人教A版高考数学一轮总复习课时质量评价16导数与函数的单调性课时质量评价含答案

课时质量评价(十六)

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．函数f (x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是(　　)

A．(0，＋∞) B．(－∞，0)

C．(－∞，1) D．(1，＋∞)

D　解析：由题意知f ′(x)＝ex－e.令f ′(x)>0，解得x>1.故选D．

2．若函数f (x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞)

B．∅

C．(－2,2)

D．(－3，－1)∪(1,3)

D　解析：由f (x)＝x3－12x，得f ′(x)＝3x2－12.

令f ′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.只要f ′(x)＝0的解有一个在区间(k－1，k＋1)内，函数f (x)在区间(k－1，k＋1)上就不是单调函数，则k－1<－2<k＋1或k－1<2<k＋1，解得－3<k<－1或1<k<3.

3．已知函数f (x)＝3x＋2cos x．若a＝f (3)，b＝f (2)，c＝f (log27)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c 

B．c<b<a

C．b<a<c 

D．b<c<a

D　解析：因为f (x)＝3x＋2cos x，

所以f ′(x)＝3－2sin x.

又因为－1≤sin x≤1，

所以f ′(x)>0在R上恒成立．

所以f (x)在R上单调递增．

因为2＝log24<log27<3<3，

所以f (2)<f (log27)<f (3)，

即b<c<a.

4．函数f (x)的定义域为R，f (－1)＝2，对任意x∈R，f ′(x)>2，则f (x)>2x＋4的解集为(　　)

A．(－1,1) 

B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1) 

D．(－∞，＋∞)

B　解析：由f (x)>2x＋4，得f (x)－2x－4>0.设F(x)＝f (x)－2x－4，则F′(x)＝f ′(x)－2.

因为f ′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增．

又F(－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1.

5．(2020·广东六校联盟第三次联考)函数f (x)＝的图象的大致形状是(　　)

A　解析：令x＝0，得f (0)＝0，排除C，D，

f ′(x)＝，

当x∈时，f ′(x)＝>0，当x∈时，f ′(x)＝<0，排除B．故选A．

6．已知函数f (x)＝(－x2＋2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f (x)的单调递增区间为________．

(－，)　解析：因为f (x)＝(－x2＋2x)ex，

所以f ′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.

令f ′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0.

因为ex>0，所以－x2＋2>0，解得－<x<.

所以函数f (x)的单调递增区间为(－，)．

7．若函数f (x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．

(－3,0)∪(0，＋∞)　解析：由题意知f ′(x)＝3ax2＋6x－1.由函数f (x)恰好有三个单调区间，得f ′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2＋6x－1＝0需满足a≠0，且Δ＝36＋12a>0，解得a>－3，所以实数a的取值范围是(－3,0)∪(0，＋∞)．

8．若函数f (x)＝－x2＋x＋1在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________．

　解析：f ′(x)＝x2－ax＋1.因为函数f (x)在区间上单调递减，所以f ′(x)≤0在区间上恒成立．所以即解得a≥.所以实数a的取值范围为.

9．(2019·天津卷节选)设函数f (x)＝excos x，求f (x)的单调区间．

解：由题意，得f ′(x)＝ex(cos x－sin x)．因此，当x∈(k∈Z)时，有sin x>cos x，得f ′(x)<0，则f (x)单调递减；当x∈(k∈Z)时，有sin x<cos x，得f ′(x)>0，则f (x)单调递增．

所以，f (x)的单调递增区间为(k∈Z)，f (x)的单调递减区间为(k∈Z)．

10．已知函数f (x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y＝x.

(1)求a的值；

(2)求函数f (x)的单调区间．

解：(1)对f (x)求导得f ′(x)＝－－(x>0)．由f (x)在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y＝x，知f ′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.

(2)由(1)知f (x)＝＋－ln x－，

则f ′(x)＝＝(x>0)．

令f ′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.

因为x＝－1不在f (x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．

当x∈(0,5)时，f ′(x)<0，故f (x)在(0,5)内单调递减；

当x∈(5，＋∞)时，f ′(x)>0，故f (x)在(5，＋∞)内单调递增．

综上，f (x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)．

B组　新高考培优练

11．(多选题)若函数y＝exf (x)(e是自然对数的底数)在f (x)的定义域上单调递增，则称函数f (x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是(　　)

A．f (x)＝2－x 

B．f (x)＝x2

C．f (x)＝3－x 

D．f (x)＝ex

AD　解析：设函数g(x)＝ex·f (x)．对于A，g(x)＝ex·2－x＝，在定义域R上为增函数．对于B，g(x)＝ex·x2，则g′(x)＝x(x＋2)ex.由g′(x)>0得x<－2或x>0，所以g(x)在定义域R上不是增函数．对于C，g(x)＝ex·3－x＝在定义域R上是减函数．对于D，g(x)＝e2x，则g′(x)＝2e2x，g′(x)>0在定义域R上恒成立，即g(x)在定义域R上为增函数．故选AD．

12．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足xf ′(x)－f (x)<0，且f (2)＝2，则f (ex)－ex>0的解集是(　　)

A．(－∞，ln 2) 

B．(ln 2，＋∞)

C．(0，e2) 

D．(e2，＋∞)

A　解析：令g(x)＝，g′(x)＝<0.

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，且g(2)＝＝1，

故f (ex)－ex>0等价为>，即g(ex)>g(2)．

故ex<2，即x<ln 2，则所求的解集为(－∞，ln 2)．

13．(多选题)已知函数f (x)＝xln x，若0＜x1＜x2，则(　　)

A．＜0

B．x1＋f (x1)＜x2＋f (x2)

C．x2f (x1)＜x1f (x2)

D．当x2＞x1＞时，x1f (x1)＋x2f (x2)＞x2f (x1)＋x1f (x2)

CD　解析：因为f (x)＝xln x，f ′(x)＝ln x＋1不是恒小于0，所以＜0不恒成立，故A错误．

设h(x)＝f (x)＋x，则h′(x)＝ln x＋2不恒大于0，所以x1＋f (x1)＜x2＋f (x2)不恒成立，故 B错误．

设g(x)＝＝ln x，函数g(x)单调递增，所以g(x2)＞g(x1)．所以＞，即有x1f (x2)＞x2f (x1)，故C正确．

当x＞时，ln x＞－1，故f ′(x)＝ln x＋1＞0，函数f (x)＝xln x，x＞，单调递增．

故(x2－x1)[f (x2)－f (x1)]＝x1f (x1)＋x2f (x2)－x2f (x1)－x1f (x2)＞0，

即x1f (x1)＋x2f (x2)＞x2f (x1)＋x1f (x2)，故D正确．故选CD．

14．(多选题)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)＞－f ′(x)，则(　　)

A．f (2 019)＜ef (2 020)

B．ef (2 019)＞f (2 020)

C．f (x)是R上的增函数

D．若t＞0，则有f (x)＜etf (x＋t)

AD　解析：由f (x)＞－f ′(x)，得exf (x)＋exf ′(x)＞0，即[exf (x)]′＞0.

所以函数exf (x)为增函数．故e2 019f (2 019)＜e2 020f (2 020)，所以f (2 019)＜ef (2 020)．故A正确，B不正确．

函数exf (x)为增函数时，f (x)不一定为增函数，如ex＝是增函数，但是减函数，所以C不正确．

因为函数exf (x)为增函数，所以t＞0时，有exf (x)＜ex＋tf (x＋t)．故有f (x)＜etf (x＋t)成立．故D正确．故选AD．

15．已知函数f (x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，函数g(x)＝f ′(x)＋6x的图象关于y轴对称，则实数m＝________，f (x)的单调递减区间为________．

－3　(0,2)　解析：由函数f (x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①

由f (x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f ′(x)＝3x2＋2mx＋n.

所以g(x)＝f ′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.

因为g(x)的图象关于y轴对称，所以－＝0.

所以m＝－3.代入①得n＝0，所以f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．

由f ′(x)<0，得0<x<2.所以f (x)的单调递减区间是(0,2)．

16．若函数f (x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．

　解析：f ′(x)＝1－·cos 2x＋acos x＝1－(2cos2x－1)＋acos x＝－cos2x＋acos x＋.因为f (x)在R上单调递增，所以f ′(x)≥0在R上恒成立．

令cos x＝t，t∈[－1,1]，则－t2＋at＋≥0在[－1,1]上恒成立，

即4t2－3at－5≤0在[－1,1]上恒成立．

令g(t)＝4t2－3at－5，

则解得－≤a≤.

17．设函数f (x)＝aln x＋，其中a为常数．

(1)若a＝0，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；

(2)讨论函数f (x)的单调性．

解：(1)a＝0时，f (x)＝，x∈(0，＋∞)．

此时f ′(x)＝，可得f ′(1)＝.

又f (1)＝0，

所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为x－2y－1＝0.

(2)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)．

f ′(x)＝＋＝.

当a≥0时，f ′(x)>0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，

Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)．

①当a≤－时，Δ≤0，f ′(x)≤0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减．

②当－<a<0时，Δ>0，设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点，

则x1＝，

x2＝.

易知x1＝＝>0，且x2＝>0.

所以，当x∈(0，x1)时，g(x)<0，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减；

当x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f ′(x)>0，函数f (x)单调递增；

当x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减．

综上，当a≥0时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a≤－时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减；

当－<a<0时，f (x)在，上单调递减，在

上单调递增．