四川省成都市第八中学校2023届高三第一次摸底考试文科数学试卷（含答案）

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这是一份四川省成都市第八中学校2023届高三第一次摸底考试文科数学试卷（含答案），共12页。
成都八中高2020级高三第一次摸底考试文科数学总分: 150分单选题（5分*12）1. 设集合 , 则A. B. C. D.2. 设 , 则（）A.0 B. C.1 D.3. 在中, 内角的对边分别为, 且, 则的形状是 ( )A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形4. 已知实数满足约束条件, 则的最大值为 ( ).A.3 B.0 C. D.5. 已知某几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的表面积等于（）A. B.160 C. D.6. 执行如图所示的程序框图, 若输入 , 则输出的值是 ( )A.322 B.161 C.91 D.807. 函数的图象可能是（）A. B.C. D.8. 我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”. 已知椭圆为“最美椭圆”, 且以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 4, 则椭圆的方程为（ ).A. B.C. D.9. 已知函数 , 则的大小关系是（）A. B.C. D.10. 某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差, 计算完毕才发现有个同学的分数还末录入, 只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为 , 新平均分和新方差分别为, 若此同学的得分恰好为, 则 ( )A. B.C. D.11. 设双曲线的左、右焦点分别为, 过且斜率为的直线与双曲线的右支交于点. 若, 则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.312. 已知定义在上的偶函数的导函数为, 当时,, 且, 则不等式的解集为（）A. B.C. D.填空题（20分）填空题13已知 , 则__________14若向量满足, 则___________15 若函数存在单调递增区间, 则的取值范围是____________16 如图所示, 在长方体中,, 点是棱上的一个动点, 若平面交棱于点, 给出下列命题:①四棱锥的体积恒为定值;②存在点 , 使得平面;③对于棱上任意一点, 在棱上均有相应的点, 使得平面;④存在唯一的点 , 使得截面四边形的周长取得最小值.其中真命题的是_____________ . (填写所有正确答案的序号)解答题17.（12分）设是公比为正数的等比数列.(I) 求的通项公式;(II) 设是首项为 1 , 公差为2的等差数列, 求数列的前项和.18（12分）某高校共有 15000 人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（1）应收集多少位女生样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附：19. 解答题（12分）如图, 四边形为正方形,平面, 点分别为的中点（I）证明：平面;（II）求点到平面的距离.20. 解答题（12分）已知为椭圆的左、右焦点, 点为其上一点, 且.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点的直线与椭圆相交于两点, 点关于坐标原点的对称点, 试问的面积是否存在最大值? 若存在, 求出这个最大值; 若不存在, 请说明理由.21. 解答题（12分）已知函数 .(1) 求函数的单调区间;(2) 若恒成立, 求的值.22. 解答题（10分）在直角坐标系中, 曲线的参数方程为, (为参数). 以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;(2)若直线过点且与直线平行, 直线交曲线于两点, 求的值.23. 解答题（10分）已知为正数, 且满足. 证明:(1) ;(2) .
参考答案 1. A根据题意,则。故选: A。2. C . 故选 C.3. B由题意, 4. B5. D 由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为 4 的直角三角形, 高为 8 ,即 ,,该几何体的表面积为6. B 第一次执行循环体后, , 不满足退出循环的条件;第二次执行循环体后, , 不满足退出循环的条件;第三次执行循环体后, , 不满足退出循环的条件;第四次执行循环体后, , 不满足退出循环的条件;第五次执行循环体后, , 满足退出循环的条件.故输出值为 161 ,故选: .7. D令 , 所以为奇函数 (1); 当,时,可正可负, 所以可正可负. 所以可知, 选 D.8. D9. A 因为函数 , 所以所以为上的减函数,因为 ,所以 , 即.故选： 10. C 设这个班有个同学, 数据分别是,第个同学没登录,第一次计算时总分是 ,方差是第二次计算时, ,方差故 ,故选: .11. D 直线的斜率为, 且,, 即, 又,故选：D.12. A因为当时,, 所以.令 , 则, 所以在上单调递减,因为是定义在上的偶函数, 所以是上的奇函数,又因为是的导函数，所以的图象连续, 故在上单调递减.因为 , 所以,所以当时,等价于, 解得;当时，等价于, 解得.综上可知, 不等式的解集为填空题答案解析(1)或(2)(3)(4)①②④ (1) 利用诱导公式求出正切函数值，化简所求的表达式为正切函数的形式，求解即可.利用"”的代换，化简函数的表达式为正切函数的形式，代入求解即可. (2) (3)存在单调递增区在上有解, 即在上有解, 令, 则当时,单调递增, 当时,单调递减,又,当时,,令, 则当时,, 函数单调递减；当时,, 函数单调递增,, 即恒成立, 此时不满足题意.的取值范围是故答案为:. (4) 对①, 由,平面,可得到平面的距离为定值, 可得四棱锥的体积为定值, 故 ①对;, 可得对角面为正方形, 可得,若, 由三垂线定理可得, 即有平面, 故②对;对于③, 可作出过的平面与平行, 由面面平行的性质定理可得存在无数个点, 在棱上均有相应的点, 使得平面,同理可得也存在无数个点, 对棱上任意的点, 直线与平面均相交, 故③错误.对于④, 由面面平行的性质定理可得四边形为平行四边形,由对称性可得当四边形为菱形时，周长取得最小值, 存在唯一的点,使得截面四边形的周长取得最小值, 故④正确; 17 (I)(II) 解：(I) 设是公比为正数的等比数列设其公比为" 解得或的通项公式为(II) 是首项为 1 , 公差为 2 的等差数列数列的前项和 18(1)应收集 90 位女生的样本数据(2)(3)见解析解: (1) 由 , 所以应收集 90 位女生的样本数据.(2) 由频率发布直方图得 , 该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率为(3) 由 (2) 知, 300 位学生中有人的每周平均体育运动时间超过 4 小时, 75 人平均体育运动时间不超过 4 小时, 又因为样本数据中有 210 份是关于男生的, 90 份是关于女生的, 所以平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得有的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关” 19(I) 见解析(II) (I) 证明: 取点是的中点, 连接, 则, 且,且,且,四边形为平行四边形,平面.(II) 解: 由 (I) 知平面, 所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的, 故转化为求点到平面的距离, 设为.利用等体积法: , 即, 20(1).(2)见解析解: (1) 设椭圆的标准方程为 , 则解之得:所以椭圆的标准方程为.(2) 如图所示, 设直线 ,则消去整理得，设的面积为,则 , 令, 则, 又设, 则,在上为增函数,, 21（1）函数的单调减区间为, 单调增区间为.（2）【详解】(1) 依题意, , 令, 解得, 故, 故当时, 函数单调递减, 当时, 函数单调递增; 故函数的单调减区间为, 单调增区间为.(2) , 其中,由题意知在上恒成立,,由 (1) 可知, ,, 记, 则, 令, 得.当变化时,的变化情况列表如下:, 故, 当且仅当时取等号,又 , 从而得到.22（1） .（2）2 (1) 因为曲线的参数方程为, (为参数), 所以曲线的普通方程为.由 , 得, 即,因为 , 所以直线的直角坐标方程为.(2) 因为直线的斜率为, 所以的倾斜角为,所以过点且与直线平行的直线的方程可设为(为参数).设点对应的参数分别为, 将代入, 可得, 整理得, 则,所以 . 23解: (1) 当且仅当时取等号, 即:(2) , 当且仅当时取等号又 (当且仅当时等号同时成立)