人教B版高考数学一轮总复习第7章新高考新题型微课堂7多选题命题热点之立体几何学案

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七　多选题命题热点之立体几何立体几何问题中的多选题主要集中在平面公理、定理、性质，涉及位置有关系的判断，特别是平行与垂直的处理，以及体积、表面积、夹角等数量关系的计算．　位置关系的判断(多选题)下列命题错误的是(　　)A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行B．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行ABD　解析：选项A中，若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线可能平行、相交或为异面直线，故A选项错误；选项B中，若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故B选项错误；选项C正确；选项D中，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，选项D错误．熟记平面相关公理、定理，借助简单几何体判断空间中的位置关系．(多选题)如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论成立的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．PB⊥AC  B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD  D．平面PBD⊥平面ABCDACD　解析：在选项A中，取PB的中点O，连接AO，CO.因为四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，所以AO⊥PB，CO⊥PB.因为AO∩CO＝O，所以PB⊥平面AOC.因为AC⊂平面AOC，所以PB⊥AC，故选项A成立．在选项B中，点D位置不确定．故选项B不一定成立．在选项C中，由选项A知，AC⊥PB.因为AC⊥BD，PB∩BD＝B，所以AC⊥平面PBD.因为PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD.故选项C成立．在选项D中，因为AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD.故选项D成立．　空间中数量关系的运算(多选题)三棱锥P－ABC的各顶点都在同一球面上，PC⊥底面ABC.若PC＝AC＝1，AB＝2，且∠BAC＝60°，则下列说法正确的是(　　)A．△PAB是钝角三角形  B．此球的表面积等于5πC．BC⊥平面PAC  D．三棱锥A－PBC的体积为BC　解析：在底面△ABC中，由AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，利用余弦定理可得BC＝＝，所以AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC.又PC⊥底面ABC，则PC⊥AC，PC⊥BC.把三棱锥P－ABC放入长宽高分别为，1,1的长方体中，如图所示．所以PA＝，PB＝AB＝2，所以△PAB是等腰三角形，且顶角小于底角，是锐角三角形，选项A错误．三棱锥的外接球也是长方体的外接球，且外接球的直径是长方体的体对角线，即2R＝＝，所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为S＝4πR2＝5π，选项B正确．又BC⊥AC，BC⊥PC，且AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，选项C正确．三棱锥P－ABC的体积为V＝××1××1＝，选项D错误．熟记体积表面积公式，借助规则几何体进行数量关系的运算．(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是(　　)A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45°B．点C到平面ABC1D1的距离为C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为45°D．三棱柱AA1D1－BB1C1外接球的半径为ABD　解析：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，对于选项A，直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠CBC1＝45°.故选项A正确．对于选项B，点C到平面ABC1D1的距离为B1C长度的一半，即h＝.故选项B正确．对于选项C，两条异面直线D1C和BC1所成的角为60°.故选项C错误．对于选项D，三棱柱AA1D1－BB1C1外接球半径r＝＝.故选项D正确．　以立体几何为背景的向量运算(多选题)在四面体P－ABC中，以下说法中正确的有(　　)A．若＝＋，则＝3B．若Q为△ABC的重心，则＝＋＋C．若·＝0，·＝0，则·＝0D．若四面体P－ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1ABC　解析：对于选项A，因为＝＋，所以3＝＋2，所以2－2＝－，所以2＝，所以3＝＋，即3＝.故选项A正确．对于选项B，若Q为△ABC的重心，则＋＋＝0，所以3＋＋＋＝3，所以3＝＋＋，即＝＋＋.故选项B正确．对于选项C，若·＝0，·＝0，则·＋·＝0.所以·＋·(＋)＝0，所以·＋·＋·＝0，所以·＋·－·＝0，所以(－)·＋·＝0.所以·＋·＝0，所以·＋·＝0，所以·(＋)＝0，所以·＝0.故选项C正确．对于选项D，因为＝－＝(＋)－＝(＋－)，所以||＝|＋－|.因为|＋－|2＝||2＋||2＋||2－2·－2·＋2·＝22＋22＋22－2×2×2×－2×2×2×＋2×2×2×＝8，所以|＋－P|＝2.即||＝.故选项D错误．(多选题)已知O，A，B，C为平面上两两不重合的四点，且x＋y＋z＝0(xyz≠0)，则(　　)A．当且仅当xyz<0时，O在△ABC的外部B．当且仅当x∶y∶z＝3∶4∶5时，S△ABC＝4S△OBCC．当且仅当x＝y＝z时，O为△ABC的重心D．当且仅当x＋y＋z＝0时，A，B，C三点共线CD　解析：当x＝y＝z＝－1时，O为△ABC的重心，在△ABC的内部，所以选项A不正确．当x＋y＋z≠0时，＝＋＝·，＝1－＝，所以x＝y＝1，z＝2时也有S△ABC＝4S△OBC，所以选项B错误．对于选项C，重心的几何意义不难得出是正确的．x＋y＋z＝0(xyz≠0)可化为(x＋y＋z)＋y＋z＝0，由于xyz≠0，所以当且仅当x＋y＋z＝0时，A，B，C三点共线，所以选项D正确．