高考数学(理数)一轮复习学案12．2《合情推理与演绎推理》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案12．2《合情推理与演绎推理》(含详解)，共8页。

12．2　合情推理与演绎推理



1．两种基本的推理
推理一般包括____________和____________两类．
2．合情推理
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由__________到整体、由__________到一般的推理．
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由________到________的推理．
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
3．演绎推理
(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__________到__________的推理．
(2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”可以表示为：
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结论：S是P.

自查自纠：
1．合情推理　演绎推理
2．(1)部分　个别　(2)特殊　特殊　(3)归纳　类比
3．(1)一般　特殊　(2)三段论




下列表述正确的是 (　　)
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①③④　　　 B．②③④　　　
C．②③⑤　　　 D．①③⑤
解：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤正确．故选D.
下列推理过程是类比推理的为 (　　)
A．人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5
B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C．通过检验溶液的pH值得出溶液的酸碱性
D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数
解：由类比推理的概念可知，选项B为类比推理．选项A为归纳推理，选项C、D为演绎推理．故选B.
()甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是 (　　)
A．甲被录用了 B．乙被录用了
C．丙被录用了 D．无法确定谁被录用了
解：由于甲和丙的说法对立，故甲和丙必一真一假，假如甲、乙说法正确，丙说法错误，则甲和丙都被录用，不成立；若甲说法错误，乙、丙说法正确，则甲被录用，满足题意．故选A.
数列，，，，，，…，，，…，的第20项是__________．
解：在数列中是第1＋2＋3＋…＋m＝项，当m＝5时，即是数列中第15项，则第20项是.故填.
()如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝__________.

解：每条边有n个点，所以3条边有3n个点，三角形的3个顶点重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么＝＝－，即＋＋＋…＋＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.故填.


类型一　归纳推理
　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N*，猜想这个数列的通项公式是什么？说明理由．
解：在{an}中，a1＝1，a2＝＝，
a3＝＝＝，a4＝＝，…，
所以猜想{an}的通项公式an＝.
证明如下：因为a1＝1，an＋1＝，
所以＝＝＋，即－＝，
所以数列是以＝1为首项，为公差的等差数列，
所以＝1＋(n－1)＝n＋，
所以通项公式an＝.
(2)()观察下列不等式．
1＋＜，
1＋＋＜，
1＋＋＋＜，
……
照此规律，第五个不等式为____________．
解：观察不等式的特点，每个不等式左端最后一个分数的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且右端分数的分子依次构成等差数列．故第五个不等式为1＋＋＋＋＋＜.故填1＋＋＋＋＋＜.

点　拨：
本题考查归纳推理，通过对某些个体的观察、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律，再从中推出一个明确表达的一般性命题，从而写出题中要求的具体命题．

　(1)根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的一个通项公式．
(Ⅰ)a1＝3，an＋1＝2an＋1；
(Ⅱ)a1＝a，an＋1＝.
解：(Ⅰ)由已知有a1＝3＝22－1，
a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，
a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，
a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.
由此猜想an＝2n＋1－1，n∈N*.
(Ⅱ)由已知有a1＝a，a2＝＝，
a3＝＝，a4＝＝.
由此猜想an＝，n∈N*.

(2)()观察下列等式：
(sin)－2＋(sin)－2＝×1×2；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＝×2×3；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×3×4；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×4×5；
……
照此规律，
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝____________.
解：注意到等式的右边分别为×1×2，× 2×3，×3×4，×4×5，…，所以最后一个等式的右边为n(n＋1)．故填n(n＋1)．
类型二　类比推理
　(1)()在平面几何中， △ABC的内角C的角平分线CE分AB所成线段的比满足＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中(如图)，平面DEC平分二面角A­CD­B且与AB相交于点E，则得到类比的结论是____________．

解：将平面中线段的比类比到空间中面积的比可得＝.故填＝.

点　拨：
本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论．一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下.

平面
点
线
圆
三角形
角
面积
周长
…
空间
线
面
球
三棱锥
二面角
体积
表面积
…
(2)若等差数列{an}的前n项之和为Sn，则一定有S2n－1＝(2n－1)an成立．若等比数列{bn}的前n项之积为Tn，类比等差数列的性质，则有(　　)
A．T2n－1＝(2n－1)＋bn B．T2n－1＝(2n－1)bn
C．T2n－1＝(2n－1)b D．T2n－1＝b
解：在等差数列{an}中，a1＋a2n－1＝2an，a2＋a2n－2＝2an，…，故有S2n－1＝(2n－1)an.在等比数列{bn}中，b1b2n－1＝b，b2b2n－2＝b，…，故有T2n－1＝b1b2…b2n－1＝b.故选D.

点　拨：
只要将等差数列关系式中的d换成等比数列中的q，并将“加、减、乘、除”依次变成“乘、除、乘方、开方”运算即可得到等比数列的关系式，而等差数列中d＝0通常类比成等比数列中q＝1.
　　
　(1)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O­LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是__________．

解：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.故填S＋S＋S＝S.
(2)“解方程＋＝1”有如下思路：设f(x)＝＋，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，故原方程有唯一解x＝2.类比上述思路，不等式x6－(x＋2)＞(x＋2)3－x2的解集是________．
解：不等式化为x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)，设g(x)＝x3＋x，则g(x)在R上单调递增，所以不等式即g(x2)＞g(x＋2)，所以x2＞x＋2，解得x＞2或x＜－1.故填{x|x＞2或x＜－1}．
类型三　演绎推理
　指出下面推理中的错误．
(1)自然数是整数大前提
－5是整数小前提
所以，－5是自然数结论
(2)指数函数y＝ax是增函数大前提
y＝是指数函数小前提
所以，y＝是增函数结论
(3)三角函数是周期函数 大前提
y＝sinx(0 所以，y＝sinx(0 解：(1)推理形式错误，自然数是整数为大前提，小前提应是判断某数为自然数，而不是某数为整数．
(2)大前提错误，因为当0 (3)推理形式错误，大前提中的“三角函数”和小前提中的“三角函数”概念不同．

点　拨：
演绎推理是一种必然性推理，只有前提和推理形式都是正确的，结论才一定是正确的，否则，不能保证结论的可靠性．
　　
　有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线，即已知直线b⃘平面α，直线a⊂平面α，若直线b∥平面α，则直线b∥直线a.”该结论显然是错误的，这是因为 (　　)
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解：直线平行于平面，这条直线可能与该平面内的直线成异面直线，即大前提错误．故选A.
类型四　推理的应用
　()甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 (　　)
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解：依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩．故选D.

点　拨：
推理在实际生活中的应用是近年高考的一个热点问题，对已知条件进行有效的组合一般可直接得到结果，对复杂情形，可能需要先假设，再判断．
　　
　()在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中找出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：
①此案是两人共同作案；
②若甲参与此案，则丙一定没参与；
③若乙参与此案，则丁一定参与；
④若丙没参与此案，则丁也一定没参与．
据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是(　　)
A．甲、乙 B．甲、丙
C．乙、丙 D．丙、丁
解：逐项考查：若甲、乙参与此案，则不符合③；若甲、丙参与此案，则不符合②；若乙、丙参与此案，则不符合③；当丙、丁参与此案，全部符合．故选D.



1．归纳推理的前提是一些特殊的情况，所以归纳推理要在观察、经验、实验的基础上进行；归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象，因此所得结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的．归纳推理的一般过程如下．
(1)通过观察个别情况，发现相同的性质．
(2)推出一个明确表述的一般性结论．
2．在数学中，类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，并且应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限等之间有不少结论都是先用类比的方法提出猜想，然后再加以证明的．进行类比推理，重要的是要找准合适的类比对象，如三棱锥、球、体积的类比对象一般分别为三角形、圆、面积；同时还要注意不仅可进行形式的类比，还可进行方法的类比．类比推理的一般步骤如下．
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)
A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人
B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)，计算前3项并归纳出{an}的通项公式
解：A、D是归纳推理；B是类比推理；C使用了“三段论”，是演绎推理．故选C.
2．给出下列三个类比结论．
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝ an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中正确结论的个数是 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sinαsinβ不恒成立，如α＝30°， β＝60°，sin90°＝1，sin30°·sin60°＝，故②错误．由向量的运算公式知③正确．故选B.
3．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为 (　　)
A．dn＝
B．dn＝
C．dn＝
D．dn＝
解：若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，所以bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列．若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，所以dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列．故选D.
4．()在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌上，为了使他们能够自由与邻座交谈，事先了解到的情况如下．
甲是中国人，还会说英语；
乙是法国人，还会说日语；
丙是英国人，还会说法语；
丁是日本人，还会说汉语；
戊是法国人，还会说德语．
则这五位代表的座位顺序应为 (　　)
A．甲、丙、丁、戊、乙
B．甲、丁、丙、乙、戊
C．甲、乙、丙、丁、戊
D．甲、丙、戊、乙、丁
解：由题意，甲、乙、丙、丁、戊5个人围成圆圈，而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流．从甲开始，甲会说汉语和英语，则甲的相邻座位一定是丙和丁，可知选项D符合．或运用排除法来解决．观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流，因此，选项B，C错误，乙不能和甲交流，选项A错误．故选D.
5．()对大于1的自然数的三次幂可以分解成几个奇数的和，比如23＝3＋5，33＝ 7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…，以此规律，则453的分解和式中一定不含有 (　　)
A．2 069 B．2 039 C．2 009 D．1 979
解：由规律得n3中有n项，而23，33，43中第一项分别为3＝22－2＋1，7＝32－3＋1，13＝42－4＋1，所以453中第一项为452－45＋1＝1 981，最后一项为1 981＋2×44＝2 069，所以一定不含有1 979.故选D.
6．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．
甲说：我在1日和3日都有值班；
乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．
据此可判断丙必定值班的日期是 (　　)
A．10日和12日 B．2日和7日
C．4日和5日 D．6日和11日
解：这12天的日期之和，S12＝(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的值班日期之和是26，对于甲，剩余2天日期之和是22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日值班；对于乙，剩余2天日期之和是9，故乙可能在2日，7日，或者是4日，5日值班，因此丙必定值班的日期是6日和11日．故选D.
7．()观察下列等式：
14＝1，
24＝7＋9，
34＝25＋27＋29，
44＝61＋63＋65＋67，
……
照此规律，第5个等式可为____________．
解：观察可知每个等式右端的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，设行数为n，用an1表示等式右端的第一个数，则an1＝n3－n＋1，因此第5行的第一个数为53－5＋1＝121，则第5个等式为54＝121＋123＋125＋127＋129.故填54＝121＋123＋125＋127＋129.
8．下表中的数阵为“森德拉姆筛子”，其特点是每行每列都成等差数列．记第i行第j列的数为ai，j(i，j∈N*)，如a1，1＝4.则a9，9＝____________.
4
7
10
13
16
…
7
12
17
22
27
…
10
17
24
31
38
…
13
22
31
40
49
…
16
27
38
49
60
…
…
…
…
…
…
…
解：由题知，在第1行，第1个数是4，公差为3，因此第1行的第9个数为a1，9＝4＋3×(9－1)＝28；又由表可知，第j列数的公差为2j＋1，故a9，9＝28＋(2×9＋1)×(9－1)＝180.或由a1，1＝1×4，a2，2＝2×6，a3，3＝3×8，…，得ai，i＝i×(2i＋2)，从而a9，9＝9×20＝180.故填180.
9．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
解：f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝＋＝，
同理可得，f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝，
并注意到这三个式子中，自变量之和均等于1.
归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝.
证明：设x1＋x2＝1，则
f(x1)＋f(x2)＝＋
＝
＝
＝
＝＝.

10．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)．
(1)已知a，b为实数，且|a|<1，|b|<1，求证：ab＋1>a＋b；
(2)已知a，b，c均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.
证明：(1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.
(2)因为|a|<1，|b|<1，|c|<1，所以|ab|<1，
据(1)得(ab)·c＋1>ab＋c，
所以abc＋2＝[(ab)·c＋1]＋1>(ab＋c)＋1
＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c.
11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋.在四面体A­BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．

解：如图所示，在Rt△ABC中，由射影定理得，
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，
AC2＝BC·DC，
所以＝
＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，
所以＝＝＋.
猜想，在四面体A­BCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.
证明：如图，连接BE并延长交CD于点F，连接AF.

因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，AC⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，所以AB⊥平面ACD.
因为AF⊂平面ACD，所以AB⊥AF.
又AB⊥CD，AE⊥CD，所以CD⊥平面ABF，所以AF⊥CD.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，所以＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，所以＝＋.
所以＝＋＋.
()已知函数f(x)＝xlnx－x＋1.求证：
(1)当x＞1时，f(x)＞0；
(2)当n∈N*时，＋＋＋…＋<2ln2.
证明：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝lnx，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x＞1时，f′(x)＞0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，f(x)＞f(1)＝0.
所以当x＞1时，f(x)＞0.
(2)由(1)知x>1时，xlnx－x＋1>0，即lnx>恒成立．
令x＝(n∈N*)，即ln>1－＝，
即 同理，
…
将上式左右分别相加得：
＋＋＋…＋