人教A版高考数学一轮总复习第9章第2节用样本估计总体课时学案

第二节  用样本估计总体

一、教材概念·结论·性质重现

1．频率分布直方图

(1)频率分布表的画法．

第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；

第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．

(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)．

横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率．

2．频率分布折线图

频率分布折线图：用线段连接频率分布直方图中各个矩形上面一边的中点，就得到频率分布折线图．

3．中位数、众数、平均数、百分位数

(1)中位数．

将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．

(2)众数．

一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数．

(3)平均数．

一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)．

(4)百分位数．

①第p百分位数的定义：

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．

②计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：

第1步，按从小到大排列原始数据．

第2步，计算i＝n×p%.

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．

4．样本的数字特征

如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么

平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)，

标准差为s＝，

方差为s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势． (√)

(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中． (×)

(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．              (√)

2．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为(　　)

A．4  B．8  C．12  D．16

B　解析：设频数为n，则＝0.25，所以n＝32×＝8.

3．数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是(　　)

A．14  B．17  C．19  D．23

D　解析：因为8×70%＝5.6，所以第70百分位数是第六项数据23.

4．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为87,89,90,91,92,93,94,96，则这组数据的中位数和平均数分别是(　　)

A．91.5和91.5   B．91.5和92

C．91和91.5    D．92和92

A　解析：因为这组数据为87,89,90,91,92,93,94,96，

所以中位数是＝91.5，

平均数＝＝91.5.故选A．

5．已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n个小矩形．若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积和的，则该组的频数为________．

50　解析：设除中间一个小矩形外的(n－1)个小矩形面积的和为p，则中间一个小矩形面积为p.由题意，得p＋p＝1，所以p＝，则中间一个小矩形的面积为p＝，200×＝50，即该组的频数为50.

考点1　频率分布直方图——综合性

某市为了了解人们对“经济内循环”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“经济内循环”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．

(1)求x.

(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数)．

(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层随机抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组．从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.

(ⅰ)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；

(ⅱ)以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“经济内循环”的认知程度，并谈谈你的感想．

解：(1)根据频率分布直方图，得第一组的频率为0.01×5＝0.05，所以＝0.05，所以x＝120.

(2)设中位数为a，则0.01×5＋0.07×5＋(a－30)×0.06＝0.5，解得a＝≈32，则中位数为32.

(3)(ⅰ)5个年龄组成绩的平均数为1＝×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，

方差为s＝×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.

5个职业组成绩的平均数为2＝×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，

方差为s＝×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.

(ⅱ)从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定(感想合理即可)．

1．(多选题)(2020·嘉祥县第一中学高三模拟)在某次高中学科知识竞赛中，对4 000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，60分以下视为不及格．若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是(　　)

A．成绩在[70,80)的考生人数最多

B．不及格的考生人数为1 000

C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分

D．考生竞赛成绩的中位数为75分

ABC　解析：由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；成绩在[40,60)的频率为0.01×10＋0.015×10＝0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；考生竞赛成绩的平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；因为成绩在[40,70)的频率为0.45，在[70,80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×≈71.67，故D错误．

2．某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：

该车间的负责人作出散点图，发现x，y是线性相关的，并求出y关于x的线性回归方程＝x＋(其中b是常数)．据此回归模型可以预测，加工20个零件所需要的加工时间约为(　　)

A．45分钟  B．46分钟  C．47分钟  D．48分钟

D　解析：由题意，根据表中的数据，可得＝(9＋11＋14＋15＋16)＝13，

＝(30＋32＋36＋40＋42)＝36，即样本中心点为(13,36)．

将样本中心点(13,36)代入回归方程，可得36＝×13＋，解得＝，所以回归方程为＝x＋，当x＝20时，＝×20＋＝≈47.94≈48(分钟)．

考点2　统计图表——综合性

(1)(多选题)(2020·德州一模)某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是(　　)

 A．样本中女生人数多于男生人数

B．样本中B层人数最多

C．样本中E层男生人数为6

D．样本中D层男生人数多于女生人数

ABC　解析：样本中女生人数为9＋24＋15＋9＋3＝60，男生人数为100－60＝40，A正确．样本中A层人数为9＋40×10%＝13；样本中B层人数为24＋40×30%＝36；样本中C层人数为15＋40×25%＝25；样本中D层人数为9＋40×20%＝17；样本中E层人数为3＋40×15%＝9，B正确．样本中E层次男生人数为40×15%＝6，C正确．样本中D层次男生人数为40×20%＝8，女生人数为9，女生人数多于男生人数，D错误．

(2)(多选题)(2020·临沂一模)某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中2019年的录取人数被遮挡了．他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是(　　)

A．全国高考报名人数逐年增加

B．2018年全国高考录取率最高

C．2019年高考录取人数约为820万

D．2019年山东高考报名人数在全国的占比最小

BCD　解析：2016年的人数少于2015年人数，A错误；2018年的录取率为81.1%，为最高，B正确；2019年高考录取人数为1 031×79.5%≈820，C正确；从2010～2019年山东高考报名人数在全国的占比分别为6.9%，6.3%，5.6%，5.5%，5.9%，7.4%，6.4%，6.2%，6.1%，5.4%，D正确．

1．(2020·鹤壁二模)中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的.下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位：万公里)的折线图，以下结论不正确的是(　　)

A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著

B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年份正相关

C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上

D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列

D　解析：选项A，B显然正确；对于C，＞0.8，选项C正确；1.6，1.9，2.2，2.5，2.9不是等差数列，故D错误．故选D．

2．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10 000，12 000，15 000，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是(　　)

A．成本最大的企业是丙企业

B．费用支出最高的企业是丙企业

C．支付工资最少的企业是乙企业

D．材料成本最高的企业是丙企业

C　解析：甲企业的成本为10 000；乙企业的成本为12 000；丙企业的成本为15 000.故成本最大的是丙企业，故A正确．甲企业费用支出为10 000×5%＝500；乙企业费用支出为12 000×17%＝2 040；丙企业费用支出为15 000×15%＝2 250.故费用支出最高的企业是丙企业，故B正确．甲企业支付工资为10 000×35%＝3 500；乙企业支付工资为12 000×30%＝3 600；丙企业支付工资为15 000×25%＝3 750.故甲企业支付的工资最少，故C错误．甲企业材料成本为10 000×60%＝6 000；乙企业材料成本为12 000×53%＝6 360；丙企业材料成本为15 000×60%＝9 000.故材料成本最高的企业是丙企业，故D正确．故选C．

考点3　样本的数字特征——综合性

(1)(2020·德州一模)某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据丢失(如图)，但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是(　　)

A．甲得分的极差是11

B．乙得分的中位数是18.5

C．甲运动员得分有一半在区间[20,30]上

D．甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高

D　解析：甲得分的极差是28－9＝19，A错误；乙得分的中位数是＝16.5，B错误；甲运动员得分在区间[20,30]上有3个，C错误；甲运动员得分的平均值为＝17，乙运动员得分的平均值为＝16，故D正确．

(2)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．

2　解析：甲＝(87＋91＋90＋89＋93)＝90，乙＝×(89＋90＋91＋88＋92)＝90，

s甲＝×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，

s乙＝×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.

因为4>2，

所以乙的成绩较为稳定，其方差为2.

1．已知某7个数的平均数为4，方差为2.现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则(　　)

A．＝4，s2<2   B．＝4，s2>2

C．>4，s2<2   D．>4，s2>2

A　解析：因为某7个数的平均数为4，所以这7个数的和为4×7＝28.因为加入一个新数据4，所以＝＝4.又因为这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，所以这8个数的方差s2＝＝<2.故选A．

2．已知甲、乙两组数据：

甲组：27，28，39，40，m，50；

乙组：24，n，34，43，48，52.

若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等，则等于(　　)

A．  B．  C．  D．

A　解析：因为30%×6＝1.8,80%×6＝4.8，所以第30百分位数为n＝28，第80百分位数为m＝48，所以＝＝.