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(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习28《空间几何体的表面积与体积》(含详解)
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这是一份(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习28《空间几何体的表面积与体积》(含详解)，共46页。试卷主要包含了柱体，球的表面积和体积等内容，欢迎下载使用。
考点28 空间几何体的表面积与体积
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
一、柱体、锥体、台体的表面积
1．旋转体的表面积
圆柱（底面半径为r，母线长为l）
圆锥（底面半径为r，母线长为l）
圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l）
侧面展开图
底面面积
侧面面积
表面积
2．多面体的表面积
多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.
棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：
二、柱体、锥体、台体的体积
1．柱体、锥体、台体的体积公式
几何体
体积
柱体
(S为底面面积，h为高),(r为底面半径，h为高)
锥体
(S为底面面积，h为高)， (r为底面半径，h为高)
台体
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)
2．柱体、锥体、台体体积公式间的关系
3．必记结论
（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；
（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.
三、球的表面积和体积
1．球的表面积和体积公式
设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为.
2．球的切、接问题（常见结论）
（1）若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的球的半径是．
（2）若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的外接球半径是．
（3）若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是．
（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．
（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
考向一 柱体、锥体、台体的表面积
1．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.
3．求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.
典例1 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，
其表面积为，
故选D．
【名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积时常会设计此种陷阱．
典例2 若正四棱柱的底边长为2，与底面成45°角，则三棱锥的表面积为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由与底面成45°角，且正四棱柱的底边长为2，可知棱柱的高为，故三棱锥的表面积为
故答案为A.
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．46 B．48
C．50 D．52
2．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为
A．192 B．186
C．180 D．198
考向二 柱体、锥体、台体的体积
空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：
（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．
①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.
②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．
（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
典例3 如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据三视图可得，该几何体是三棱柱割去一个三棱锥所得的几何体，如图所示：
所以其体积为.
故选D.
典例4 如图，几何体中，平面，是正方形，为直角梯形，，，是腰长为的等腰直角三角形．
（1）求证：；
（2）求几何体的体积.
【解析】（1）因为是腰长为的等腰直角三角形，
所以.
因为平面，所以.
又，所以，
又，所以平面.
所以.
（2）因为是腰长为的等腰直角三角形，
所以，
所以.
所以，
由勾股定理得，
因为平面，
所以.
又，
所以平面.
所以
.
3．已知一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为，则的值为
A． B．
C． D．
4．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，为棱的中点，，，.
（1）求证：平面；
（2）求斜三棱柱的体积.
考向三 球的表面积和体积
1．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.
2．球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
3．与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.
4．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径之间满足关系式：.
典例5 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑， 平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，由题可知，底面为直角三角形，且，
则，
则球的直径，
则球的表面积.
故选C.
典例6 四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为
A．3 B．2
C．1 D．
【答案】C
【解析】连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA，
∵底面，∴OE⊥底面ABCD，
可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球的半径为R，
可得，则，
解得PA=1.
故选C．
5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是
A． B．
C． D．
6．已知是某球面上不共面的四点，且，， ，则此球的体积为
A． B．
C． D．
考向四 空间几何体表面积和体积的最值
求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：
一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；
二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.
典例7 如图,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,A1A=AB=2.
（1）求证：BC⊥平面A1AC;
（2）求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.
【解析】（1）因为C是底面圆周上异于A,B的任意一点,且AB是圆柱底面圆的直径,
所以BC⊥AC.
因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以AA1⊥BC.
又AA1∩AC=A,
所以BC⊥平面AA1C.
（2）方法一：设AC=x(0
故S△ABC×AA1=×AC×BC×AA1=x.
因为0
方法二：在中,AC2+BC2=AB2=4,
从而S△ABC×AA1=×AC×BC×AA1=AC×BC≤,当且仅当 AC=BC=时等号成立.
所以三棱锥A1-ABC的体积的最大值为.
7．表面积为16π的球内接一个正三棱柱,则此三棱柱体积的最大值为
A．4 B．
C．8 D．
1．一个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
A．12π B．18π
C．36π D．6π
2．的斜二侧直观图如图所示，则的面积为
A． B．1
C． D．2
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．1 B．2
C．3 D．6
4．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为
A． B．4
C． D．
5．一个与球心距离为2的平面截球所得圆面面积为，则球的表面积为
A． B．
C． D．
6．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为丈、下底为丈、高为丈，直棱柱的侧棱长为尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）
A． B．
C． D．
7．如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为
A． B．
C． D．
8．已知圆锥的高和底面半径之比，且圆锥的体积，则圆锥的表面积为
A． B．
C． D．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
10．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的体积为l，则阳马的外接球的表面积等于
A． B．
C． D．
11．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为，则的值为
A． B．
C． D．1
12．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，底面，若，，且，则此球的表面积等于
A． B．
C． D．
13．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为__________.
14．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________.
15．将若干毫升水倒入底面半径为4cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是__________cm.
16．正三棱锥的高为，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球的表面积是 ．
17．已知三棱锥的外接球半径为2，平面，，，则该三棱锥体积的最大值为__________．
18．已知四面体中，，则四面体的体积为__________.
19．如图所示的几何体为一简单组合体，在底面中，，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求该组合体的体积.
1．（2019年高考浙江卷）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是
A．158 B．162
C．182 D．324
2．（新课标I文科）在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A．8 B．
C． D．
3．（年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A．2 B．4
C．6 D．8
4．（新课标I文科）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A． B．
C． D．
5．（年高考新课标Ⅲ文科）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B．
C． D．
6．（新课标全国Ⅱ文科）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
7．（新课标全国Ⅲ文科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A． B．
C． D．
8．（浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A． B．
C． D．
9．（2019年高考全国Ⅲ卷文科）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O —EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.
10．（2019年高考北京卷文科）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
11．（2019年高考天津卷文科）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
12．（2019年高考江苏卷）如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E−BCD的体积是 ▲ .
13．（山东文科）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .
14．（天津文科）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．
15．（江苏）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 .
16．（江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
17．（天津卷文）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．
18．（新课标II文科）已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．
19．（新课标全国Ⅰ文科）已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
20．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．
21．（新课标全国Ⅰ文科）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P−ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
22．（新课标I文科）如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．
变式拓展
1．【答案】B
【解析】该几何体是如图所示的一个四棱锥，
棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直，
4个侧面都是直角三角形，
由所给数据可得该几何体的表面积为，
故选B．
2．【答案】A
【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为，下部分为长方体，棱长分别为，
其表面积为.
故选A.
【名师点睛】本题考查了求组合体的表面积问题，关键是由三视图还原几何体图形，注意题目中的计算.
3．【答案】A
【解析】由三视图可知，几何体的直观图如图：
是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，
底面都是腰长为的等腰直角三角形，高为，
所以体积为，
解得．
故选A．
【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.三视图问题是考查学生空间想象能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
4．【解析】（1）如图，连接，
因为底面是边长为的正三角形，
所以，且，
因为，，，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以平面.
（2）设斜三棱柱的体积为，
则
所以斜三棱柱的体积为
【名师点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重要，属于基础题.（1）根据底面为正三角形，易得；由各边长度，结合余弦定理，可求得的值，再根据勾股定理逆定理可得，从而可证平面；（2）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积公式可求解.
5．【答案】A
【解析】由三视图知：几何体是球体切去后余下的部分，球的半径为2，∴几何体的表面积S=（1﹣）×4π×22+π×22=16π．故答案为A.
【名师点睛】(1)本题主要考查由三视图找到几何体原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2)通过三视图找几何体原图的方法有两种：直接法和模型法.
6．【答案】A
【解析】由，得，又，所以平面，则，又,所以都是直角三角形，由三棱锥的外接球的性质知，球心为的中点，且球的半径，所以球的体积，选A．
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.先确定三角形BCD外接圆的半径，再解方程得外接球半径，最后根据球的体积公式得结果.
7．【答案】C
【解析】由题意,得该球的半径为2,设正三棱柱的侧棱长为,底面边长为,如图，
则,=，即，
则该正三棱柱的体积为，
则，
当时，；当时，，
即当时，取到极大值,也是最大值，为8,
故所求三棱柱的体积的最大值为8.故选C．
考点冲关
1．【答案】A
【解析】长方体的体对角线的长是，所以球的半径是，
所以该球的表面积是，故选A.
【名师点睛】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果.
2．【答案】D
【解析】∵，，，
∴原图形中两直角边长分别为2，2，
因此，的面积为．
故选D．
3．【答案】B
【解析】由题意可知该几何体的形状如图：
，，，，四边形BCDE是矩形，，
所以该几何体的体积为：．故选B．
【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键．
4．【答案】D
【解析】由三视图可知该几何体为如图所示的正四棱锥：
底面为边长为2的正方形，四个侧面为边长为2的等边三角形．
故该几何体的表面积为．
故选D．
5．【答案】A
【解析】用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为1.已知球心到该截面的距离为2,所以球的半径为，所以表面积为4π⋅5=20π.故选A.
6．【答案】B
【解析】根据棱柱的体积公式，可得城墙所需土方为（立方尺），一个秋天工期所需人数为，故选B.
7．【答案】C
【解析】由题意知，球的半径，所以球的表面积为.
设圆柱的底面半径为、高为，则，得，
即，
所以圆柱的侧面积
，
所以当，即时，圆柱的侧面积最大，最大值为.
此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是.
故选C.
8．【答案】D
【解析】圆锥的高和底面半径之比，∴，
又圆锥的体积，即，
解得，
∴，
母线长为，
则圆锥的表面积为．
故选D．
9．【答案】A
【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体是在一个半球中挖出四分之一圆锥，
其中球的半径为，圆锥的底面半径为，高为，
故所求体积为，故选A．
10．【答案】A
【解析】由题意，因为平面，四边形为正方形，，，
又鳖臑的体积为，所以，
解得，
而阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线，
所以，即，
则外接球的表面积为．
故选A．
【名师点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．
（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究棱锥的外接球的问题．
11．【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的直三棱柱，
其中，，
则，，
所以该几何体的表面积为，得.故选B．
12．【答案】D
【解析】在底面三角形中，由，，，
利用余弦定理可得：，
∴，即，
取为中点，则为的外心，可得三角形外接圆的半径为1，
设三棱锥的外接球的球心为，连接，则．
即三棱锥的外接球的半径为．
∴三棱锥的外接球的表面积等于．
故选D．
13．【答案】
【解析】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个组合体，该组合体由两个同底的圆锥组成，两个圆锥的底面半径均为，高均为1，
则体积为.
故答案为.
14．【答案】
【解析】因为展开图是半径为3，圆心角为的扇形，所以圆锥的母线，圆锥的底面的周长为，因此底面的半径，根据勾股定理，可知圆锥的高，
所以圆锥的体积为.
15．【答案】4
【解析】设倒圆锥形器皿中水面的高为h cm,则水面圆的半径为htan30°=,则由π×42×8=×()2×
πh,解得h=4.
16．【答案】
【解析】如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．
是正三棱锥的高，即．是边中点，在上，的边长为，
所以，所以，可以得到，，由等体积法得：，
所以，解得：，
所以此球的表面积是．
【名师点睛】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．
17．【答案】
【解析】由题意，在长方体中作出满足题意的三棱锥如图所示：
则该三棱锥的外接球即是其所在长方体的外接球，故，
又，所以，
设，，
由可得，
所以该三棱锥的体积为.
当且仅当时，取最大值.
故答案为.
18．【答案】
【解析】如图，取中点，中点，连结，
∵四面体中，，
∴，，，
∵，∴平面，
又，∴，
则.
故答案为．
19．【解析】（1）∵，，
∴，
又∵，
∴，
又，，，，
∴，
又∵，
∴平面.
（2）连接，过作于，
∵平面，，
∴，
又，，，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴.
∴.
∵，
∴，
又，
∴，
∴.
∵，
∴.
∴该组合体的体积.
直通高考
1．【答案】B
【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.
故选B.
【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.
2．【答案】C
【解析】在长方体中，连接，
根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，
所以该长方体的体积为，故选C.
【名师点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长、宽、高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，最终求得结果.
3．【答案】C
【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.
【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.
4．【答案】B
【解析】根据题意，可得截面是边长为的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，
所以其表面积为，
故选B.
【名师点睛】该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
5．【答案】B
【解析】如图所示，设点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，
当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，，
，,点M为三角形ABC的重心，，
中，有，，
，故选B.
【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点在平面上的射影为三角形ABC的重心时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型.
6．【答案】B
【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积，故该组合体的体积．故选B．
【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
7．【答案】B
【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示：
由题意可得：，
结合勾股定理，底面半径，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.
【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.
8．【答案】A
【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为，选A．
【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整．
9．【答案】118.8
【解析】由题意得，，
∵四棱锥O−EFGH的高为3cm， ∴．
又长方体的体积为，
所以该模型体积为，
其质量为．
【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.
10．【答案】40
【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱之后余下的几何体，
则几何体的体积.
故答案为40.
【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
11．【答案】
【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为.
若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，
故圆柱的体积为.
【名师点睛】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.
12．【答案】10
【解析】因为长方体的体积为120，所以，
因为为的中点，所以，
由长方体的性质知底面，
所以是三棱锥的底面上的高，
所以三棱锥的体积.
【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.
13．【答案】
【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆的半径为1,
所以.
【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．
（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
14．【答案】
【解析】设正方体的边长为，则，其外接球直径为，故这个球的体积．
【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：①三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心．
15．【答案】
【解析】设球半径为，则．
故答案为．
【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
16．【答案】
【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为.
【名师点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．
17．【答案】
【解析】如图所示，连接，交于点，很明显在平面上的射影是点O，则是四棱锥A1–BB1D1D的高，且，
，
结合四棱锥体积公式可得其体积为：.
【名师点睛】本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．【答案】8π
【解析】如下图所示，，又，解得，所以，
所以该圆锥的体积为.
【名师点睛】此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.
19．【答案】
【解析】取的中点，连接，
因为，所以，
因为平面平面，所以平面，
设，则，
所以，
所以球的表面积为.
【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的各顶点的距离相等，然后用同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．
20．【解析】（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，
故．
又，所以BE⊥平面．
（2）由（1）知∠BEB1=90°.
由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以，
故AE=AB=3，.
作，垂足为F，则EF⊥平面，且．
所以，四棱锥的体积．
【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.
21．【解析】（1）由已知，得，．
由于，故，从而平面．
又平面，所以平面平面．
（2）在平面内作，垂足为．
由（1）知，平面，故，
可得平面．
设，
则由已知可得，．
故四棱锥的体积．
由题设得，故．
从而，，．
可得四棱锥的侧面积为．
【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；计算点面距离时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点面距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出．
22．【解析】（1）由已知可得，=90°，．
又BA⊥AD，且，
所以AB⊥平面ACD．
又AB平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC．
（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．
又，
所以．
作QE⊥AC，垂足为E，
则．
由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，
所以QE⊥平面ABC，QE=1．
因此，三棱锥的体积为．
【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.
考点28 空间几何体的表面积与体积
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
一、柱体、锥体、台体的表面积
1．旋转体的表面积
圆柱（底面半径为r，母线长为l）
圆锥（底面半径为r，母线长为l）
圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l）
侧面展开图
底面面积
侧面面积
表面积
2．多面体的表面积
多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.
棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：
二、柱体、锥体、台体的体积
1．柱体、锥体、台体的体积公式
几何体
体积
柱体
(S为底面面积，h为高),(r为底面半径，h为高)
锥体
(S为底面面积，h为高)， (r为底面半径，h为高)
台体
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)
2．柱体、锥体、台体体积公式间的关系
3．必记结论
（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；
（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.
三、球的表面积和体积
1．球的表面积和体积公式
设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为.
2．球的切、接问题（常见结论）
（1）若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的球的半径是．
（2）若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的外接球半径是．
（3）若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是．
（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．
（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
考向一 柱体、锥体、台体的表面积
1．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.
3．求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.
典例1 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，
其表面积为，
故选D．
【名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积时常会设计此种陷阱．
典例2 若正四棱柱的底边长为2，与底面成45°角，则三棱锥的表面积为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由与底面成45°角，且正四棱柱的底边长为2，可知棱柱的高为，故三棱锥的表面积为
故答案为A.
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．46 B．48
C．50 D．52
2．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为
A．192 B．186
C．180 D．198
考向二 柱体、锥体、台体的体积
空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：
（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．
①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.
②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．
（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
典例3 如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据三视图可得，该几何体是三棱柱割去一个三棱锥所得的几何体，如图所示：
所以其体积为.
故选D.
典例4 如图，几何体中，平面，是正方形，为直角梯形，，，是腰长为的等腰直角三角形．
（1）求证：；
（2）求几何体的体积.
【解析】（1）因为是腰长为的等腰直角三角形，
所以.
因为平面，所以.
又，所以，
又，所以平面.
所以.
（2）因为是腰长为的等腰直角三角形，
所以，
所以.
所以，
由勾股定理得，
因为平面，
所以.
又，
所以平面.
所以
.
3．已知一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为，则的值为
A． B．
C． D．
4．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，为棱的中点，，，.
（1）求证：平面；
（2）求斜三棱柱的体积.
考向三 球的表面积和体积
1．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.
2．球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
3．与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.
4．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径之间满足关系式：.
典例5 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑， 平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，由题可知，底面为直角三角形，且，
则，
则球的直径，
则球的表面积.
故选C.
典例6 四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为
A．3 B．2
C．1 D．
【答案】C
【解析】连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA，
∵底面，∴OE⊥底面ABCD，
可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球的半径为R，
可得，则，
解得PA=1.
故选C．
5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是
A． B．
C． D．
6．已知是某球面上不共面的四点，且，， ，则此球的体积为
A． B．
C． D．
考向四 空间几何体表面积和体积的最值
求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：
一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；
二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.
典例7 如图,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,A1A=AB=2.
（1）求证：BC⊥平面A1AC;
（2）求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.
【解析】（1）因为C是底面圆周上异于A,B的任意一点,且AB是圆柱底面圆的直径,
所以BC⊥AC.
因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以AA1⊥BC.
又AA1∩AC=A,
所以BC⊥平面AA1C.
（2）方法一：设AC=x(0
故S△ABC×AA1=×AC×BC×AA1=x.
因为0
方法二：在中,AC2+BC2=AB2=4,
从而S△ABC×AA1=×AC×BC×AA1=AC×BC≤,当且仅当 AC=BC=时等号成立.
所以三棱锥A1-ABC的体积的最大值为.
7．表面积为16π的球内接一个正三棱柱,则此三棱柱体积的最大值为
A．4 B．
C．8 D．
1．一个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
A．12π B．18π
C．36π D．6π
2．的斜二侧直观图如图所示，则的面积为
A． B．1
C． D．2
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．1 B．2
C．3 D．6
4．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为
A． B．4
C． D．
5．一个与球心距离为2的平面截球所得圆面面积为，则球的表面积为
A． B．
C． D．
6．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为丈、下底为丈、高为丈，直棱柱的侧棱长为尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）
A． B．
C． D．
7．如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为
A． B．
C． D．
8．已知圆锥的高和底面半径之比，且圆锥的体积，则圆锥的表面积为
A． B．
C． D．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
10．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的体积为l，则阳马的外接球的表面积等于
A． B．
C． D．
11．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为，则的值为
A． B．
C． D．1
12．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，底面，若，，且，则此球的表面积等于
A． B．
C． D．
13．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为__________.
14．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________.
15．将若干毫升水倒入底面半径为4cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是__________cm.
16．正三棱锥的高为，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球的表面积是 ．
17．已知三棱锥的外接球半径为2，平面，，，则该三棱锥体积的最大值为__________．
18．已知四面体中，，则四面体的体积为__________.
19．如图所示的几何体为一简单组合体，在底面中，，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求该组合体的体积.
1．（2019年高考浙江卷）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是
A．158 B．162
C．182 D．324
2．（新课标I文科）在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A．8 B．
C． D．
3．（年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A．2 B．4
C．6 D．8
4．（新课标I文科）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A． B．
C． D．
5．（年高考新课标Ⅲ文科）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B．
C． D．
6．（新课标全国Ⅱ文科）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
7．（新课标全国Ⅲ文科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A． B．
C． D．
8．（浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A． B．
C． D．
9．（2019年高考全国Ⅲ卷文科）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O —EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.
10．（2019年高考北京卷文科）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
11．（2019年高考天津卷文科）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
12．（2019年高考江苏卷）如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E−BCD的体积是 ▲ .
13．（山东文科）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .
14．（天津文科）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．
15．（江苏）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 .
16．（江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
17．（天津卷文）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．
18．（新课标II文科）已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．
19．（新课标全国Ⅰ文科）已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
20．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．
21．（新课标全国Ⅰ文科）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P−ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
22．（新课标I文科）如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．
变式拓展
1．【答案】B
【解析】该几何体是如图所示的一个四棱锥，
棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直，
4个侧面都是直角三角形，
由所给数据可得该几何体的表面积为，
故选B．
2．【答案】A
【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为，下部分为长方体，棱长分别为，
其表面积为.
故选A.
【名师点睛】本题考查了求组合体的表面积问题，关键是由三视图还原几何体图形，注意题目中的计算.
3．【答案】A
【解析】由三视图可知，几何体的直观图如图：
是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，
底面都是腰长为的等腰直角三角形，高为，
所以体积为，
解得．
故选A．
【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.三视图问题是考查学生空间想象能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
4．【解析】（1）如图，连接，
因为底面是边长为的正三角形，
所以，且，
因为，，，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以平面.
（2）设斜三棱柱的体积为，
则
所以斜三棱柱的体积为
【名师点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重要，属于基础题.（1）根据底面为正三角形，易得；由各边长度，结合余弦定理，可求得的值，再根据勾股定理逆定理可得，从而可证平面；（2）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积公式可求解.
5．【答案】A
【解析】由三视图知：几何体是球体切去后余下的部分，球的半径为2，∴几何体的表面积S=（1﹣）×4π×22+π×22=16π．故答案为A.
【名师点睛】(1)本题主要考查由三视图找到几何体原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2)通过三视图找几何体原图的方法有两种：直接法和模型法.
6．【答案】A
【解析】由，得，又，所以平面，则，又,所以都是直角三角形，由三棱锥的外接球的性质知，球心为的中点，且球的半径，所以球的体积，选A．
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.先确定三角形BCD外接圆的半径，再解方程得外接球半径，最后根据球的体积公式得结果.
7．【答案】C
【解析】由题意,得该球的半径为2,设正三棱柱的侧棱长为,底面边长为,如图，
则,=，即，
则该正三棱柱的体积为，
则，
当时，；当时，，
即当时，取到极大值,也是最大值，为8,
故所求三棱柱的体积的最大值为8.故选C．
考点冲关
1．【答案】A
【解析】长方体的体对角线的长是，所以球的半径是，
所以该球的表面积是，故选A.
【名师点睛】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果.
2．【答案】D
【解析】∵，，，
∴原图形中两直角边长分别为2，2，
因此，的面积为．
故选D．
3．【答案】B
【解析】由题意可知该几何体的形状如图：
，，，，四边形BCDE是矩形，，
所以该几何体的体积为：．故选B．
【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键．
4．【答案】D
【解析】由三视图可知该几何体为如图所示的正四棱锥：
底面为边长为2的正方形，四个侧面为边长为2的等边三角形．
故该几何体的表面积为．
故选D．
5．【答案】A
【解析】用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为1.已知球心到该截面的距离为2,所以球的半径为，所以表面积为4π⋅5=20π.故选A.
6．【答案】B
【解析】根据棱柱的体积公式，可得城墙所需土方为（立方尺），一个秋天工期所需人数为，故选B.
7．【答案】C
【解析】由题意知，球的半径，所以球的表面积为.
设圆柱的底面半径为、高为，则，得，
即，
所以圆柱的侧面积
，
所以当，即时，圆柱的侧面积最大，最大值为.
此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是.
故选C.
8．【答案】D
【解析】圆锥的高和底面半径之比，∴，
又圆锥的体积，即，
解得，
∴，
母线长为，
则圆锥的表面积为．
故选D．
9．【答案】A
【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体是在一个半球中挖出四分之一圆锥，
其中球的半径为，圆锥的底面半径为，高为，
故所求体积为，故选A．
10．【答案】A
【解析】由题意，因为平面，四边形为正方形，，，
又鳖臑的体积为，所以，
解得，
而阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线，
所以，即，
则外接球的表面积为．
故选A．
【名师点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．
（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究棱锥的外接球的问题．
11．【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的直三棱柱，
其中，，
则，，
所以该几何体的表面积为，得.故选B．
12．【答案】D
【解析】在底面三角形中，由，，，
利用余弦定理可得：，
∴，即，
取为中点，则为的外心，可得三角形外接圆的半径为1，
设三棱锥的外接球的球心为，连接，则．
即三棱锥的外接球的半径为．
∴三棱锥的外接球的表面积等于．
故选D．
13．【答案】
【解析】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个组合体，该组合体由两个同底的圆锥组成，两个圆锥的底面半径均为，高均为1，
则体积为.
故答案为.
14．【答案】
【解析】因为展开图是半径为3，圆心角为的扇形，所以圆锥的母线，圆锥的底面的周长为，因此底面的半径，根据勾股定理，可知圆锥的高，
所以圆锥的体积为.
15．【答案】4
【解析】设倒圆锥形器皿中水面的高为h cm,则水面圆的半径为htan30°=,则由π×42×8=×()2×
πh,解得h=4.
16．【答案】
【解析】如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．
是正三棱锥的高，即．是边中点，在上，的边长为，
所以，所以，可以得到，，由等体积法得：，
所以，解得：，
所以此球的表面积是．
【名师点睛】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．
17．【答案】
【解析】由题意，在长方体中作出满足题意的三棱锥如图所示：
则该三棱锥的外接球即是其所在长方体的外接球，故，
又，所以，
设，，
由可得，
所以该三棱锥的体积为.
当且仅当时，取最大值.
故答案为.
18．【答案】
【解析】如图，取中点，中点，连结，
∵四面体中，，
∴，，，
∵，∴平面，
又，∴，
则.
故答案为．
19．【解析】（1）∵，，
∴，
又∵，
∴，
又，，，，
∴，
又∵，
∴平面.
（2）连接，过作于，
∵平面，，
∴，
又，，，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴.
∴.
∵，
∴，
又，
∴，
∴.
∵，
∴.
∴该组合体的体积.
直通高考
1．【答案】B
【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.
故选B.
【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.
2．【答案】C
【解析】在长方体中，连接，
根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，
所以该长方体的体积为，故选C.
【名师点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长、宽、高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，最终求得结果.
3．【答案】C
【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.
【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.
4．【答案】B
【解析】根据题意，可得截面是边长为的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，
所以其表面积为，
故选B.
【名师点睛】该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
5．【答案】B
【解析】如图所示，设点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，
当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，，
，,点M为三角形ABC的重心，，
中，有，，
，故选B.
【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点在平面上的射影为三角形ABC的重心时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型.
6．【答案】B
【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积，故该组合体的体积．故选B．
【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
7．【答案】B
【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示：
由题意可得：，
结合勾股定理，底面半径，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.
【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.
8．【答案】A
【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为，选A．
【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整．
9．【答案】118.8
【解析】由题意得，，
∵四棱锥O−EFGH的高为3cm， ∴．
又长方体的体积为，
所以该模型体积为，
其质量为．
【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.
10．【答案】40
【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱之后余下的几何体，
则几何体的体积.
故答案为40.
【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
11．【答案】
【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为.
若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，
故圆柱的体积为.
【名师点睛】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.
12．【答案】10
【解析】因为长方体的体积为120，所以，
因为为的中点，所以，
由长方体的性质知底面，
所以是三棱锥的底面上的高，
所以三棱锥的体积.
【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.
13．【答案】
【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆的半径为1,
所以.
【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．
（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
14．【答案】
【解析】设正方体的边长为，则，其外接球直径为，故这个球的体积．
【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：①三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心．
15．【答案】
【解析】设球半径为，则．
故答案为．
【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
16．【答案】
【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为.
【名师点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．
17．【答案】
【解析】如图所示，连接，交于点，很明显在平面上的射影是点O，则是四棱锥A1–BB1D1D的高，且，
，
结合四棱锥体积公式可得其体积为：.
【名师点睛】本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．【答案】8π
【解析】如下图所示，，又，解得，所以，
所以该圆锥的体积为.
【名师点睛】此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.
19．【答案】
【解析】取的中点，连接，
因为，所以，
因为平面平面，所以平面，
设，则，
所以，
所以球的表面积为.
【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的各顶点的距离相等，然后用同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．
20．【解析】（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，
故．
又，所以BE⊥平面．
（2）由（1）知∠BEB1=90°.
由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以，
故AE=AB=3，.
作，垂足为F，则EF⊥平面，且．
所以，四棱锥的体积．
【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.
21．【解析】（1）由已知，得，．
由于，故，从而平面．
又平面，所以平面平面．
（2）在平面内作，垂足为．
由（1）知，平面，故，
可得平面．
设，
则由已知可得，．
故四棱锥的体积．
由题设得，故．
从而，，．
可得四棱锥的侧面积为．
【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；计算点面距离时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点面距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出．
22．【解析】（1）由已知可得，=90°，．
又BA⊥AD，且，
所以AB⊥平面ACD．
又AB平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC．
（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．
又，
所以．
作QE⊥AC，垂足为E，
则．
由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，
所以QE⊥平面ABC，QE=1．
因此，三棱锥的体积为．
【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.
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