2022年福建省泉州实验中学中考数学适应性试卷（五）(含答案)

这是一份2022年福建省泉州实验中学中考数学适应性试卷（五）(含答案)，共31页。

2022年福建省泉州实验中学中考数学适应性试卷（五）
一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣ B．x＞﹣ C．x≥﹣ D．x≤﹣
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．2x+3x＝5x2 B．a3÷a2＝a
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（﹣3x2）3＝9x6
3．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（4分）如图是一个几何体的正视图，则这个几何体可能是（　　）

A． B． C． D．
5．（4分）下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（　　）

A． B．
C． D．
6．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式
B．一组数据2，2，2，2，2，2，2，它的方差是0
C．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
D．一组数据4，6，7，6，7，8，9，它的中位数和众数都是6
7．（4分）观察图中的函数图象，可以得到关于x的不等式ax﹣bx＜c的解集为（　　）

A．x＜﹣2 B．x＜4 C．x＞﹣2 D．x＞4
8．（4分）为应对市场对新冠疫苗越来越大的需求，某大型疫苗生产企业在更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产8万份疫苗，现在生产600万份疫苗所需的时间比更新技术前生产500万份疫苗所需时间少用6天，设现在每天生产x万份，据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图①，有一个长方形纸条ABCD，AB∥CD，AD∥BC．如图②，将长方形ABCD沿EF折叠，ED与BF交于点G，如图③，将四边形CDGF沿GF向上折叠，DG与EF交于点H，若∠GEF＝16°，则∠DHF的度数为（　　）


A．32° B．48° C．60° D．64°
10．（4分）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过点A（m，y1），B（m+2，y2），若点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜1 B．0＜m＜2 C．1＜m＜2 D．m＜2
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）正八边形的每个内角等于　 　度．
12．（4分）若x＝2是关于x的方程2x+a＝1的解，则a＝　 　．
13．（4分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒1度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第30秒时，点E在量角器上对应的读数是　 　度．

14．（4分）如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α+β＝　 　．

15．（4分）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＜0）图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，＝，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 　 　．

16．（4分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：
①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP
正确的是　 　（填写所有正确结论的序号）

三．解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）计算：
（1）﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣（）﹣1．
（2）++．
18．（8分）先化简后求值，其中．
19．（8分）在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF．求证：∠DAF＝∠BCE．

20．（8分）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在AD上，AE＝AB，EC与BD相交于点F，且BD⊥EC．
（1）连接BE，求证：△AFD∽△BED；
（2）如图2，连接AF并延长交CD于点G，求∠DFG的度数；
（3）若AD＝1，求AB的长．

21．（8分）尺规作图：已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
（1）在AB上求作点D，使得点D到BC的距离等于D到边AC距离的倍．
（2）在（1）的条件下，若AB＝2，求△BCD的面积．

22．（10分）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．
消费金额（元）
小于或等于500元
500～1000
1000～1500
1500以上
返还金额（元）
0
60
100
150
注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1﹣80%）+60＝260（元）．
（1）购买一件标价为1600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
（2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x的代数式表示）
（3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，两件商品的优惠额共为650元，则这名顾客第一次购买商品的标价为　 　元．
23．（10分）中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的6000名用户（男性4000人，女性2000人），从中随机抽取了60名（女性20人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”．
（1）①：根据已知条件，将下列表格补充完整（其中a＝30，d＝8）．

手机支付
非手机支付
合计
男
a
b
　 　
女
c
d
　 　
合计
　 　
　 　
60
②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是多少？
（2）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案：
方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；
方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），若摸到1个红球则打9折，若摸到2个红球则打8.5折，若未摸到红球按原价付款．
如果你打算用手机支付购买某样价值1500元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，点E是AB上一点，以BE为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）＝，求cos∠CDB；
（3）在（2）问的条件下，点G为OE上一点，过点G作AB的垂线，交BD延长线于点M，交AC于点N，．若⊙O的半径为5，求MN的长．

25．（14分）已知：点A（a，b）在抛物线y＝x2﹣4x+5上，一次函数y＝mx+n的图象l经过点A．
（1）当a＝3时，求6m+2n﹣1的值；
（2）若直线l与抛物线只有一个公共点．
①求m关于a的函数关系式；
②如果直线l与抛物线的对称轴相交于点B，点P在对称轴上，当PA＝PB时，求点P的坐标．

2022年福建省泉州实验中学中考数学适应性试卷（五）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣ B．x＞﹣ C．x≥﹣ D．x≤﹣
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意得：3x+2≥0，解得x≥﹣．
故选：C．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．2x+3x＝5x2 B．a3÷a2＝a
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（﹣3x2）3＝9x6
【分析】A、利用合并同类项运算即可；
B、利用同底数幂的除法运算即可；
C、利用完全平方公式运算即可；
D、利用积的乘方运算即可．
【解答】解：A、2x+3x＝5x，所以此选项错误，不符合题意；
B、a3÷a2＝a，所以此选项正确，符合题意；
C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，所以此选项错误，不符合题意；
D、（﹣3x2）3＝﹣27x6，所以此选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的内容是完全平方公式、合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法法则．
3．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
4．（4分）如图是一个几何体的正视图，则这个几何体可能是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据正视图是从正面看到的直接写出结论即可．
【解答】解：∵三视图为一个大正方形，右上角是一个小正方形，
∴只有A符合要求，
故选：A．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解正视图是从正面看到的，比较简单．
5．（4分）下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由数轴可得表示的解集为﹣1＜x≤2，把各个选项求出解集，即可解答．
【解答】解：A、的解集为空集，故错误；
B、的解集为﹣1＜x≤2，故正确；
C、的解集为﹣1≤x＜2，故错误；
D、的解集为x＜﹣2，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解决本题的关键是求出不等式组的解集．
6．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式
B．一组数据2，2，2，2，2，2，2，它的方差是0
C．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
D．一组数据4，6，7，6，7，8，9，它的中位数和众数都是6
【分析】根据抽查、方差、中位数、众数以及概率的意义，逐项进行判断即可．
【解答】解：要了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，因此选项A不正确；
一组数据2，2，2，2，2，2，2的平均数是2，各个数据与平均数的差都是0，因此方差为0，选项B正确；
投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数不一定为50次，可能多于或少于50次，因此选项C不正确；
一组数据4，6，7，6，7，8，9，它的中位数是7，众数是6，因此选项D不正确；
故选：B．
【点评】考查中位数、众数、方差、抽查的意义，准确把握概念的内涵是正确判断的前提．
7．（4分）观察图中的函数图象，可以得到关于x的不等式ax﹣bx＜c的解集为（　　）

A．x＜﹣2 B．x＜4 C．x＞﹣2 D．x＞4
【分析】观察函数图象得到当x＞﹣2，函数y＝ax都在函数y＝bx+c的图象下方，则可得到不等式ax﹣bx＜c的解集．
【解答】解：观察函数图象得当x＞﹣2，函数y＝ax都在函数y＝bx+c的图象下方，
所以不等式ax﹣bx＜c的解为x＞﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8．（4分）为应对市场对新冠疫苗越来越大的需求，某大型疫苗生产企业在更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产8万份疫苗，现在生产600万份疫苗所需的时间比更新技术前生产500万份疫苗所需时间少用6天，设现在每天生产x万份，据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据更新技术前后工作效率间的关系，可得出更新技术前每天生产（x﹣8）万份疫苗，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合现在生产600万份疫苗所需的时间比更新技术前生产500万份疫苗所需时间少用6天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵更新技术后平均每天比更新技术前多生产8万份疫苗，且现在每天生产x万份疫苗，
∴更新技术前每天生产（x﹣8）万份疫苗．
依题意得：＝+6．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（4分）如图①，有一个长方形纸条ABCD，AB∥CD，AD∥BC．如图②，将长方形ABCD沿EF折叠，ED与BF交于点G，如图③，将四边形CDGF沿GF向上折叠，DG与EF交于点H，若∠GEF＝16°，则∠DHF的度数为（　　）


A．32° B．48° C．60° D．64°
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质可得∠BFE＝16°，∠DGF＝16°，再根据三角形的外角性质解答即可．
【解答】解：因为AB∥CD，将长方形ABCD沿EF折叠，ED与BF交于点G，∠GEF＝16°，
所以∠BFE＝∠GEF＝16°，∠EGF＝180°﹣16°×2＝146°，
所以∠DGF＝180°﹣∠EGF＝32°，
所以∠DHF＝∠BFE+∠DGF＝48°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的基本性质是解答本题的关键．
10．（4分）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过点A（m，y1），B（m+2，y2），若点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜1 B．0＜m＜2 C．1＜m＜2 D．m＜2
【分析】根据题目中的抛物线，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据题意，可知点A和点B在对称轴两侧，从而可以得到m的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+1，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），
∵点A（m，y1），B（m+2，y2）在抛物线y＝a（x﹣2）2+1上，点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，
∴该函数图象开口向上，
∴，
解得1＜m＜2，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）正八边形的每个内角等于　135　度．
【分析】根据n边形的外角和为360°得到正八边形的每个外角的度数＝＝45°，然后利用补角的定义即可得到正八边形的每个内角＝180°﹣45°＝135°．
【解答】解：∵正八边形的外角和为360°，
∴正八边形的每个外角的度数＝＝45°，
∴正八边形的每个内角＝180°﹣45°＝135°．
故答案为135．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边形的外角和为360°．
12．（4分）若x＝2是关于x的方程2x+a＝1的解，则a＝　﹣3　．
【分析】把x＝2代入方程2x+a＝1得出4+a＝1，再求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝2代入方程2x+a＝1得：4+a＝1，
解得：a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
13．（4分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒1度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第30秒时，点E在量角器上对应的读数是　60　度．

【分析】首先连接OE，由∠ACB＝90°，根据圆周角定理，可得点C在⊙O上，即可得∠EOA＝2∠ECA，又由∠ECA的度数，继而求得答案．
【解答】解：连接OE，
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
即点C在⊙O上，
∴∠EOA＝2∠ECA，
∵∠ECA＝1×30°＝30°，
∴∠AOE＝2∠ECA＝2×30°＝60°．
故答案为：60．

【点评】此题考查了圆周角定理，此题难度适中，解题的关键是证得点C在⊙O上，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
14．（4分）如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α+β＝　45°　．

【分析】根据勾股定理列式求出EB2、EC2、BC2，然后利用勾股定理逆定理和全等三角形的判定与性质解答，可得答案．
【解答】解：如图，
由勾股定理得，
EB2＝12+22＝5，
EC2＝12+22＝5，
BC2＝12+32＝10，
∴EB2+EC2＝BC2，
∴△EBC是直角三角形，
∵EB＝EC，
∴△EBC是等腰直角三角形，
由SAS可证△BME≌△ANC，
∴∠α＝∠EBA，
∴∠α+∠β＝∠EBA+∠β＝45°．
故答案为：45°．

【点评】本题考查了勾股定理及逆定理，勾股定理列式求出AB2、BC2、AC2，然后利用勾股定理逆定理解答．
15．（4分）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＜0）图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，＝，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 　﹣6　．

【分析】连接OA，根据＝，△BCD的面积为2，即可求得△COD的面积为4，通过证得△ABD∽△COD，求得S△ABD＝1，进一步求得S△AOD＝2，得到S△AOB＝3，根据k的几何意义，可得|k|＝3，根据图象可知k＜0，即可求出k的值．
【解答】解：连接OA，如图所示：

∵＝，△BCD的面积为2，
∴△COD的面积为4，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥OC，
∴△ABD∽△COD，
∴＝（）2＝，
∴S△ABD＝1，
∵＝，
∴S△AOD＝2，
∴S△AOB＝3，
∵S△ABO＝|k|，
∴|k|＝3，
∴|k|＝6，
根据图象可知，k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了三角形的面积，反比例函数k的几何意义，由三角形面积求k的值注意符号是关键．
16．（4分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：
①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP
正确的是　①②③　（填写所有正确结论的序号）

【分析】①解法一：如图1，作辅助线，构建三角形全等和平行四边形，证明△BFG≌△EFP（SAS），得BG＝PE，再证明四边形ABGP是平行四边形，可得结论；
解法二：如图2，连接AE，利用四点共圆证明△APE是等腰直角三角形，可得结论；
②如图3，作辅助线，证明四边形DCGP是平行四边形，可得结论；
③证明四边形OCGF是矩形，可作判断；
④证明△AOP≌△PFE（AAS），则S△AOP＝S△PEF，可作判断．
【解答】解：①解法一：如图1，在EF上取一点G，使FG＝FP，连接BG、PG，

∵EF⊥BP，
∴∠BFE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠ABD＝45°，
∴BF＝EF，
在△BFG和△EFP中，
∵，
∴△BFG≌△EFP（SAS），
∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，
∵∠ABD＝∠FPG＝45°，
∴AB∥PG，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，
∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，
∴AP∥BG，
∴四边形ABGP是平行四边形，
∴AP＝BG，
∴AP＝PE；
解法二：如图2，连接AE，∵∠ABC＝∠APE＝90°，

∴A、B、E、P四点共圆，
∴∠EAP＝∠PBC＝45°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP＝PE，
故①正确；
②如图3，连接CG，由①知：PG∥AB，PG＝AB，

∵AB＝CD，AB∥CD，
∴PG∥CD，PG＝CD，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴CG＝PD，CG∥PD，
∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，
∵∠CEG＝45°，
∴CE＝CG＝PD；
故②正确；
③如图4，连接AC交BD于O，由②知：∠CGF＝∠GFD＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠COF＝90°，
∴四边形OCGF是矩形，
∴CG＝OF＝PD，
∴BD＝OB＝BF﹣OF＝BF﹣PD，
故③正确；
④如图4中，在△AOP和△PFE中，
∵，
∴△AOP≌△PFE（AAS），
∴S△AOP＝S△PEF，
∴S△ADP＜S△AOP＝S△PEF，
故④不正确；
本题结论正确的有：①②③，
故答案为：①②③．
【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
三．解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）计算：
（1）﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣（）﹣1．
（2）++．
【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂，三角函数值进行计算即可；
（2）根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣（）﹣1
＝2﹣2×+1﹣3
＝2﹣﹣2
＝﹣2；
（2）++
＝++
＝++
＝+
＝a﹣1+
＝a﹣1．
【点评】本题考查实数和分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，解题时要注意解题步骤，要细心．
18．（8分）先化简后求值，其中．
【分析】先化简分式，再代入即可．
【解答】解：原式＝++
＝+
＝a﹣1+，
∵，
∴原式＝﹣1+＝﹣1+＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，将分式化简是解此题的关键．
19．（8分）在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF．求证：∠DAF＝∠BCE．

【分析】依据平行四边形的性质，即可得到AD＝BC，∠B＝∠D，BE＝DF，判定△ADF≌△CBE，即可得到∠DAF＝∠BCE．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，
又∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
∴BE＝DF，
在△ADF和△CBF中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠DAF＝∠BCE．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
20．（8分）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在AD上，AE＝AB，EC与BD相交于点F，且BD⊥EC．
（1）连接BE，求证：△AFD∽△BED；
（2）如图2，连接AF并延长交CD于点G，求∠DFG的度数；
（3）若AD＝1，求AB的长．

【分析】（1）利用四边形ABCD是矩形，BD⊥EC，证明△FDE∽△ADB，得到＝，进而可证得△AFD∽△BED；
（2）利用（1）中结论可得∠DFA＝∠DEB，则∠BEA＝∠BFA，进而可得∠DFG＝∠BFA＝45°；
（3）利用四边形ABCD是矩形，BD⊥EC，证明△CDE∽△DAB，可得＝，设AB的长为x，则DE＝1﹣x，即可求得AB．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，BD⊥EC，
∴∠DFE＝∠DAB＝90°，
∵∠FDE＝∠ADB，
∴△FDE∽△ADB，
∴＝，
∵∠EDB＝∠FDA，
∴△AFD∽△BED；
（2）解：连接BE，
∵△AFD∽△BED，
∴∠DFA＝∠DEB，
∴∠BEA＝∠BFA，
∵AE＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠BEA＝45°，
∴∠BFA＝45°，
∴∠DFG＝∠BFA＝45°；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠CDE＝∠DAB＝90°，
∵BD⊥EC，
∴∠ADB＝∠DCE，
∴△CDE∽△DAB，
∴＝，
设AB的长为x，则DE＝1﹣x，
∴＝，
解得x1＝，x2＝（舍去），
∴AB的长为．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质和矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，会对角与角之间进行相互转换．
21．（8分）尺规作图：已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
（1）在AB上求作点D，使得点D到BC的距离等于D到边AC距离的倍．
（2）在（1）的条件下，若AB＝2，求△BCD的面积．

【分析】（1）以B为圆心，BC为半径作弧交AB于点D，点D即为所求；
（2）证明△BDC是等边三角形，可得结论．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求；

（2）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝2，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝1，
由作图可知，BD＝BC＝1，∠B＝60°，
∴S△CBD＝×12＝．
【点评】本题考查作图﹣分钟左右，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．
消费金额（元）
小于或等于500元
500～1000
1000～1500
1500以上
返还金额（元）
0
60
100
150
注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1﹣80%）+60＝260（元）．
（1）购买一件标价为1600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
（2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x的代数式表示）
（3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，两件商品的优惠额共为650元，则这名顾客第一次购买商品的标价为　2000　元．
【分析】（1）购买一件标价为1600元的商品，根据题中给出的数据可得消费金额为1280元，优惠额为：1600﹣1280+100＝330（元）除以标价就是优惠率；
（2）分两种情况：当1000＜0.8x≤1500时；当0.8x＞1500时；讨论可求该顾客获得的优惠额；
（3）设这名顾客第一次购买商品的标价为x元，两件商品的优惠额共为650元，然后就分情况：当1250＜x≤1875时；当x＞1875时；根据题意列出方程求解．注意解方程时要结合实际情况分析．
【解答】解：（1）标价为1600元的商品按80%的价格出售，消费金额为1280元，
消费金额1280元在1000﹣1500之间，返还金额为100元，
则顾客获得的优惠额是：1600﹣1280+100＝420（元）；
（2）当1000＜0.8x≤1500时，（0.2x+100）元；
当0.8x＞1500时，（0.2x+150）元；
（3）1500÷80%＝1875（元），
当1250＜x≤1875时，0.2x+100+500×0.2＝650，解得x＝2250不合题意；
当x＞1875时，0.2x+150+500×0.2＝650，解得x＝2000符合．
故这名顾客第一次购买商品的标价为2000元．
故答案为：2000．
【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
23．（10分）中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的6000名用户（男性4000人，女性2000人），从中随机抽取了60名（女性20人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”．
（1）①：根据已知条件，将下列表格补充完整（其中a＝30，d＝8）．

手机支付
非手机支付
合计
男
a
b
　40　
女
c
d
　20　
合计
　42　
　18　
60
②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是多少？
（2）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案：
方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；
方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），若摸到1个红球则打9折，若摸到2个红球则打8.5折，若未摸到红球按原价付款．
如果你打算用手机支付购买某样价值1500元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算．
【分析】（1）①由题意从中随机抽取了60名（女性20人）得c+d＝20，男性为60﹣20＝40（人），则a+b＝40，再求出b＝10，c＝12，即可解决问题；
②直接由概率公式求解即可；
（2）求出选方案一，则需付款：1500﹣100＝1400（元），再由树状图法和加权平均数求出选方案二实际付款的平均金额，然后比较大小即可．
【解答】解：（1）①∵从中随机抽取了60名（女性20人），
∴c+d＝20，男性为：60﹣20＝40（人），
∴a+b＝40，
∵a＝30，d＝8，
∴b＝10，c＝12，
∴a+c＝42，b+d＝18，
故答案为：40，20，42，18；
②若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是＝；
（2）若选方案一，则需付款：1500﹣100＝1400（元）；
若选方案二，设实际付款为x元，
则x＝1500元或x＝1500×0.9＝1350（元）或x＝1275（元），
设两个红球为A、B，两个白球为C、D，
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中摸到1个红球的结果有8种，摸到2个红球的结果有4种，未摸到红球的结果有4种，
∴摸到1个红球的概率为＝，则打9折，
摸到2个红球的概率为＝，则打8.5折，
未摸到红球的概率为＝，按原价付款，
∴实际付款的平均金额为：1350×+1275×+1500×＝1368.75（元），
∵1368.75＜1400，
∴选择方案二更划算．
【点评】本题考查了树状图法求概率、平均数等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，点E是AB上一点，以BE为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）＝，求cos∠CDB；
（3）在（2）问的条件下，点G为OE上一点，过点G作AB的垂线，交BD延长线于点M，交AC于点N，．若⊙O的半径为5，求MN的长．

【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义得出∠CBD＝∠OBD，由等腰三角形的性质得出∠ODB＝∠OBD，则∠ODB＝∠CBD，证出OD∥BC，得出OD⊥AC，则可得出结论；
（2）连接EF，过点D作DH⊥EB于点H，设半径为r，OA为x，则，得出x＝，证明△ADO∽△DHO，由相似三角形的性质得出，得出HO＝r，由锐角三角函数的定义得出答案；
（3）求出AE，EG，GB的长，由锐角三角函数的定义得出MG和NG的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴∠C＝∠ADO＝90°，
∴OD⊥AC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接EF，过点D作DH⊥EB于点H，

∵EB是直径，
∴∠EFB＝90°，
∴EF∥AC，
∴，
∵，
∴，
∴E为AB的四等分点，，
设半径为r，OA为x，则，
∴x＝r，
∵∠ADO＝∠DHO，∠AOD＝∠DOH，
∴△ADO∽△DHO，
∴，
∴HO＝r，
∴DH＝＝r，
∴DH＝CD＝r，
∴BH＝CB＝r，
∴BD＝＝r，
∴cos∠CDB＝＝；
（3）由（2）得，

∴，
∴AE＝，EG＝AE＝，
∴AG＝AE+EG＝＝，
∴GB＝AB﹣AG＝，
由（2）得cos∠CDB＝，
∴sin∠CBD＝sin∠MBG＝，
∴tan∠MBG＝，
∴MG＝，
∵sin∠DAO＝，
∴tan∠DAG＝＝，
∴，
∴NG＝，
∴MN＝MG﹣NG＝．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
25．（14分）已知：点A（a，b）在抛物线y＝x2﹣4x+5上，一次函数y＝mx+n的图象l经过点A．
（1）当a＝3时，求6m+2n﹣1的值；
（2）若直线l与抛物线只有一个公共点．
①求m关于a的函数关系式；
②如果直线l与抛物线的对称轴相交于点B，点P在对称轴上，当PA＝PB时，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线解析式求得b的值，即求得点A的坐标；然后把点A的坐标代入直线方程，得到m与n的数量关系，整体代入所求的代数式求值即可；
（2）①先由点A是直线和抛物线的交点得出n＝a2﹣4a﹣ma+5，再利用根的判别式Δ＝0得出（m+4）2＝4（5﹣n），即可得出结论；
②先表示出A（a，（a﹣2）2+1），B（2，﹣（a﹣2）2+1），设P（2，p），得出PB2＝[p﹣1+（a﹣2）2]2＝[（a﹣2）2+（p﹣1）]2，PA2＝（a﹣2）2+[（a﹣2）2+1﹣p]2，再由PA＝PB，得出[（a﹣2）2+（p﹣1）]2＝（a﹣2）2+[（a﹣2）2+1﹣p]2，即可得出结论．
【解答】解：（1）当a＝3时，A（3，b），将其代入抛物线y＝x2﹣4x+5，得
b＝32﹣4×3+5＝2．
此时A（3，2），
将其代入y＝mx+n，得2＝3m+n．
所以 6m+2n﹣1＝2（3m+n）﹣1＝2×2﹣1＝3，
即：6m+2n﹣1的值是3；

（2）①由抛物线y＝x2﹣4x+5和一次函数y＝mx+n都经过点A（a，b），得a2﹣4a+5＝ma+n．
∴n＝a2﹣4a﹣ma+5①，
联立直线l：y＝mx+n与抛物线y＝x2﹣4x+5，得
∴x2﹣4x+5＝mx+n，
即：x2﹣（m+4）x+（5﹣n）＝0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
∴△＝[﹣（4+m）]2﹣4（5﹣n）＝0．
∴（m+4）2＝4（5﹣n）②，
∴（m+4）2＝4[5﹣（a2﹣4a﹣ma+5]＝﹣4a2+16a+4ma，
整理得，m2+4（2﹣a）m+4a2﹣16a+16＝0，
∴m2﹣4（a﹣2）m+[2（a﹣2）]2＝0，
∴[m﹣2（a﹣2）]2＝0，
∴m＝2a﹣4；

②由①知，n＝a2﹣4a﹣ma+5，m＝2a﹣4，
∴n＝﹣a2+5，
∵x2﹣（m+4）x+（5﹣n）＝0，
∴x2﹣（2a﹣4+4）x+[5﹣（﹣a2+5）]＝0，
∴x2﹣2ax+a2＝0，
∴x1＝x2＝a，
∴b＝a2﹣4a+5，
∴A（a，（a﹣2）2+1），
∵抛物线y＝x2﹣4x+5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，y＝2m+n＝2（2a﹣4）+（﹣a2+5）＝﹣a2+4a﹣3＝﹣（a﹣2）2+1，
∴B（2，﹣（a﹣2）2+1），
设P（2，p），
PB2＝[p﹣1+（a﹣2）2]2＝[（a﹣2）2+（p﹣1）]2，PA2＝（a﹣2）2+[（a﹣2）2+1﹣p]2，
∵PA＝PB，
∴PA2＝PB2，
∴[（a﹣2）2+（p﹣1）]2＝（a﹣2）2+[（a﹣2）2+1﹣p]2，
∴（a﹣2）4+2（a﹣2）2（p﹣1）+（p﹣1）2＝（a﹣2）2+（a﹣2）4﹣2（a﹣2）2（p﹣1）+（p﹣1）2，
∴4（a﹣2）2（p﹣1）＝（a﹣2）2，
∵函数y＝mx+n一次函数，
∴m≠0，
∴2a﹣4≠0，
∴a≠2，
∴4（p﹣1）＝1，
∴p＝，
∴P（2，）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了两点间的距离公式，直线与抛物线交点坐标的求法，用PA＝PB建立方程，求解p的值时解本题的关键．
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