人教A版高考数学一轮总复习课时质量评价44两条直线的位置关系课时质量评价含答案

课时质量评价(四十四)

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．点P在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为(　　)

A．  B．2  C．  D．2

B　解析：点O到x＋y－4＝0的距离d＝＝2，所以|OP|的最小值为2.

2．(2020·蚌埠高三期末)过直线x＋y－3＝0和2x－y＝0的交点，且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程为(　　)

A．4x＋2y－3＝0 

B．4x－2y＋3＝0

C．x＋2y－3＝0 

D．x－2y＋3＝0

D　解析：由题意得解得直线2x＋y－5＝0的斜率为－2，

故其垂线的斜率为，所以所求直线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.故选D．

3．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　　)

A．x＋y＋1＝0

B．x－y＋1＝0

C．x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0

D．x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0

C　解析：设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.

令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝.

由＝，得λ＝或λ＝.

所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.

4．(多选题)(2020·南京期末)下列说法正确的是(　　)

A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示

B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线

C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)

D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0

BD　解析：对于A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程＋＝1表示，所以A不正确；

对于B，当m＝0时，平行于y轴的直线方程形式为x＝2，所以B正确；

对于C，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tan θ(x－1)表示，所以C不正确；

对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据∥可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正确．故选BD．

5．(多选题)已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论错误的是(　　)

A．不存在k，使得l2的倾斜角为90°

B．对任意的k，l1与l2都有公共点

C．对任意的k，l1与l2都不重合

D．对任意的k，l1与l2都不垂直

AC　解析：对于选项A，存在k＝0，使得l2的方程为x＝0，其倾斜角为90°，故选项A错误．

对于选项B，直线l1：x－y－1＝0过定点(0，－1)，直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)⇒k(x＋y＋1)＋x＝0过定点(0，－1)，故选项B正确．

对于选项C，当k＝－时，直线l2的方程为x－y－＝0，即x－y－1＝0，l1与l2重合，故选项C错误．

对于选项D，若两直线垂直，则1×(k＋1)＋(－1)×k＝0，方程无解，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故选项D正确．故选AC．

6．过点(－1,2)且与直线2x－3y＋9＝0垂直的直线方程为________________．

3x＋2y－1＝0　解析：因为直线2x－3y＋9＝0的斜率为，所以直线l的斜率为－，

则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，化简得3x＋2y－1＝0.

7．点(2,1)关于直线x－y＋1＝0的对称点为________．

(0,3)　解析：设对称点为(x0，y0)，则解得

故所求对称点为(0,3)．

8．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,4)，B(1,2)，C(－2,3)，则BC边上的高AD所在直线的斜率为________．

3　解析：直线BC的斜率为k＝＝－. 因为BC⊥AD，所以kBC·kAD＝－1，则kAD＝3.

9．直线l1：y＝mx＋1，l2：x＝－my＋1相交于点P，其中|m|≤1.

(1)求证：l1，l2分别过定点A，B，并求点A，B的坐标；

(2)求△ABP的面积S；

(3)m为何值时，S最大？

(1)证明：在直线l1的方程中，令x＝0，可得y＝1，则直线l1过定点A(0,1)；

在直线l2的方程中令y＝0，可得x＝1，则直线l2过定点B(1,0)．

(2)解：联立直线l1，l2的方程

解得

即点P.

|AP|＝＝，

|BP|＝＝.

由题意可知l1⊥l2，所以AP⊥BP.

因为－1≤m≤1，所以S＝|AP|·|BP|＝＝＝.

(3)解：因为S＝，且－1≤m≤1，

因此，当m＝0时，S取得最大值，即Smax＝.

B组　新高考培优练

10．已知直线l1：2x－y＋3＝0，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0.若点M同时满足下列条件：

(1)点M是第一象限的点；

(2)点M到l1的距离是到l2的距离的；

(3)点M到l1的距离与到l3的距离之比是∶.

则点M的坐标为(　　)

A． B．

C．   D．

D　解析：设点M(x0，y0)，若点M满足(2)，则＝×，故2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.若点M(x0，y0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得＝×，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，故x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.由于点M(x0，y0)在第一象限，故3x0＋2＝0不符合题意，联立方程得解得不符合题意；联立方程得解得即点M的坐标为.

11．已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，则＋的最小值为(　　)

A． B． 

C．1 D．9

B　解析：因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0.设点Q(4,0)到直线l的距离为d，当d＝|PQ|时取最大值，所以＝3，解得m＝0.所以a＋c＝2.则＋＝(a＋c)·＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时取等号．

12．若△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________________．

6x－5y－9＝0　解析：由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，可得kAC＝－2.

又A(5,1)，所以AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，联立直线AC与直线CM的方程得解得所以顶点C的坐标为(4,3)．

设B(x0，y0)，则AB的中点M为.

由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0.

由B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0.

联立解得

所以顶点B的坐标为(－1，－3)．

于是直线BC的方程为y＋3＝(x＋1)，即6x－5y－9＝0.

13．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是________________．

6x－8y＋1＝0　解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b.将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b.将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b.所以b＝3－4k＋b，解得k＝.所以直线l的方程为y＝x＋b，直线l1的方程为y＝x＋＋b.取直线l上的一点P，则点P关于点(2,3)的对称点为，所以6－b－＝(4－m)＋b＋，解得b＝.

所以直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋1＝0.

14．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．

(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；

(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.

证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．

方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，

所以解得

故直线经过的定点为M(2，－2)．

(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.

但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，

所以M与Q不可能重合，即|PM|＝4，

所以|PQ|<4，故所证成立．