．    B．    C．或    D．或

4．已知向量，则在上的投影向量的模为（    ）

A．    B．    C．    D．1

5．圆台的母线长为3，两底面半径分别为1，2，则圆台的侧面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

6．若l，m为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

7．如图，无人机在离地面高的A处，观测到山顶M处的仰角为、山脚C处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．已知O为的外接圆圆心，且，则的值为（    ）

A．    B．    C．    D．2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设复数，则（    ）

A．    B．z的实部为1    C．z的虚部为2    D．z的共轭复数为

10．在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．

11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则

B．若，则是钝角三角形

C．若，则为等腰三角形

D．若，则符合条件的有两个

12．如图，正方体中E，F，G分别为的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．直线与直线垂直

B．直线与平面平行

C．点C与点G到平面的距离相等

D．平面截正方体所得大小两部分的体积比为号

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为___________．

14．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则的外接圆半径为___________．

15．如图，是边长为4的正方形，若，且F为的中点，则______．

16．正四棱柱中，与平面所成角的正弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为______________．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知向量满足．

（1）求；

（2）若，求实数k的值．

18．（12分）

如图，已知圆锥的底面半径为4，母线长为8，P为母线的中点．

（1）求圆锥的表面积和体积；

（2）若为底面直径，求沿圆锥表面，点P到点B的最短距离．

19．（12分）

如图，四棱锥中，底面，四边形为菱形，，E，F分别是的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）当时，求多面体的体积．

20．（12分）

内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）若，求面积的最大值．

21．（12分）

在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答，

问题：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，__________，求A和B．

注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．

22．（12分）

如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，．

（1）证明：平面；

（2）当的长为何值时，二面角的大小为？

高一数学参考答案

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．    14．    15．5    16．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．解析：（1）．

（2）由题意可得，即，

∴，解得或2．

18．解析：（1）∵圆锥的底面半径为4，母线长为8，∴．

由，解得，

∴圆锥的体积为．

（2）沿着母线，把圆锥的侧面展开，如图所示，

设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，则，

∴，

∴圆锥面上P点到B点的最短距离为．

19．解析：（1）由已知得是正三角形，E是的中点，∴，

∵，∴，

∵平面，平面，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（2）∵，

，，，

∴，，∴．

20．解析：（1）由已知及正弦定理得，

∴，即，

∵，∴，∴．

（2）由余弦定理得，

∵，当且仅当时取等号，∴，∴，

∴的面积为，即面积的最大值为．

21．解析：选择条件①，由及正弦定理知，整理得，由余弦定理可得，

∵，∴；

选择条件②，由及正弦定理得

，

又，

∴，∴，∴，∴；

选择条件③，由及正弦定理得

∵，∴，解得，

∵，∴；

由得，

即，整理得，

∵，∴，

∴或，解得或．

22．解析：（1）过点E作交于点G，连接，则四边形为矩形，

∵四边形为矩形，∴，∴四边形为平行四边形，∴．

∵平面，平面，∴平面．

（2）过点B作交的延长线于点H，连接．

由平面平面，，得平面，

从而，∴为二面角的平面角．

在中，∵，∴，

∵，∴，∴，∴．

∵，

∴当为时，二面角的大小为．