人教B版高考数学一轮总复习第2章第8节函数与方程学案

第8节　函数与方程

一、教材概念·结论·性质重现

1．函数的零点

(1)函数零点的概念

一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．

(2)三者之间的关系

函数f(x)有零点⇔函数f(x)的图像与x轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．

2．函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实数解．

(2)由函数y＝f(x)(图像是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示．所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．

3．二分法

4．有关函数零点的结论

(1)图像连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(2)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．( × )

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．( √ )

(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)f(b)＜0.( × )

(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．( × )

2．下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)

A　解析：根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．

3．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　)

A．(1,2)   B．(2,3)

C．和(3,4)   D．(4，＋∞)

B　解析：因为f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0，且函数f(x)的图像连续不断，f(x)为增函数，所以f(x)的零点在区间(2,3)内．

4．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)

A．0   B．1 

C．2   D．3

B　解析：由f′(x)＝ex＋3>0，得f(x)在R上单调递增．又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．

5．已知2是函数f(x)＝的一个零点，则f(f(4))的值是________．

3　解析：由题意知log2(2＋m)＝0，所以m＝－1，所以f(f(4))＝f(log23)＝2log23＝3.

6．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．

(－8,1]　解析：由题意知m＝－x2＋2x在(0,4)上有解．又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，所以－8<m≤1.

考点1　判断函数零点所在区间——基础性

1．(多选题)已知函数f(x)＝＋x2－2，利用零点存在定理确定各零点所在的范围．下列区间中存在零点的是(　　)

A．(－3，－2)   B.

C．(2,3)   D.

ABD　解析：经计算f(－3)＝－＋－2＝>0，f(－2)＝－＋2－2＝－<0，f(－1)＝－1＋－2＝－<0，

f ＝2＋－2＝>0，f(1)＝1＋－2＝－<0，

f(2)＝＋2－2＝>0，f(3)＝＋－2＝>0.

根据零点判定定理可得区间(－3，－2)，，上存在零点．

2．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　)

A．在区间，(1，e)内均有零点

B．在区间，(1，e)内均无零点

C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点

D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点

D　解析：当x∈时，函数图像连续不断，且f′(x)＝－＝<0，所以函数f(x)在上单调递减．又f ＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函数f(x)有唯一的零点在区间(1，e)内．

确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

考点2　确定函数零点的个数——综合性

(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A．3   B．2 

C．7   D．0

B　解析：(方法一：直接法)由f(x)＝0得

或

解得x＝－2或x＝e.

因此函数f(x)共有2个零点．

(方法二：图像法)函数f(x)的图像如图所示．由图像知函数f(x)共有2个零点．

(2)设m，n∈Z，已知函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，值域是[0,3]．当m取最小值时，函数g(x)＝2|x－1|＋m＋1的零点个数为(　　)

A．0   B．1 

C．2   D．3

C　解析：因为函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的值域是[0,3]，所以1≤－|x|＋8≤8，即－7≤x≤7.因为函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，所以m的最小值为－7，此时g(x)＝2|x－1|－6.令g(x)＝2|x－1|－6＝0，解得x＝2＋log23或x＝－log23，即有两个零点．

函数零点个数的判断方法

(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点．

(2)函数零点存在定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，再结合函数的图像与性质确定函数零点个数．

(3)利用图像交点个数，作出两个函数图像，观察其交点个数即得零点个数．

1．(2020·武邑中学调研)若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.

2　解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln 2<0，f(3)＝2＋ln 3>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.

2．已知函数f(x)＝x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为________．

3　解析：如图，作出g(x)＝x与h(x)＝cos x的图像，可知g(x)与h(x)的图像在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3.

考点3　函数零点的应用——应用性

考向1　根据函数零点所在的区间求参数

(1)已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则实数a的取值范围为________．

　解析：设f(x)＝x2＋ax＋1，

由题意知

解得－<a<－2.

(2)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是________．

　解析：由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解．设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，所以实数a的取值范围是.

根据函数零点所在区间求参数的步骤

考向2　根据函数零点的个数求参数

已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(　　)

A．[0,1) 

B．(－∞，1)

C．(－∞，1]∪(2，＋∞) 

D．(－∞，0]∪(1，＋∞)

D　解析：函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根．画出h(x)＝f(x)＋x＝的大致图像(图略)．

观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．

利用函数零点个数求参数的方法

由函数零点个数求参数问题，可采用数形结合法，先对解析式变形，变为关于两个初等函数的方程再在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图像，然后数形结合求解．

设函数f(x)＝

(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；

(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．

(1)－1　(2)∪[2，＋∞)　解析：(1)若a＝1，则f(x)＝

作出函数f(x)的图像如图所示，由图可得f(x)的最小值为－1.

(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2；

当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.

综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．