辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校

高一上学期期中考试数学试题

数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题

1．命题“存在， ”的否定是

A． 不存在，       B． 存在，

C． 对任意的，     D． 对任意的，

2．已知全集为，集合，，则集合

A．     B．     C．     D．

3．如果，那么下列各式一定成立的是

A．     B．     C．     D．

4．已知函数，则=

A．     B．     C．     D．

5．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A﹣BCD的体积的最大值为 ,

A．     B．     C．     D．

6．的一个充分但不必要的条件是

A．     B．     C．     D．

7．已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题，正确命题的个数是

①若 ， ，，则   

②若，，则

③若，，，则 

④若 ， ，则//

A． 1    B． 2    C． 3    D． 4

8．已知，则的

A． 最大值为    B． 最小值为

C． 最大值为    D． 最小值为

9．已知直线m、n及平面，其中m∥n，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。其中正确的是

A． （1）（2）（3）    B． （1）（4）    C． （1）（2）（4）    D． （2）（4）

10．函数，若，，，则有

A．     B．     C．     D．

11．设函数，，若，使得和同时成立，则的取值范围为

A．       B．

C．      D．

12．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为

A．     B．     C．     D．

二、填空题

13．已知圆锥的母线长为4cm，圆锥的底面半径为1cm，一只蚂蚁从圆锥的底面A点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程长为________cm

14．已知，则的最小值是________

15．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是            。

16．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是________．

三、解答题

17．已知幂函数在上单调递增，函数

Ⅰ求m的值；

Ⅱ当时，记，的值域分别为集合A，B，设命题p：，命题q：，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．

18．解关于的不等式

19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，A1D⊥平面ABC，AB=BC，平面BB1D与棱A1C1交于点E．

（1）求证：AC⊥A1B；

（2）求证：平面BB1D⊥平面AA1C1C；

20．某厂家拟在2019年举行促销活动，经过调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）（单位：万件）与年促销费用（）（单位：万元）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件. 已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.

（1）将该厂家2019年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

21．如图C,D是以AB为直径的圆上的两点，,F是AB上的一点，且,将圆沿AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知

（1）求证：AD平面BCE

（2）求证：AD//平面CEF；

（3）求三棱锥A-CFD的体积.

22．已知函数，若同时满足以下条件：

①在D上单调递减或单调递增；

②存在区间，使在 上的值域是，那么称为闭函数．

（1）求闭函数符合条件②的区间 ；

（2）判断函数是不是闭函数？若是请找出区间；若不是请说明理由；

（3）若是闭函数，求实数的取值范围

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高一上学期期中考试数学试题

数学  答 案

参考答案

1．D

【解析】特称命题的否定是全称命题，

所以为“对任意的， ”，故选D。

2．D

【解析】

【分析】

由题意，求得集合，再根据集合的补集和交集的运算，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意可得，集合,，

所以，所以,故选D.

【点睛】

本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3．C

【解析】

试题分析：令，代入验证排除A，B，D选项，故选C.

考点：不等式的基本性质.

4．B

【解析】

【分析】

根据分段函数的解析式，代入求解，即可得到答案.

【详解】

由题意，函数，则，

所以，选B.

【点睛】

本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中正确把握分段函数的解析式，根据分段条件代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5．C

【解析】

【分析】

当平面ABC⊥平面ACD时，得到的四面体的体积取最大值，由此能求出四面体A﹣BCD的体积的最大值．

【详解】

矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，

当平面ABC⊥平面ACD时，

得到的四面体的体积取最大值，

此时点B到平面ACD的距离，所以，

∴四面体A﹣BCD的体积的最大值为：,故选C.

【点睛】

本题主要考查了三棱锥的体积的最值问题，其中解答中根据题意，把矩形折叠成一个三棱锥，求解点B到平面ACD的距离是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.

6．B

【解析】

【分析】

先求解不等式的解集，再根据集合的大小关系判定得到充分不必要条件，即可得到答案.

【详解】

由不等式，可得，解得，

由此可得：选项A，是不等式成立的一个充要条件；

选项B，是不等式成立的一个充分不必要条件；

选项C，是不等式成立的一个必要不充分条件；

选项D，是不等式成立的一个既不充分也不必要条件，

故选B.

【点睛】

本题主要考查了充要条件的判定，以及不等式的求解，其中根据一元二次不等式的解法求解不等式的解集，再根据集合之间的关系判定充要条件是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.

7．C

【解析】

【分析】

由线线平行的性质定理能判定A是正确的；由面面垂直和线面垂直的性质定理能判断B的正误；由线面垂直的判定定理能判定C的正误，在D中，可得或，即可得到答案.

【详解】

由题意，已知互不重合的直线和互不重合的平面，

在A中，由于，

过直线平面都相交的平面，记，

则且，所以，

又，所以，故A是正确的；

在B中，若，则由面面垂直和线面垂直的性质得，所以是正确；

在C中，若，则由线面垂直的判定定理得，所以是正确；

在D中，若，则或，，所以是不正确的，故选C.

【点睛】

本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，合理作出证明是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.

8．A

【解析】

【分析】

由题意知，则，

化简，利用基本不等式即可求解.

【详解】

由题意知，则，

又由，

当且仅当，即时等号成立，所以最大值为，故选A.

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，化简求得，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

9．C

【解析】

【分析】

根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.

【详解】

如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；

如图（2），直线到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；

如图（3），直线所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，

综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.

【点睛】

本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.

10．D

【解析】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，时，，从而判断出 ，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出大小关系.

详解：，在上为减函数，

且时，时，，

且，，

且，

且，，

在上单调递减，

，

即 ，故选D.

点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用

11．A

【解析】

试题分析：函数的图象恒过定点（1，4），的图象恒过定点（2，0），利用这两个定点，结合图象解决．

由知，又存在，使得，

知即或，另中恒过（2，0），

故由函数的图象知：

a=0时，恒大于0，显然不成立．

若时，，；

若a<0时，，

此时函数图象的对称，故函数在区间为增函数，

又不成立．故选A．

考点：一元二次不等式的解法

12．B

【解析】

【分析】

通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OM，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．

【详解】

△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，

底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为：r,由余弦定理得到BC=，再由正弦定理得到

见图示：

AD是球的弦，DA=，将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的一半，即为球心的位置O，∴OM=，在直角三角形OMD中，应用勾股定理得到OD，OD即为球的半径.∴球的半径OD=．

该球的表面积为：4π×OD2=7π；

故选：B．

【点睛】

涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

13．

【解析】

【分析】

由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，

利用扇形的弧长公式和勾股定理，即可求解.

【详解】

由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π．

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 ，

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，解得，

所以展开图中圆心角为90°，

根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是．

【点睛】

本题主要考查了旋转体的侧面展开图的应用问题，其中解答中根据圆锥的侧面展开图，利用弧长公式求解圆心角的度数，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力.

14．

【解析】

【分析】

由题意，整理得，再利用基本不等式，即可求解.

【详解】

由题意知，

则，

当且仅当，即时等号成立，即的最小值为.

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中根据题意，化简

，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15．[2，3）

【解析】

试题分析：若0＜a＜1，则函数在区间（-∞，1]上为增函数，不符合题意；若a＞1，则在区间（-∞，1]上为减函数，且t＞0∴即a的取值范围是[2，3）．

考点：对数函数的图象与性质．

16．

【解析】

【分析】

由题意，小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近变得切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为，故小三角形的边长为，做出面积相减，即可得到结果.

【详解】

由题意，考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，

易知小球在面上最靠近变得切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为，

故小三角形的边长为，

小球与一个面不能接触到的部分的面积为

，

所以几何体的四个面永远不可能接触到容器的内壁的面积是.

【点睛】

本题主要考查了几何体的结构特征的应用，其中解答的关键是看出小球的运动轨迹是什么，得到一个正三角形，通过计算正三角形的面积之间的关系，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.

17．(1),(2)

【解析】

试题分析：根据幂函数定义得出解出值，根据函数单调性取舍，根据范围求出值域，利用集合包含关系求出的范围.

试题解析：

（Ⅰ）依题意得：或

当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去

．

（Ⅱ）当时，，单调递增， ，

由命题是成立的必要条件，得， ．

18．见解析

【解析】

【分析】

由题意，原不等式等价于，分类讨论，即可求解不等式的解集.

【详解】

原不等式等价于

(1)当时，解集为

(2)当时，原不等式可化为，

因为，所以解集为

(3)当时，，解集为

(4)当时，原不等式等价于，即，

解集为

(5)当时，，解集为

综上所述，当时，解集为；当时，解集为；

当时，解集为；当时，解集为

【点睛】

本题主要考查了含参数的分式不等式的求解，以及含参数的一元二次不等式的求解问题，其中解答中根据参数，合理分类讨论求解不等式的解集是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力.

19．（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）推导出A1D⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面A1BD，由此能证明AC⊥A1B．

（Ⅱ）推导出A1D⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面A1ACC1，由此能证明平面BB1D⊥平面AA1C1C．

【详解】

证明：（1）因为 A1D⊥平面ABC，所以 A1D⊥AC．

因为△ABC中，AB=BC，D是AC的中点，所以 BD⊥AC．

因为 A1D∩BD=D，

所以 AC⊥平面A1BD．

所以 AC⊥A1B．

（2） 因为 A1D⊥平面ABC，

因为 BD⊂平面ABC，所以 A1D⊥BD．

由（1）知 BD⊥AC．

因为 AC∩A1D=D，

所以 BD⊥平面A1ACC1．

因为 BD⊂平面BB1D，

所以 平面BB1D⊥平面AA1C1C．

【点睛】

本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．

20．（1）；（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由题意，根据，求得的值，得到，进而得到函数利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，化简函数的解析式，利用基本不等式，即可求解.

【详解】

（1）由题意有，得

故

∴

（2）由（1）知：

当且仅当即时，有最大值.

答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.

【点睛】

本题主要考查了函数的实际问题，其中解答中认真审题，建立函数的解析式，化简解析式，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以推理与运算能力.

21．（1）参考解析；（2）参考解析；(3)

【解析】

试题分析：（1）因为由于AB是圆的直径，所以AD⊥BD,又因为点C在平面ABD的射影E在BD上，所以CE⊥平面ADB.又因为平面ADB.所以AD⊥CE.又因为.所以AD⊥平面BCE.

（2）因为，.有直角三角形的勾股定理可得.在直角三角形BCE中，又.所以.又BD=3，.所以可得.所以AD∥FE，又因为平面CEF, 平面CE.所以AD//平面CEF.

(3)通过转换顶点三棱锥A-CFD的体积.因为.所以.

试题解析：（1）证明：依题意：

平面    ∴

     ∴平面．            4分

（2）证明：中，， ∴

中，， ∴．

∴ ． ∴

在平面外，在平面内，

∴平面．            8分

（3）解：由（2）知，，且

平面

∴．       12分

考点：1.线面垂直.2.线面平行.3.几何体的体积公式.4.图形的翻折问题.

22．（1），；（2）见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）由在R上单减，列出方程组，即可求的值；

（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知 即，结合对数函数的单调性可判断

（3）易知在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组 有解，方程至少有两个不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围

【详解】

解：（1）∵在R上单减，所以区间[a，b]满足，

解得a=﹣1，b=1

（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增

假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则，即

∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个交点

故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数

（3）易知在[﹣2，+∞）上单调递增．

设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程至少有两个不同的解

即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．

∴ 得，即所求．

【点睛】

本题主要考查了函数的单调性的综合应用，函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数与方程的交点相互转化关系，合理转化为二次函数的图象与性质的应用是解答的关键，着重考查了函数知识及数形结合思想的应用，以及转化思想的应用，试题有较强的综合性，属于难题.