新教材高考数学一轮复习第7章立体几何新高考新题型微课堂7多选题命题热点之立体几何学案含解析

立体几何

七　多选题命题热点之立体几何

立体几何问题中的多选题、主要集中在平面公理、定理、性质，涉及位置有关系的判断，特别是平行与垂直的处理，以及体积、表面积、夹角等数量关系的计算．

　位置关系的判断

(多选题)下列命题错误的是(　　)

A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行

B．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行

ABD　解析：选项A中，若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线可能平行、相交或为异面直线，故A选项错误；选项B中，若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故B选项错误；选项C正确；选项D中，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，选项D错误．

(多选题)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论成立的是(　　)

A．PB⊥AC 

B．PD⊥平面ABCD

C．AC⊥PD 

D．平面PBD⊥平面ABCD

ACD　解析：在选项A中，取PB的中点O，连接AO，CO.因为四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，

AC⊥BD，所以AO⊥PB，CO⊥PB.

因为AO∩CO＝O，所以PB⊥平面AOC．因为AC⊂平面AOC，所以PB⊥AC，故选项A成立．

在选项B中，点D位置不确定．故选项B不一定成立．

在选项C中，由选项A知，AC⊥PB.因为AC⊥BD，PB∩BD＝B，所以AC⊥平面PBD．因为PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD．故选项C成立．

在选项D中，因为AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD．故选项D成立．

　空间中数量关系的运算

(多选题)三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上，PC⊥底面ABC．若PC＝AC＝1，AB＝2，且∠BAC＝60°，则下列说法正确的是(　　)

A．△PAB是钝角三角形 

B．此球的表面积等于5π

C．BC⊥平面PAC 

D．三棱锥A-PBC的体积为

BC　解析：在底面△ABC中，由AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，利用余弦定理可得BC＝＝，

所以AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC，

又PC⊥底面ABC，则PC⊥AC，PC⊥BC．

把三棱锥P-ABC放入长宽高分别为，1,1的长方体中，如图所示．

所以PA＝，PB＝AB＝2，

所以△PAB是等腰三角形，且顶角小于底角，是锐角三角形．选项A错误．

三棱锥的外接球也是长方体的外接球，且外接球的直径是长方体的体对角线，即2R＝＝，所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为S＝4πR2＝5π.选项B正确．

又BC⊥AC，BC⊥PC，且AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC．选项C正确．

三棱锥P-ABC的体积为V＝××1××1＝.选项D错误．

(多选题)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是(　　)

A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于

B．点C到平面ABC1D1的距离为

C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为

D．三棱柱AA1D1-BB1C1外接球半径为

ABD　解析：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，对于选项A，直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠CBC1＝.故选项A正确．

对于选项B，点C到平面ABC1D1的距离为B1C长度的一半，即h＝.故选项B正确．

对于选项C，两条异面直线D1C和BC1所成的角为.故选项C错误．

对于选项D，三棱柱AA1D1-BB1C1外接球半径r＝＝.故选项D正确．

　以立体几何为背景的向量运算

(多选题)在四面体P-ABC中，以下说法中正确的有(　　)

A．若＝＋，则＝3

B．若Q为△ABC的重心，则＝＋＋

C．若·＝0，·＝0，则·＝0

D．若四面体P-ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1

ABC　解析：对于选项A，因为＝＋，所以3＝＋2，

所以2－2＝－，所以2＝，所以3＝＋，即3＝.故选项A正确．

对于选项B，若Q为△ABC的重心，则＋＋＝0，

所以3＋＋＋＝3，

所以3＝＋＋，即＝＋＋.故选项B正确．

对于选项C，若·＝0，·＝0，

则·＋·＝0.

所以·＋·(＋)＝0，

所以·＋·＋·＝0，

所以·＋·－·＝0，

所以(－)·＋·＝0.

所以·＋·＝0，

所以·＋·＝0，

所以·(＋)＝0，

所以·＝0.

故选项C正确．

对于选项D，因为＝－＝(＋)－＝(＋－)，

所以||＝|＋－|.

因为|＋－|2＝

||2＋||2＋||2－2||·||－2||·||＋2||·||＝22＋22＋22－2×2×2×－2×2×2×＋2×2×2×＝8，所以|＋－P|＝2.即||＝.

故选项D错误．

(多选题)已知O，A，B，C为平面上两两不重合的四点，且x＋y＋z＝0(xyz≠0)，则(　　)

A．当且仅当xyz<0时，O在△ABC的外部

B．当且仅当x∶y∶z＝3∶4∶5时，S△ABC＝4S△OBC

C．当且仅当x＝y＝z时，O为△ABC的重心

D．当且仅当x＋y＋z＝0时，A，B，C三点共线

CD　解析：当x＝y＝z＝－1时，O为△ABC的重心，在△ABC的内部，所以选项A不正确．当x＋y＋z≠0时，＝＋＝，＝1－＝，所以x＝y＝1，z＝2时也有S△ABC＝4S△OBC，所以选项B错误．对于选项C重心的几何意义不难得出是正确的．x＋y＋zOC＝0(xyz≠0)可化为(x＋y＋z)＋y＋＝0，由于xyz≠0，所以当且仅当x＋y＋z＝0时，A，B，C三点共线，所以选项D正确．