人教A版高考数学一轮总复习第4章第1节任意角、弧度制与任意角的三角函数课时学案

第一节　任意角、弧度制与任意角的三角函数

一、教材概念·结论·性质重现

1．角的概念

(1)分类

(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

2．弧度的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．

(2)公式

①弧度与角度的换算：360°＝2π rad,180°＝π rad.

②弧长公式：l＝αR.

③扇形面积公式：S扇形＝lR和S扇形＝αR2.

说明：②③公式中的α必须为弧度制．

3．三角函数的概念

(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．

①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；

②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；

③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)．

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数．

(2)三角函数定义的推广：设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．

(3)三角函数值在各象限内的符号．(口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦)

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)小于90°的角是锐角． (×)

(2)锐角是第一象限角，反之亦然． (×)

(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等． (×)

(4)三角形的内角必是第一、第二象限角． (×)

2．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝(　　)

A．  B．  C．－  D．－

D　解析：记P(－4,3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝＝5.故cos α＝＝＝－.故选D．

3．已知sin A>0且tan A<0，则角A的终边在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

B　解析：因为sin A>0，所以角A为第一或第二象限角；因为tan A<0，所以角A为第二或第四象限角，所以角A为第二象限角．

4．在与2 020°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．

－　解析：2 020°＝＝12π－，所以与2 020°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为－.

5．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．

6π　解析：设此扇形的半径为r.由题意得r＝2π，所以r＝6.所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.

考点1　象限角及终边相同的角——基础性

1．(多选题)下列四个命题中，正确的是(　　)

A．－是第二象限角

B．是第三象限角

C．－400°是第四象限角

D．－315°是第一象限角

BCD　解析：－是第三象限角，故A错误；＝π＋，从而是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，故D正确．

2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

C　解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边在～内；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边在π＋～π＋内，结合选项知选C.

3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．

－675°或－315°　解析：所有与45°终边相同的角表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)．令－720°<45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°<k×360°<－45°(k∈Z)，解得－<k<－(k∈Z)，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.

4．若角α是第二象限角，则是第________象限角．

一或三　解析：因为α是第二象限角，所以＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．

考点2　扇形的弧长、面积公式——综合性

已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.

(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；

(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角；

(3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

解：(1)因为α＝60°＝，

所以l＝α·R＝×10＝(cm)．

(2)由题意得解得(舍去)或

故扇形的圆心角为.

(3)由已知得l＋2R＝20(cm)．

(方法一)S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.

所以，当R＝5 cm时，S取得最大值，且最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2.

(方法二)S＝lR＝l(2R)≤＝25，

当且仅当l＝2R＝10，即R＝5时，Smax＝25 cm2，

此时α＝2.

1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　　)

A．2  B．4  C．6  D．8

C　解析：设扇形的半径为r(r＞0)，弧长为l.由扇形面积公式可得2＝lr＝αr2＝×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4.所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.

2．(2021·青铜峡市高三期中)《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(　　)

A．1.012米  B．1.768米  C．2.043米  D．2.945米

B　解析：“弓”所在弧长为l＝＋＋＝，其所对圆心角为α＝＝，所以两手之间的距离约为×1.25≈1.768.

考点3　三角函数的定义及应用——应用性

考向1　三角函数的定义

(1)已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为(　　)

A．(2cos θ，sin θ)   B．(－2cos θ，2sin θ)

C．(－2cos θ，－2sin θ)   D．(2cos θ，－2sin θ)

C　解析：由任意角的三角函数定义，可知角θ的终边上的点M′的坐标为(2cos θ，2sin θ)，其中|OM′|＝2.因为|OM|＝2，所以点M和点M′关于原点对称，所以点M的坐标为(－2cos θ，－2sin θ)．

(2)(2020·深圳模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)

A．  B．－  C．±  D．±

A　解析：因为角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)＝(－8m，－3)，cos α＝－<0，所以角α的终边在第三象限，则m>0，|OP|＝.

由cos α＝＝－，解得m＝(m>0)．

考向2　三角函数值的符号

(1)(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)

A．cos 2α>0   B．cos 2α<0

C．sin 2α>0   D．sin 2α<0

D　解析：因为α是第四象限角，所以－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，所以－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，所以角2α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上，所以sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可为零．故选D.

(2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)

A．小于0   B．大于0

C．等于0   D．大于等于0

A　解析：因为＜2＜3＜π＜4＜，

所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0.

所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.故选A．

(3)若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

C　解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．

1．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝(　　)

A．  B．  C．－  D．－

D　解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.又cos α＝x＝，解得x＝－3，所以tan α＝＝－.

2．(2020·永州祁阳二模)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝－2x上，则sin 2θ＝(　　)

A．  B．－  C.  D．－

D　解析：在角θ的终边所在直线y＝－2x上任取一点P(a，－2a)(a≠0)，则r＝|OP|＝|a|.由三角函数的定义知sin θ＝，cos θ＝，故sin 2θ＝2sin θ·cos θ＝2··＝－.故选D.

3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－2,3]  B．(－2,3)  C．[－2,3)  D．[－2,3]

A　解析：因为cos α≤0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上．所以所以－2<a≤3.故选A．