四川省德阳市3年（2020-2022）中考数学真题汇编-第21-29章【人教版九年级】

这是一份四川省德阳市3年（2020-2022）中考数学真题汇编-第21-29章【人教版九年级】，共45页。试卷主要包含了关于x轴对称等内容，欢迎下载使用。

九年级数学上学期期末复习培优综合练习3 -人教版九年级21-29章【中考真题】（四川德阳）
一．反比例函数的图象（共1小题）
1．（2022•德阳）一次函数y＝ax+1与反比例函数y＝﹣在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
二．反比例函数的性质（共2小题）
2．（2021•德阳）下列函数中，y随x增大而增大的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣2x+3
C．y＝（x＜0） D．y＝﹣x2+4x+3（x＜2）
3．（2020•德阳）已知函数y＝，当函数值为3时，自变量x的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣
三．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
4．（2021•德阳）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．

四．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
5．（2022•德阳）如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点A，且点A的横坐标为﹣2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B的坐标是（﹣3，0），若点P在y轴上，且△AOP的面积与△AOB的面积相等，求点P的坐标．

6．（2020•德阳）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1．
（1）求a，b的值．
（2）在反比例y2＝第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．

五．二次函数的最值（共1小题）
7．（2020•德阳）若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 　 　．
六．抛物线与x轴的交点（共1小题）
8．（2020•德阳）已知不等式ax+b＞0的解集为x＜2，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）2a+b＝0；
（2）当c＞a时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b＜3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣＜m＜0．
A．1 B．2 C．3 D．4
七．二次函数综合题（共3小题）
9．（2022•德阳）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．
（1）如图①，求射线MF的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；
（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求的最大值．

10．（2021•德阳）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2020•德阳）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

八．圆周角定理（共1小题）
12．（2021•德阳）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是 　 　．
九．切线的判定与性质（共2小题）
13．（2022•德阳）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）如果AB＝10，CD＝6，
①求AE的长；
②求△AEF的面积．

14．（2021•德阳）如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，点F为AC的延长线上一点，且∠CBF＝∠BOE．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的长．

一十．三角形的内切圆与内心（共1小题）
15．（2022•德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
一十一．正多边形和圆（共1小题）
16．（2020•德阳）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
一十二．圆锥的计算（共2小题）
17．（2022•德阳）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（　　）
A．16π B．52π C．36π D．72π
18．（2021•德阳）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
一十三．旋转的性质（共2小题）
19．（2020•德阳）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'．此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）

A． B． C． D．
20．（2021•德阳）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．

一十四．中心对称图形（共1小题）
21．（2022•德阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
一十五．黄金分割（共1小题）
22．（2021•德阳）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为﹣1，则该矩形的周长为 　 　．
一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
23．（2020•德阳）如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行　 　海里就开始有触礁的危险．

一十七．简单组合体的三视图（共1小题）
24．（2021•德阳）图中几何体的三视图是（　　）

A． B．
C． D．
一十八．由三视图判断几何体（共1小题）
25．（2020•德阳）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（　　）

A．20π B．18π C．16π D．14π
一十九．随机事件（共2小题）
26．（2022•德阳）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．抛掷硬币时，正面朝上
B．明天太阳从东方升起
C．经过红绿灯路口，遇到红灯
D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”
27．（2021•德阳）下列说法正确的是（　　）
A．为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择抽样调查
B．了解九年级（1）班同学的视力情况，应选择全面调查
C．购买一张体育彩票中奖是不可能事件
D．抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是必然事件
二十．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2020•德阳）下列说法错误的是（　　）
A．方差可以衡量一组数据的波动大小
B．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度
C．一组数据的众数有且只有一个
D．抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得
29．（2022•德阳）据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．
学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：

（1）设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，分别写出m，n的值；
（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
30．（2021•德阳）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“传党情，颂党恩”知识竞赛．为了解全校学生知识掌握情况，学校随机抽取部分竞赛成绩制定了不完整的统计表和频数分布直方图．
分数x（分）
频数（人）
频率
90≤x＜100
80
a
80≤x＜90
60
0.3
70≤x＜80

0.18
60≤x＜70
b
0.12
（1）请直接写出表中a，b的值，并补全频数分布直方图；
（2）竞赛成绩在80分以上（含80分）记为优秀，请估计该校3500名参赛学生中有多少名学生成绩优秀；
（3）为了参加市上的“传党情，颂党恩”演讲比赛，学校从本次知识竞赛成绩优秀的学生中再次选拔出演讲水平较好的三位同学，其中男生一位、女生两位，现从中任选两位同学参加，请利用画树状图或列表的方法，求选中的两位同学恰好是一男一女的概率．

二十一．游戏公平性（共1小题）
31．（2020•德阳）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如下所示的不完整的统计表．
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级
百分比
人数
A．优秀
5%
20
B．良好

60
C．及格
45%
m
D．不及格
n

请结合统计表，回答下列问题：
（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．

九年级数学上学期期末复习培优综合练习3 -人教版九年级21-29章【中考真题】（四川德阳）
参考答案与试题解析
一．反比例函数的图象（共1小题）
1．（2022•德阳）一次函数y＝ax+1与反比例函数y＝﹣在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：分两种情况：
（1）当a＞0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y＝﹣图象在第二、四象限，无选项符合；
（2）当a＜0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y＝﹣图象在第一、三象限，故B选项正确．
故选：B．
二．反比例函数的性质（共2小题）
2．（2021•德阳）下列函数中，y随x增大而增大的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣2x+3
C．y＝（x＜0） D．y＝﹣x2+4x+3（x＜2）
【解答】解：A．一次函数y＝﹣2x中的a＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，故不符合题意．
B．一次函数y＝﹣2x+3中的a＝﹣2＜0，y随自变量x增大而减小，故不符合题意．
C．反比例函数y＝（x＜0）中的k＝2＞0，在第三象限，y随x的增大而减小，故不符合题意．
D．二次函数y＝﹣x2+4x+3（x＜2），对称轴x＝＝2，开口向下，当x＜2时，y随x的增大而增大，故符合题意．
故选：D．
3．（2020•德阳）已知函数y＝，当函数值为3时，自变量x的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣
【解答】解：若x＜2，当y＝3时，﹣x+1＝3，
解得：x＝﹣2；
若x≥2，当y＝3时，﹣＝3，
解得：x＝﹣，不合题意舍去；
∴x＝﹣2，
故选：A．
三．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
4．（2021•德阳）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．

【解答】解：（1）把点A（2，6）代入y＝，k＝2×6＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵将点A向右平移2个单位，
∴x＝4，
当x＝4时，y＝＝3，
∴B（4，3），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
由题意可得，
解得，
∴y＝﹣x+9，
当x＝0时，y＝9，
∴C（0，9）；
（2）由（1）知CD＝9﹣5＝4，
∴S△ABD＝S△BCD﹣S△ACD＝CD•|xB|﹣CD•|xA|＝×4×4﹣×4×2＝4．
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
5．（2022•德阳）如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点A，且点A的横坐标为﹣2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B的坐标是（﹣3，0），若点P在y轴上，且△AOP的面积与△AOB的面积相等，求点P的坐标．

【解答】解（1）∵一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点A，点A的横坐标为﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣×（﹣2）+1＝4，
∴A（﹣2，4），
∴4＝，
∴k＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；

（2）设P（0，m），
∵△AOP的面积与△AOB的面积相等，
∴×|m|×2＝×3×4，
∴m＝±6，
∴P（0，6）或（0，﹣6）．
6．（2020•德阳）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1．
（1）求a，b的值．
（2）在反比例y2＝第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
∴A（2，2），B（4，1），
则有，
解得．

（2）过点P作直线PM∥AB，
当直线PM与反比例函数只有一个交点时，点P到直线AB的距离最短，
设直线PM的解析式为y＝﹣x+n，
由，消去y得到，x2﹣2nx+8＝0，
由题意得，Δ＝0，
∴4n2﹣32＝0，
∴n＝﹣2或2（舍弃），
解得，
∴P（﹣2，﹣）．

五．二次函数的最值（共1小题）
7．（2020•德阳）若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 　s≥9　．
【解答】解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴s≥9；
故答案为：s≥9．
六．抛物线与x轴的交点（共1小题）
8．（2020•德阳）已知不等式ax+b＞0的解集为x＜2，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）2a+b＝0；
（2）当c＞a时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b＜3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣＜m＜0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：（1）∵不等式ax+b＞0的解集为x＜2，
∴a＜0，﹣＝2，即b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故结论正确；
（2）函数y＝ax2+bx+c中，令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
∵即b＝﹣2a，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4ac＝4a（a﹣c），
∵a＜0，c＞a，
∴△＝4a（a﹣c）＞0，
∴当c＞a时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，故结论错误；
（3）∵b＝﹣2a，
∴﹣＝1，＝＝c﹣a，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（1，c﹣a），
当x＝1时，直线y＝ax+b＝a+b＝a﹣2a＝﹣a＞0
当c＞0时，c﹣a＞﹣a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方，故结论正确；
（4）∵b＝﹣2a，
∴由2a﹣mb﹣m＝0，得到﹣b﹣mb﹣m＝0，
∴b＝﹣，
如果b＜3，则0＜﹣＜3，
∴﹣＜m＜0，故结论正确；
故选：C．
七．二次函数综合题（共3小题）
9．（2022•德阳）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．
（1）如图①，求射线MF的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；
（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求的最大值．

【解答】解：（1）∵点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称，
∴F（5，3），
∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，
∴M（2，0），
设直线MF的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴射线MF的解析式为y＝x﹣2（x≥2）；

（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q．

∵抛物线的对称轴x＝﹣＝2，点M（2，0），
∴点M在抛物线的对称轴上，
∵直线EM的解析式为y＝﹣x+2，直线MF的解析式为y＝x﹣2，
∴直线EM，直线MF关于直线x＝2对称，
∴P，Q关于直线x＝2对称，
∴2＝，
∴x1+x2＝4；

（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．

∵C（0，5），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
设P（t，﹣t2+4t+5），则T（t2﹣4t﹣3，﹣t2+4t+5），
∵PT∥AM，
∴＝＝（t﹣（t2﹣4t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴有最大值，最大值为．
10．（2021•德阳）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得到方程组：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）作点C关于x轴的对称点C'，则C'（2，3），连接AC'并延长与抛物线交于点P，由图形的对称性可知P为所求的点，

设直线AC'的解析式为y＝mx+n，
由题意得：，
解得：，
∴直线AC'的解析式为y＝x+1，
将直线和抛物线的解析式联立得：
，
解得（舍去）或，
∴P（4，5）；
（3）存在点M，
∵P（4，5），A（﹣1，0），
∴AP＝，
同理可求得AC＝，PC＝，

∴AP2+AC2＝PC2，∠PAC＝90°，
∴tan∠APC＝，
∵∠MBN＝∠APC，
∴tan∠MBN＝tan∠APC，
∴，
设点M（m，m2﹣2m﹣3），则（m≠3），
解得m＝或m＝﹣，
当m＝时，m2﹣2m﹣3＝，
∴M（﹣，），
当m＝，m2﹣2m﹣3＝，
∴M（，），
∴存在符合条件的点M，M的坐标为（，），（，）．
11．（2020•德阳）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1），

∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵△ABC的面积为2，即，
∴，
∴OC＝1，
∴C（0，1），
将C（0，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a＝1，
∴a＝﹣，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+1；
（2）分两种情况：
①当PQ在x轴的上方时，如图2，设点P的纵坐标为m，当y＝m时，﹣x2+x+1＝m，

解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m），
∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0），
∵矩形PGHQ为正方形，
∴1+﹣（1﹣）＝m，
解得：m1＝﹣6﹣2（舍），m2＝﹣6+2；
②当PQ在x轴的下方时，m＜0，
同理可得m＝﹣6﹣2；
∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6；
（3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，

∵A（﹣1，0），
设AD的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AD的解析式为：y＝（﹣）x﹣，
当x＝2时，y＝﹣n+2﹣n+1＝﹣n+3，
∴F（2，3﹣n），
∴FN＝3﹣n，
同理得直线BD的解析式为：y＝（﹣）x+n+1，
∴K（0，n+1），
∴OK＝n+1，
∵N（2，0），B（3，0），
∴，
∵EN∥OK，
∴，
∴OK＝3EN，
∴3EN+FN＝OK+FN＝n+1+3﹣n＝4，
∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．
八．圆周角定理（共1小题）
12．（2021•德阳）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是 　2＜h≤2+　．
【解答】解：如图，BC为⊙O的弦，OB＝OC＝2，
∵BC＝2，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BAC＝∠BOC＝30°，
作直径BD、CE，连接BE、CD，则∠DCB＝∠EBC＝90°，
∴当点A在上（不含D、E点）时，△ABC为锐角三角形，
在Rt△BCD中，∵∠D＝∠BAC＝30°，
∴CD＝BC＝2，
当A点为的中点时，A点到BC的距离最大，即h最大，
延长AO交BC于H，如图，
∵A点为的中点，
∴＝，
∴AH⊥BC，
∴BH＝CH＝1，
∴OH＝BH＝，
∴AH＝OA+OH＝2+，
∴h的范围为2＜h≤2+．
故答案为2＜h≤2+．

九．切线的判定与性质（共2小题）
13．（2022•德阳）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）如果AB＝10，CD＝6，
①求AE的长；
②求△AEF的面积．

【解答】（1）证明：连接OC，如图，

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠CAB＝∠DAB．
∵∠COB＝2∠CAB，
∴∠COB＝2∠BAD．
∵∠ECD＝2∠BAD，
∴∠ECD＝∠COB．
∵AB⊥CD，
∴∠COB+∠OCH＝90°，
∴∠OCH+∠ECD＝90°，
∴∠OCE＝90°．
∴OC⊥CF．
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：①∵AB＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CH＝DH＝CD＝3．
∴OH＝＝4，
∵OC⊥CF，CH⊥OE，
∴△OCH∽△OEC，
∴，
∴，
∴OE＝．
∴AE＝OA+OE＝5+＝；
②过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，如图，

∵∠OCF＝∠FGE＝90°，∠CEO＝∠GEF，
∴△OCE∽△FGE．
∴，
设FG＝4k，则FE＝5k，
∴EG＝＝3k，
∵DH⊥AB，FG⊥AB，
∴DH∥FG．
∴，
∴，
解得：k＝．
∴FG＝4k＝5．
∴△AEF的面积＝×AE•FG＝．
14．（2021•德阳）如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，点F为AC的延长线上一点，且∠CBF＝∠BOE．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的长．

【解答】（1）证明：连结AE，OE，

∵∠BAE＝∠BOE，∠CBF＝∠BOE，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
即∠ABF＝90°，
∴BF⊥AB，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CG⊥BF于点G，连结BD，

∵∠CBF＝45°，
∴∠ABE＝90°﹣∠CBF＝45°，
在Rt△ABE中，AB＝4，
∴AE＝BE＝4×sin45°＝4，
∵BE＝2EC，
∴EC＝2，BC＝6，
在Rt△CBG中，∠CBG＝45°，BC＝6，
∴CG＝BG＝3，
∵CG⊥BF，BF⊥AB，
∴AB∥CG，
∴△FCG∽△FAB，
∴＝，
∴＝，
∴FG＝9，
∴BF＝12，
在Rt△FCG中，CF＝＝6，
在Rt△ABF中，AF＝＝8，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠BAD＝∠BAF，
∴cos∠BAD＝cos∠BAF，
即＝，
∴＝，
∴AD＝．
一十．三角形的内切圆与内心（共1小题）
15．（2022•德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；
如图，连接BE，CE，

∵E是△ABC的内心，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正确；

∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵点G为BC的中点，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD＝90°，故③正确；
如图，连接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故④正确．
∴一定正确的①②③④，共4个．
故选：D．
一十一．正多边形和圆（共1小题）
16．（2020•德阳）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【解答】解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为a＝R×cos60°＝R．
四边形的边心距为b＝R×cos45°＝R，
正六边形的边心距为c＝R×cos30°＝R．
∵RRR，
∴a＜b＜c，
故选：A．
一十二．圆锥的计算（共2小题）
17．（2022•德阳）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（　　）
A．16π B．52π C．36π D．72π
【解答】解：如图，AB＝8，SA＝SB＝9，
所以侧面展开图扇形的弧BC的长为8π，
由扇形面积的计算公式得，
圆锥侧面展开图的面积为×8π×9＝36π，
故选：C．

18．（2021•德阳）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，
设圆心角的度数是n度，
则＝2π，
解得：n＝120．
故选：C．
一十三．旋转的性质（共2小题）
19．（2020•德阳）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'．此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝60°，
∵将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，
∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝60°，
∴△BCC'是等边三角形，
∴∠CBC'＝60°，
∴∠ABA'＝60°，
∴∠BEA＝90°，
设CE＝a，则BE＝a，AE＝3a，
∴，
∴，
∴△ABE与△ABC的面积之比为．
故选：D．
20．（2021•德阳）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．

【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵△AB1E1是△ABE旋转所得的，
∴AE＝AE1，∠AB1E1＝∠AB1E＝∠B＝90°，
∴B1是EE1的中点，
∴EB1＝EE1，
∵M、N分别是AE和AE1的中点，
∴MN∥EB1，MN＝EE1，
∴EB1＝MN，
∴四边形MEB1N为平行四边形，
（2）△AE1F≌△CB1E，
证明：连接FC，

∵EB1＝B1E1＝E1F，
∴＝，
同理，S＝S△FEC，
∵＝，
∴S△EAF＝S△FEC，
∵AF∥EC，
∴△AEF底边AF上的高和△FEC底边上的高相等．
∴AF＝EC．
∵AF∥EC，
∴∠AFE＝∠FEC，
在△AE1F和△CB1E中，
，
∴△AE1F≌△CB1E（SAS）．
一十四．中心对称图形（共1小题）
21．（2022•德阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
一十五．黄金分割（共1小题）
22．（2021•德阳）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为﹣1，则该矩形的周长为 　2+2或4　．
【解答】解：分两种情况：
①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为×（﹣1）＝3﹣，
∴矩形的周长为：2（﹣1+3﹣）＝4；
②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为：（﹣1）÷＝2，
∴矩形的周长为2（﹣1+2）＝2+2；
综上所述，该矩形的周长为2+2或4．
一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
23．（2020•德阳）如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行　4.5　海里就开始有触礁的危险．

【解答】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可，
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝＝6（海里），
如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．
解得x＝4.5．
渔船还需航行4.5海里就开始有触礁的危险．
故答案是：4.5．

一十七．简单组合体的三视图（共1小题）
24．（2021•德阳）图中几何体的三视图是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：该几何体的三视图如下：

故选：A．
一十八．由三视图判断几何体（共1小题）
25．（2020•德阳）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（　　）

A．20π B．18π C．16π D．14π
【解答】解：这个几何体的表面积＝π•22+π•3•2+2π•2•2＝18π，
故选：B．
一十九．随机事件（共2小题）
26．（2022•德阳）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．抛掷硬币时，正面朝上
B．明天太阳从东方升起
C．经过红绿灯路口，遇到红灯
D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”
【解答】解：A、抛掷硬币时，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、明天太阳从东方升起，是必然事件，符合题意；
C、经过红绿灯路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
D、玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
27．（2021•德阳）下列说法正确的是（　　）
A．为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择抽样调查
B．了解九年级（1）班同学的视力情况，应选择全面调查
C．购买一张体育彩票中奖是不可能事件
D．抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是必然事件
【解答】解：A、为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择全面调查，本选项说法错误，不符合题意；
B、了解九年级（1）班同学的视力情况，应选择全面调查，本选项说法正确，符合题意；
C、购买一张体育彩票中奖是随机事件，本选项说法错误，不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是随机事件，本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
二十．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2020•德阳）下列说法错误的是（　　）
A．方差可以衡量一组数据的波动大小
B．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度
C．一组数据的众数有且只有一个
D．抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得
【解答】解：方差可以衡量一组数据的波动大小，故选项A正确；
抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度，故选项B正确；
一组数据的众数有一个或者几个或者没有，故选项C错误；
抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得，故选项D正确；
故选：C．
29．（2022•德阳）据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．
学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：

（1）设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，分别写出m，n的值；
（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1）由图（1）可知：“基本了解”的人数为40人，
由图（2）可知：“基本了解”的人数占总数的20%，
∴m＝40÷20%＝200（人）；
由图（1）可知：“比较了解”有100人，
∴“比较了解”所对应扇形的圆心角是180°，
由图2知：“不太了解”所对应扇形的圆心角是n＝360°×（50%﹣20%﹣28%）＝7.2度；
（2）由图2知：“非常了解”的人数占总人数的28%，
于是估计在12000名市民中，“非常了解”的人数有12000×28%＝3360（人）．
答：在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有3360人．
（3）从3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，抽查情况列表如下：

由上表可知，一共有20种等可能，其中恰好抽到一男一女的情况有12种，
∴恰好抽到一男一女的概率为．
30．（2021•德阳）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“传党情，颂党恩”知识竞赛．为了解全校学生知识掌握情况，学校随机抽取部分竞赛成绩制定了不完整的统计表和频数分布直方图．
分数x（分）
频数（人）
频率
90≤x＜100
80
a
80≤x＜90
60
0.3
70≤x＜80

0.18
60≤x＜70
b
0.12
（1）请直接写出表中a，b的值，并补全频数分布直方图；
（2）竞赛成绩在80分以上（含80分）记为优秀，请估计该校3500名参赛学生中有多少名学生成绩优秀；
（3）为了参加市上的“传党情，颂党恩”演讲比赛，学校从本次知识竞赛成绩优秀的学生中再次选拔出演讲水平较好的三位同学，其中男生一位、女生两位，现从中任选两位同学参加，请利用画树状图或列表的方法，求选中的两位同学恰好是一男一女的概率．

【解答】解：（1）样本容量为60÷0.3＝200，
∴a＝80÷200＝0.4，b＝200×0.12＝24，
70≤x＜80对应的频数为200×0.18＝36，
补全图形如下：

（2）估计该校3500名参赛学生中成绩优秀的学生人数为3500×（0.4+0.3）＝2450（名）；
（3）画树状图如下：

由树状图知，共有6种等可能结果，其中选中的两位同学恰好是一男一女的有4种结果，
所以选中的两位同学恰好是一男一女的概率为＝．
二十一．游戏公平性（共1小题）
31．（2020•德阳）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如下所示的不完整的统计表．
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级
百分比
人数
A．优秀
5%
20
B．良好

60
C．及格
45%
m
D．不及格
n

请结合统计表，回答下列问题：
（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【解答】解：（1）本次参与调查的学生人数为：20÷5%＝400（人），m＝400×45%＝180，
∵400﹣20﹣60﹣180＝140，
∴n＝140÷400×100%＝35%；
（2）5600×＝1120（人），
即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为1120人；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
∴P（小明参加）＝＝，
P（小亮参加）＝1﹣＝，
∵≠，
∴这个游戏规则不公平．