高考数学(理数)一轮复习学案13．1《坐标系与参数方程》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案13．1《坐标系与参数方程》(含详解)，共14页。

13．1　坐标系与参数方程



1．极坐标系
(1)在平面内取一个定点O，叫做________；自极点O引一条射线Ox，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取________方向)，这样就建立了一个________．

设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的________ ，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的________，记为M(ρ，θ)．
一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
(2)一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示________．特别地，极点O的坐标为________(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有________表示．
如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用________极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是________的．
2．极坐标和直角坐标的互化

(1)把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)．从图中可以得出它们之间的关系：
__________________________．
由上式又得到下面的关系式：
__________________________．
这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
(2)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)．一般只要取θ∈________就可以了．
3．简单曲线的极坐标方程
(1)曲线的极坐标方程的定义
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0(因为平面内点的极坐标表示不惟一)，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程____________叫做曲线C的极坐标方程．
(2)常见曲线的极坐标方程
①圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为___________________________________________；
②圆心为(r，0)，半径为r的圆的极坐标方程为
___________________________；
③圆心为，半径为r的圆的极坐标方程为
(0≤θ<π)；
④过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为
______________________________；
⑤过点(a，0)(a＞0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程为
；
⑥过点，与极轴平行的直线的极坐标方程为
______________________________(0<θ<π)．
4．直线的参数方程
(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为．
(2)直线的参数方程中参数t的几何意义是：_______________________________________________________________________________________.
当与e(直线的方向向量)同向时，t取____________．当与e反向时，t取____________，当M与M0重合时，t＝____________.
5．圆的参数方程
圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为．
6．椭圆的参数方程
中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是(φ为参数)，规定参数φ的取值范围是____________．

自查自纠：
1．(1)极点　极轴　逆时针　极坐标系　极径　极角　
极坐标
(2)同一个点　(0，θ)　无数种　惟一　惟一确定
2．(1)　　(2)[0，2π)
3．(1)f(ρ，θ)＝0　(2)①ρ＝r　②ρ＝2rcosθ　③ρ＝2rsinθ
④θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)　⑤ρcosθ＝a
⑥ρsinθ＝a
4．(1)(t为参数)
(2)t的绝对值等于直线上的动点M到定点M0的距离
正数　　负数　　0
5.(θ为参数)
6.　　[0，2π)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

()在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
()在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．
解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，
当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.　①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　平面直角坐标系中的伸缩变换
　将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，
依题意，得
由x＋y＝1得x2＋()2＝1，
故曲线C的标准方程为x2＋＝1.
(2)由解得或
不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为(，1)，所求直线斜率为k＝，
于是所求直线方程为y－1＝(x－)，
化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，
故所求直线的极坐标方程为ρ＝.

点　拨：
①解答该类问题应明确两点：一是平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．②求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入转化．
　　
　在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
(1)求点A(，－2)经过φ变换后所得点A′的坐标；
(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．
解：(1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：
得　所以x′＝×3＝1，y′＝＝－1.
所以点A′的坐标为(1，－1)．
(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．
由伸缩变换φ：得
代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，
所以y′＝x′为所求直线l′的方程．
类型二　极坐标与直角坐标的互化
　()在极坐标系中，已知曲线C：ρ＝2sin(θ－)，P为曲线C上的动点，定点Q(1，)．
(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程；
(2)求P，Q两点间的最短距离．
解：(1)在极坐标系中，曲线C：ρ＝2sin(θ－)＝2sinθ－2cosθ，所以ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，即(x＋1)2＋(y－1)2＝2.
(2)在直角坐标系中，易知Q(，)，又曲线C的圆心为(－1，1)，半径为，
所以|PQ|min＝－＝－.

点　拨：
将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ以及ρ＝，tanθ＝(x≠0)．
　　
　()在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m，0)，且倾斜角为.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)写出曲线C的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．
解：(1)曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，所以曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ，即ρ＝2cosθ.
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m，由题意得|m2－2m|＝1，得m＝1，1＋或1－.
类型三　直线、圆的极坐标方程
　()在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.
C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．所以a＝1.

点　拨：
题(1)先将曲线C1的参数方程化成普通方程，再将普通方程化为极坐标方程，考查了化归与转化思想；题(2)中关键是理解极坐标方程的含义，消去ρ，建立与直线C3：θ＝α0的联系，进而求a.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
　　
　在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝1，圆C的圆心的极坐标是(1，)，圆的半径为1.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长．
解：(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，|OA|＝|OD|cos(－θ)或|OA|＝|OD|cos(θ－)．
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－)．
另解：先写出圆C的直角坐标方程，再化为极坐标方程．
(2)由ρsin(θ＋)＝1，得ρ(sinθ＋cosθ)＝1，
所以直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，
又圆心C的直角坐标为(，)，满足直线l的方程，
所以直线l过圆C的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.
类型四　参数方程和普通方程的互化
　()在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线：(t为参数)与曲线C：(φ为参数)相交于不同的两点A，B.
(1)当α＝时，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程；
(2)若直线AB的斜率为，点P(2，)，求|PA|·|PB|的值．
解：(1)当α＝时，直线AB的普通方程为x－y－＝0，即直线AB的直角坐标方程为x－y－＝0，
所以直线AB的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＝，即2ρcos(θ＋)＝.
(2)曲线C：的普通方程是＋y2＝1，
将代入曲线C的普通方程，整理得
(cos2α＋4sin2α)t2＋(8sinα＋4cosα)t＋12＝0.
所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝＝＝，
又直线的斜率为，即tanα＝，代入上式可求得|PA|·|PB|＝＝7.

点　拨：
消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x，y的取值范围保持一致．

　()已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1被C2截得的线段的长；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，当α变化时，求A点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解：(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组解得C1与C2的交点为(1，0)与(，－)．所以C1被C2截得的线段的长为＝1.
(2)将C1的参数方程代入C2的普通方程得t2＋2tcosα＝0，
所以A点对应的参数t＝＝－cosα，
所以A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)．
故当α变化时，A点轨迹的参数方程为(α为参数)．因此，A点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝.
故A点的轨迹是以(，0)为圆心，为半径的圆．
另解：直线C1过定点M(1，0)，而OA⊥AM，故点A的轨迹是以OM为直径的圆．
类型五　参数方程的应用
　()在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点，当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为.
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
.

点　拨：
已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为(t为参数)．①若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝.②若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝.③若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.
　　
　()在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1，2)，倾斜角α＝.
(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；
(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．
解：(1)消去θ，得圆的标准方程为x2＋y2＝16.
直线l的参数方程为
即(t为参数)．
(2)把直线l的方程代入x2＋y2＝16，得(1＋t)2＋(2＋t)2＝16，即t2＋(2＋)t－11＝0，
所以t1t2＝－11，即|PA|·|PB|＝11.
　()在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝＝，
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.

点　拨：
圆与椭圆的参数方程的异同点：①圆与椭圆的参数方程，实质都是三角代换，有关圆或椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．②圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同，圆的参数方程中的参数是圆心角，椭圆的参数方程中的参数是离心角，只有椭圆上的点在坐标轴上时，离心角才等于圆心角．
　　
　已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为
d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
　　
　在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinα，C3：ρ＝2cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，
其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α)．
所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.

点　拨：
本题主要考查极坐标方程与圆的参数方程的相关知识，具体涉及极坐标方程与直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容，意在考查方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．
　　
　已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围．
解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，
所以ρ2＝4ρsin＝4ρ.
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以x2＋y2＝2 y－2x，
所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2 y＝0.
(2)方法一：设z＝x＋y，
由圆C的方程x2＋y2＋2x－2 y＝0⇒(x＋1)2＋(y－)2＝4，
所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2，
将代入z＝x＋y得z＝－t.
又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，
即x＋y的取值范围是[－2，2]．
方法二：直线l的参数方程化成普通方程为x＋y＝2.
由
解得P1(－1－，＋1)，P2(－1＋，－1)．
因为P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，
所以点P在线段P1P2上，
所以x＋y的最大值是×(－1＋)＋(－1)＝2，
最小值是×(－1－)＋(＋1)＝－2，
所以x＋y的取值范围是[－2，2]．
类型六　求轨迹方程
　已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；
(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程，并指出它是什么曲线．
解：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，
则由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ.
又ρ2＝2，ρ1＝，
所以＝4，
故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)．
点Q轨迹的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，去掉(0，0)点．
故点Q的轨迹是圆心为(1，1)，半径为的圆，去掉(0，0)点．

点　拨：
用极坐标求点的轨迹方程，要明确极坐标中各个量的几何意义以及题中的等量关系如何用这些量来表示．化简后的极坐标方程中要注意限制条件．另外，本题也可在普通方程下求轨迹方程，但运算较复杂．
　　
　在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为θ＝，曲线C的参数方程为
(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
(2)过点M平行于l的直线与曲线C交于A，B两点，若|MA|·|MB|＝，求点M轨迹的直角坐标方程．
解：(1)直线l：y＝x，曲线C：＋y2＝1.
(2)设点M(x0，y0)及过点M的直线为l1： (t为参数)，
直线l1与曲线C联立可得：
＋(x0＋2y0)t＋x＋2y－2＝0.
因为|MA|·|MB|＝，所以＝，
即x＋2y＝6，而方程＋＝1表示一个椭圆．
取y＝x＋m代入＋y2＝1得：3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
由Δ≥0得－≤m≤，
故点M的轨迹是椭圆＋＝1夹在平行直线y＝x±之间的两段弧．



1．极坐标系
(1)极坐标系内两点间的距离公式．
设极坐标系内两点P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，则＝.
特例：当θ1＝θ2时，＝.
(2)极坐标方程与直角坐标方程的互化．
①直角坐标方程化为极坐标方程，只须将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程，则往往要通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．
②通常情况下，由tanθ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．在这里要注意：当x≠0时，θ角才能由tanθ＝按上述方法确定．当x＝0时，tanθ没有意义，这时又分三种情况：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y>0时，可取θ＝；当x＝0，y<0时，可取θ＝.
2．求简单曲线的极坐标方程的方法
(1)设点M(ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用正弦定理求解与θ的关系．
(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．
3．参数方程与普通方程的互化
(1)参数方程化为普通方程——消去参数．
消去参数的常用方法有：
①先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程，即代入法；
②利用三角函数中的恒等式消去参数，运用最多的是sin2α＋cos2α＝1，即三角公式法；
③整体观察，对两式进行四则运算(运用较多的是两式整体相除)，或先分离参数再运算．
总的来说，消参无定法，只要能消参，方法可灵活多样，多法齐用．
(2)普通方程化为参数方程——选参数．
一般来说，选择参数时应考虑以下两点：
①曲线上每一点的坐标(x，y)都能由参数取某一值唯一地确定出来；
②参数与x，y的相互关系比较明显，容易列出方程．
参数的选取应根据具体条件来考虑．可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等．
在二者互化的过程中，要注意等价性，注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，如果发生改变则它们所表示的曲线就不是同一曲线．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．()在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
解：易求得直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.
因为点P在曲线C上，设P(2s2，2s)，
所以点P到直线l的距离d＝＝.
当s＝时，dmin＝.
因此当点P的坐标为(4，4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.
2．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．
解：(1)将消去参数t，化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为(，)，(2，)．
3．圆心C的极坐标为(2，)，且圆C经过极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．
解：(1)圆心C的直角坐标为(，)，则设圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝r2，依题意可知r2＝(0－)2＋(0－)2＝4，故圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－2ρ(sinθ＋cosθ)＝0，
即ρ＝2(sinθ＋cosθ)．
(2)在圆C的直角坐标方程x2＋y2－2(x＋y)＝0中，令y＝0，得x2－2x＝0，解得x＝0或2，于是得到圆C与x轴的交点坐标(0，0)，(2，0)，由于直线过圆心C(，)和点(2，0)，则该直线的直角坐标方程为y－0＝(x－2)，即x＋y－2＝0，化为极坐标方程得ρcosθ＋ρsinθ－2＝0.

4．()在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
(1)求出圆C的直角坐标方程；
(2)已知圆C与x轴交于A，B两点，直线l：y＝2x关于点M(0，m)(m≠0)对称的直线为l′，若直线l′上存在点P使得∠APB＝90°，求实数m的最大值．
解：(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，故x2＋y2－4x＝0，即圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)l：y＝2x关于点M(0，m)的对称直线l′的方程为y＝2x＋2m，易知AB为圆C的直径，故直线l′上存在点P使得∠APB＝90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点，故≤2，于是，实数m的最大值为－2.
5．()在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ＞0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4cosα·
＝2
≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
6．()在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cosθ，ρcos(θ＋)＝1.
(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；
(2)过极点O作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．
解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x－y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心C1到直线C2的距离为d＝＞1，所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．
(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则即　①
因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，所以ρ0cos(θ0＋)＝1，②
将①代入②，得cos(θ＋)＝1，
即ρ＝2cos(θ＋)(ρ≠0)为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为(x－)2＋(y＋)2＝1，去掉点(0，0)．
因此点P的轨迹是以(，－)为圆心，1为半径的圆，去掉点(0，0)．
()在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数，a>0)．以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcos＝－2.
(1)设P是曲线C上的一个动点，当a＝2时，求点P到直线l的距离的最小值；
(2)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．
解：(1)由ρcos＝－2，得(ρcosθ－ρsinθ)＝－2，化成直角坐标方程，得(x－y)＝－2，即直线l的方程为x－y＋4＝0.
依题意，设P(2cost，2sint)，则
P到直线l的距离
d＝＝＝2＋2cos，
当t＋＝2kπ＋π，即t＝2kπ＋π，k∈Z时，dmin＝2－2.
故点P到直线l的距离的最小值为2－2.
(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，
所以对∀t∈R，有acost－2sint＋4>0恒成立，
即cos(t＋φ)>－4恒成立，
所以<4，又a>0，解得0 故a的取值范围为(0，2)．

1．()在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为(t为参数，α为直线的倾斜角)．
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．
解：(1)当α＝时，直线l的普通方程为x＝－1；
当α≠时，直线l的普通方程为y＝(x＋1)tanα.
由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，
所以x2＋y2＝2x，即为曲线C的直角坐标方程．
(2)把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0.
由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，
所以cosα＝或cosα＝－，
故直线l的倾斜角α为或.
2．()在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为 (m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
解：(1)消去参数t得l1的普通方程y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程y＝(x＋2)．
设P点坐标为(x，y)，联立方程
消去k得x2－y2＝4(y≠0)．
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．
联立 得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．
故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.
3．()在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin(θ＋)＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，
又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(2)设P(ρ1，θ1)，则由得ρ1＝1，θ1＝，即P(1，)．
设Q(ρ2，θ2)，则由
得ρ2＝3，θ2＝，即Q(3，)．所以PQ＝2.
4．()已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．
解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.
C1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4，4)，又Q(8cosθ，3sinθ)，故M(－2＋4cosθ，2＋sinθ)，
又C3的普通方程为x－2y－7＝0，则M到C3的距离d＝|4cosθ－3sinθ－13|＝|3sinθ－4cosθ＋13|＝|5(sinθ－φ)＋13|(其中φ满足tanφ＝)，所以d的最小值为.
5．()在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别是(t是参数)和(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；
(2)射线OM：θ＝α(α∈[，])与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为O，Q，求|OP|·|OQ|的最大值．
解：(1)C1的普通方程为y2＝4x，C2的普通方程为x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0.又ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，所以C2的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＝0，即ρ＝2sinθ.
(2)由(1)可得C1的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，与直线θ＝α联立可得：ρ＝，即OP＝，同理可得OQ＝2sinα.
所以|OP|·|OQ|＝＝，令f(α)＝，易知f(α)在α∈[，]上单调递减，所以(|OP|·|OQ|)max＝＝8.
6．()在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cosθ.
(1)求l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
(2)当φ∈(0，π)时，l与C相交于P，Q两点，求|PQ|的最小值．
解：(1)由直线l的参数方程(t为参数)，
消去参数t，得(x－3)sinφ－(y－1)cosφ＝0，
即直线l的普通方程为(sinφ)x－(cosφ)y＋cosφ－3sinφ＝0.
由圆C的极坐标方程ρ＝4cosθ，
得ρ2－4ρcosθ＝0(*)．
将代入(*)得x2＋y2－4x＝0.
即圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)将直线l的参数方程代入(x－2)2＋y2＝4，得
t2＋2(cosφ＋sinφ)t－2＝0.
设P，Q两点对应的参数分别为t1，t2，则
t1＋t2＝－2(cosφ＋sinφ)，t1t2＝－2.
所以|PQ|＝|t1－t2|＝＝2＝2，
因为φ∈(0，π)，所以2φ∈(0，2π)，
所以当φ＝，即sin2φ＝－1时，|PQ|取得最小值2.
()在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρ(sinθ＋cosθ)＝4，若射线θ＝，θ＝分别与l交于A，B两点．
(1)求|AB|；
(2)设点P是曲线C：x2＋＝1上的动点，求△ABP面积的最大值．
解：(1)直线l：ρsin＝2，令θ＝，得ρ＝2，令θ＝，得ρ＝4，所以A，B.
又因为∠AOB＝－＝，OA＝2，OB＝4，所以∠BAO＝，
所以|AB|＝2.
(2)直线l：x＋y＝4，设曲线C：(α为参数)．
所以曲线C上的点P(cosα，3sinα)到直线l的距离d＝＝≤＝3.
当且仅当α＋＝2kπ－，即α＝2kπ－π时取“＝”．
所以S△ABP＝|AB|·d≤·2·3＝3.
即△ABP面积的最大值为3.