2022保定博野中学高二上学期期中考试数学试题含答案

博野中学2021-2022学年高二第一学期期中考试数学试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分）

1. 设p：-1≤x<2，q：x<a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（    ）

A. a≤-1 B. a≤-1或a≥2 C. a≥2 D. -1≤a<2

【答案】C

2. 在平行六面体中，M为AC和BD交点，若，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

3. 已知向量，，且，则x的值为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】C

4. 已知向量，，，且，则λ等于（    ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

【答案】C

5. 已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

6. 正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

7. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为

A. 2 B. 3 C. 6 D. 8

【答案】C

8. 已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A. 16 B. 14 C. 12 D. 10

【答案】A

二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全选对的得5分，有选错的得0分，选对但选不全的得3分）

9. 已知椭圆的离心率，则m的值为（    ）

A. 3 B.  C.  D.

【答案】AD

10. 下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（    ）

A. ；q：方程的曲线是椭圆．

B. ；q：对不等式恒成立．

C. 已知直线，直线，p：；q：

D. 已知空间向量，，；q：向量与的夹角是．

【答案】AB

11. 已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（    ）

A. 双曲线的渐近线方程为 B. 以为直径的圆的方程为

C. 到双曲线的一条渐近线的距离为1 D. 的面积为1

【答案】ACD

12. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点.若，则下列各项正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）

13. 若命题“x∈R，x2+ax+1<0”是真命题，则实数a的取值范围是____________.

【答案】a∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)

14. 已知：如图，在的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直，已知，则__________．

【答案】

15. 在平面直角坐标系中，已知点为双曲线左顶点，点和点在双曲线的右支上，为等边三角形，则的面积为_____．

【答案】

16. 设抛物线y2＝2x的焦点为F，准线为，弦AB过点F且中点为M，过点F，M分别作AB的垂线交l于点P，Q，若|AF|＝3|BF|，则|FP|•|MQ|＝_____.

【答案】

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知p：，q：（）.

（1）若p是q的充分条件，但不是q的必要条件，求实数m的取值范围.

（2）是的充分不必要条件，求m的范围.

【答案】（1）；（2）.

18. 如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设．

（1）求；

（2）求．

【答案】（1）   

（2）

19. （1）求焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程；

（2）设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，求此双曲线的方程．

【答案】（1）；（2）

20. 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，N为AD的中点．

（1）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

（2）点M在线段PC上且满足，直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求实数的值．

【答案】（1）；（2）.

21. 已知点P是圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线l与半径相交于M点，P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为.

（1）求点M的轨迹的方程；

（2）若点N在双曲线(顶点除外)上运动，过点N，R的直线与曲线相交于，过点的直线与曲线相交于，试探究是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，定值为：.

22. 如图1，在直角梯形ABCD中， AD∥BC，，．将△ABD沿BD折起，折起后点A的位置为点P，得到几何体P﹣BCD，如图2所示，且平面PBD⊥平面BCD，

（1）证明：PB⊥平面PCD；

（2）若AD=2，当PC和平面PBD所成角的正切值为时，试判断线段BD上是否存在点E，使二面角D﹣PC﹣E平面角的余弦值为？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见证明；（2）见解析