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专题20 解三角形-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）
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这是一份专题20 解三角形-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用），文件包含专题20解三角形解析版docx、专题20解三角形原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。
专题20 解三角形
【考点预测】
知识点一：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
.
常见变形
(1)，，；
(2)，，；
；
；
.
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
知识点二：相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2）内角和定理：
①
同理有：，.
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，内角成等差数列.
知识点三：实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
【方法技巧与总结】
1.方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
【题型归纳目录】
题型一：正弦定理的应用
题型二：余弦定理的应用
题型三：判断三角形的形状
题型四：正、余弦定理与的综合
题型五：解三角形的实际应用
题型六：倍角关系
题型七：三角形解的个数
题型八：三角形中的面积与周长问题
【典例例题】
题型一：正弦定理的应用
例1．（2022·浙江·镇海中学高三开学考试）在中，，，则外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
直接使用正弦定理进行求解即可.
【详解】
设R为外接圆的半径，故，解得．
故选：A．
例2．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积．
(1)求角B的大小；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先利用正弦定理面积公式和余弦定理化简已知条件得到，即可得到答案.
（2）首先利用正弦定理边化角公式得到，化简得到，再求其正弦值即可.
(1)
因为，
所以，.
又因为，所以.
(2)
因为，所以，
即，
所以，.
因为，，
所以，即.
.
例3．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
(1)
由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
(2)
由正弦定理得：，则，则，.
例4．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，角C为钝角，.
(1)求的值；
(2)求边c的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由求导，利用求得，，
再由两角差的正弦展开式可得答案；
（2）利用正弦定理和可得答案.
(1)
因为C为钝角，由，则，
则， C为钝角可得为锐角，
所以，，
可得.
(2)
由（1）可知：，则，，
则，
正弦定理：，，
可得：.
例5．（2022·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）在中，内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，求的值；
(2)若，的面积为，求边，的值．
【答案】(1)
(2)，或，
【解析】
【分析】
（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，根据求得,进而由二倍角公式及和差角公式可求的值；
（2）由已知结合三角形面积公式及余弦定理可求得答案.
(1)
因为，
由正弦定理得，
即，
因为，所以，
由为三角形内角得；
由，则，
所以，
，
；
(2)
因为的面积，所以，
由余弦定理 得,则，
由解得，或，.
例6．（2022·青海西宁·二模（理））在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角A，，的对边分别为，，，面积为S，且，，________？
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
根据题干条件及余弦定理、面积公式，可求得角C的值，若选①，根据正弦定理，可求得的值，根据大边对大角原则，可得角A只有一解，根据同角三角函数关系，可求得的值；若选②，根据正弦定理，可求得的值，根据大边对大角原则，可得角A有两解，根据同角三角函数关系，可求得的值；若选③，根据正弦定理，可求得的值，因为，则三角形无解.
【详解】
由题意可知在中，
因为，且，
所以，
由余弦定理可知，
所以
因为，
所以；
若选①，由正弦定理可得，
解得，
在中，因为，所以，
又因为，则角A只有一解，且，
所以．
若选②，由正弦定理可得，
解得，
在中，因为，所以，
又因为，则角A有两解，
所以．
若选③，由正弦定理可得，
解得，
因为，
所以无解，即三角形不存在．
【方法技巧与总结】
（1）已知两角及一边求解三角形；
（2）已知两边一对角；.
（3）两边一对角，求第三边.
题型二：余弦定理的应用
例7．（2022·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若的面积为S，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角形面积公式及余弦定理结合已知条件可得，利用两角和差化积公式可得
【详解】
∵，
代入，即，
∵，∴，即
，
故选：B.
例8．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理得，在中，由余弦定理即可求解.
【详解】
因为，由正弦定理可知，
在中，由余弦定理可得：，解得， ，故
故选：D
例9．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若a，b，c成等比数列，且，则A的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由等比中项得，结合题设得，结合余弦定理即可求解.
【详解】
由已知得，由，得，所以，得，
由余弦定理得，又，所以．
故选：B．
例10．（2022·河南安阳·模拟预测（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理角化边，即可得到，从而得到，再由余弦定理求出，最后由同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】
解：因为，即，由正弦定理可得，
又，即，即，
由余弦定理，即，
所以，
所以；
故答案为：
【方法技巧与总结】
(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.
(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
若余弦值
题型三：判断三角形的形状
例11．（2022·吉林·三模（理））在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
由结合余弦定理可求得，由结合正弦定理可求得，从而可判断出三角形的形状
【详解】
由，得，
所以由余弦定理得，
因为，
所以，
因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
所以,
所以为等腰直角三角形，
故选：A
例12．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））设的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形
B．C为直角的直角三角形
C．C为顶角的等腰三角形
D．A为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
将式子去分母整理即可得到，即可判断；
【详解】
解：，
，
即，
合并得：，
，
，
，
，
，
或，
所以为以为顶角的等腰三角形或为顶角的等腰三角形；
故选：D．
例13．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．等腰非等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件可得，由正弦定理结合三角形中有，利用正弦的和角公式可得，从而可得出答案.
【详解】
由，可得，所以，
所以.
在中，，故，
因为，所以，因为，所以，
故为直角三角形.
故选：B
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知中，三内角满足，三边满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
由三角形内角和定理及可得，余弦定理及可得，即可得为等边三角形.
【详解】
中，∵且，∴，
将，代入余弦定理可得，化简可得，即，
又∵，由等边三角形判定定理可知为等边三角形.
故选：C.
例15．（2022·全国·高三专题练习）设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件可得，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理计算判断作答.
【详解】
因的三个内角，而，则，
又，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形，
所以是等边三角形.
故选：B
例16．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，的对边分别为，，，，则的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据降幂公式，先得到，化简整理，再由正弦定理，得到，推出，进而可得出结果.
【详解】
因为，所以，所以
即，所以，因为，
所以，因为，所以，即是直角三角形.
故选：B
【方法技巧与总结】
（1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形.
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.
题型四：正、余弦定理与的综合
例17．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，．
(1)证明：；
(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积．
①； ②．
注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解；
（2）选①，根据同角三角形的平方关系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及锐角三角函数的定义，结合三角形的面积公式即可求解；
选②，设出，根据勾股定理，得出，结合已知条件得出，利用锐角三角函数的定义，得出角 ，进而得出角，再利用三角形的面积公式即可求解.
(1)
因为，
所以，
故；
(2)
选①．
因为，
所以
在中，由余弦定理可得，
由正弦定理可得
所以，故，
在中，因为，所以，
又．
选②，
设，则，在中，，
由（1）得，
解得，即
在中，则
,，
所以，
所以．
所以.
例18．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知在四边形ABCD中，，，且______.
(1)证明：；
(2)若，求四边形ABCD的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）选择①，由正弦定理及角度关系推出及，结合两角和的正弦公式及诱导公式，进行证明；选择②，利用正弦定理推导出，直接利用两角和的正弦公式及诱导公式即可推出结论；选择③，由正弦定理，面积公式及面积的倍数关系得到，，使用两角和的正弦公式及诱导公式进行证明；（2）在证明出第一问的基础上，设出边长，利用余弦定理求出的长及角的正弦值，进而利用面积公式进行求解.
(1)
方案一：选条件①.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以.
因为，
，
所以，
即，
所以，
所以.
方案二：选条件②.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以.
因为，所以.
因为，
，
，
所以，
即，
所以，
所以.
方案三：选条件③.
因为，，且，，
所以
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以.
因为，
，
所以，
即，
所以，
所以.
(2)
选择①②③，答案均相同，
由（1）可设，则，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
因为，
所以，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以四边形ABCD的面积.
例19．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角所对的边分别为，且，，_____?
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】
选择①，利用二倍角正弦公式得，通过边与角的关系知，进而得，再利用正弦定理计算得，出现矛盾，故不存在；
选择②，由正弦定理结合逆用两角和差化积公式计算得，利用余弦定理可得，再利用面积公式得解；
选择③，利用正弦定理结合同角之间的关系得到，利用余弦定理可得，再利用面积公式得解；
【详解】
选择①
由，得.
若，，，与矛盾，，.
若这样的存在，根据正弦定理，由，
得，与矛盾.
所以，若选择条件①，则问题中的三角形不存在.
选择②
在中，根据正弦定理，得.
，则，，即，整理为.
，，，.
根据余弦定理，，结合，，
，解得：或（舍去）.
的面积为.
选择③
在中，根据正弦定理，得，即.
，则，.
，，，，.
根据余弦定理，，结合，，
，解得：或（舍去）.
的面积为.
例20．（2022·全国·高三专题练习）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.
(1)证明：；
(2)若，求.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据三角形面积公式及三角形内角性质可得，再由正弦定理的边角关系即可证结论.
（2）由（1）及题设可得，进而求得，应用余弦定理及正弦定理边角关系求，即可求，注意根据B的范围判断符号，最后利用及和角余弦公式求值即可.
(1)
由题设，，又，
所以，由正弦定理可得，
所以，又，
所以，即.
(2)
由（1）及题设，，且，
所以，则，故，
又，可得，
若，则，而，故不合题设；
所以，
所以.
例21．（2022·江苏泰州·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知边上的高等于a．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由锐角三角形可得，结合题意和正弦定理整理可证；（2）利用等面积可得，结合余弦定理化简整理．
(1)
设边上的高为，则，所以，
由正弦定理得．
(2)
由余弦定理得，
因为，所以，
所以，即，
所以．
例22．（2022·山东潍坊·模拟预测）在中，内角的对边分别为，．
(1)求角；
(2)是边上的点，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边化角、切化弦，结合三角恒等变换公式可化简已知等式求得，由此可得；
（2）设；在和分别利用正弦定理和余弦定理可构造关于的方程，解方程可求得结果.
(1)
由得：，
由正弦定理得：，
，又，，
；
有意义，，，即，
又，.
(2)
，，
设，则，
在中，由正弦定理得：，即；
在中，由余弦定理得：；
，解得：，
即，又，.
【方法技巧与总结】
先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.
题型五：解三角形的实际应用
例23．（2022·陕西·西安中学一模（理））为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.
(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；
(2)求隧道口间的距离.
【答案】(1)
(2)1000米.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理及同角三角函数的关系可求解；
（2）由余弦定理可求解.
(1)
在中，由正弦定理得，
即，
所以，
由题可知，，
所以，即.
(2)
由（1）可知，，
在中，由余弦定理得
，
所以，
故两隧道口间的距离为1000米.
例24．（2022·上海市建平中学高三期中）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得.现有两种铺设方案:①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，设，，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km、4万元/km.
(1)求A、B两点间的距离；
(2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.
【答案】(1)5千米；
(2)选择方案②，在点正西方千米处，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）设千米，结合已知条件有求出，根据线段关系及勾股定理求A、B两点间的距离；
（2）计算方案①的费用，根据已知可得方案②的费用为，利用导数研究最值，然后比较两种方案的费用大小，即可确定费用较低的方案.
(1)
由，若千米，则，可得，
所以千米.
(2)
方案①：铺设费用为万元；
方案②：，，
铺设费用为，
令，则，
当，时，当，时，
所以在上递减，上递增，则，
故铺设费用最小为万元万元，
综上，选择方案②，在点正西方千米处.
例25．（2022·广东湛江·二模）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.
(1)求、两地之间的距离；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理可直接求得的长；
（2）利用余弦定理求出的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值.
(1)
解：由余弦定理可得，
所以，.
(2)
解：由余弦定理可得，
所以，，则为锐角，故，
因此，.
例26．（2022·山东泰安·高三期末）在某海域处的巡逻船发现南偏东方向，相距海里的处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线（以点为坐标原点，正东，正北方向分别为轴，轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发小时后，可疑船只所在位置的横坐标为.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.
(1)求的值；
(2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.
【答案】(1)
(2)能够拦截成功拦截，时间为2小时
【解析】
【分析】
（1）设1小时后两船相遇于点C，根据关于y轴对称，且，即可求解；
（2）设t小时后两船相遇于点D，利用余弦定理列出方程，即可求解.
(1)
解：由题意，直线的倾斜角为，
若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C，
如图所示，则轴，，且关于y轴对称，
所以，所以.
(2)
解：若巡逻船以海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示，
则，，，，
因为
可得
整理得，解得或（舍去），
所以能够拦截成功拦截时间为2小时.
例27．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.
(1)求小岛A到小岛C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.
【答案】(1)海里
(2)游船应该沿北偏东的方向航行.
【解析】
【分析】
(1)三边一角，由余弦定理可以求小岛A到小岛 C的距离；
(2)两边两角，由正弦定理可以求角.
(1)
解：(1)在中，
，根据余弦定理得：.
.
所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里.
(2)
解：(2)根据正弦定理得：
解得
在中，
为锐角
.
由得游船应该沿北偏东的方向航行
答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.
例28．（2022·黑龙江大庆·高三阶段练习（理））如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，.在点测得塔顶的仰角为50.5°.
(1)求与两点间的距离（结果精确到）；
(2)求塔高（结果精确到）.
参考数据：取，，.
【答案】(1)324m
(2)669m
【解析】
【分析】
（1）求出，在中利用正弦定理进行求解；（2）先在中利用正弦定理求出的长度，进而利用正切值求出塔高.
(1)
在中，，
由正弦定理得，
则
(2)
由正弦定理得，
则.
故塔高
【方法技巧与总结】
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.
题型六：倍角关系
例29．（2022·北京丰台·二模）在中，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理结合二倍角的正弦公式即可得解.
【详解】
解：在中，
由正弦定理可得，
即，即，
所以.
故答案为：.
例30．（2022·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
(1)
由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
(2)
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
例31．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，，求的面积；
(2)若，且的边长均为正整数，求．
【答案】(1)16
(2)6
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理，边角互化，以及正弦的和差公式，即可求解.
(2)根据正弦定理，边化角，再由余弦定理可得，再分和分类讨论，即可求解.
(1)
因为，由正弦定理得，
又，得，
故，
所以，
因为，，所以，于是，故，为直角三角形，
所以的面积；
(2)
由，得，由正弦定理，可得；
由余弦定理，得，∵，．
若，则，故，
则，，此时，不符合题意．
∴，由，得，
又，即，则．
∵，，故当时，有，而，故能构成三角形，故．
例32．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若，，的外接圆半径为，，求的大小；
(2)若，，，求边的长.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）结合正弦定理化简已知条件，从而求得的大小.
（2）结合正弦定理、余弦定理求得边的长.
(1)
依题意，
由正弦定理得，
，，
，
由于，，
所以.
(2)
由正弦定理得，
，
由余弦定理得，
，解得或.
例33．（2022·山东·高三开学考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边长均为正整数，且．
(1)若角B为钝角，求△ABC的面积；
(2)若，求a．
【答案】(1)；
(2)6．
【解析】
【分析】
(1)由余弦定理和基本不等式得到a与c的关系，再根据三角形边长为正整数求a与c；
(2)用正弦定理和余弦定理转化角的关系为边的关系，在分类讨论求出边长﹒
(1)
由角B为钝角，则，即；
又∵，即，且a，，因此或符合题意．
故，则，
因此△ABC的面积为．
(2)
由，得，由正弦定理，可得；
由余弦定理，得，∵，．
若，则，故，
则，，此时，不符合题意．
∴，由，得，
又，即，则．
∵a，，故当时，有，而，故能构成三角形，故．
例34．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
(1)由A=2B得sinA=sin2B，再利用正弦定理和余弦定理角化边即可求解；
(2)利用余弦定理可求cosA，从而可求sinA及cos2A、sin2A，结合两角和差的余弦公式进行求解即可﹒
(1)
由，知，
由正、余弦定理得．
∵，，∴，则；
(2)
由余弦定理得，
∵，∴，
故，，
．
题型七：三角形解的个数
例35．（2022·江西·二模（文））设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正弦定理计算可得；
【详解】
解：由正弦定理，即，所以，
因为不唯一，即有两解，所以且，即，
所以，所以，即；
故选：A
例36．（2022·全国·模拟预测（理））在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦定理即可求解.
【详解】
解：由题意，根据正弦定理有，所以，
要使三角形有两组解，则，且，即，
所以，
所以a的值可以为．
故选：C．
例37．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））在三角形ABC中（A点在BC上方），若，，BC边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【解析】
【分析】
作出外接圆如图所示，根据题意可求出外接圆的半径为2，然后结图形判断即可
【详解】
作出外接圆如图所示，
因为，
所以的外接圆半径为
因为，所以，，
所以当时，最大为3，此时是唯一的，所以B正确，A正确，
当时，由圆的对称性可知，此时，
所以C错误，D正确，
故选：C
例38．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可判断各选项.
【详解】
对于A选项，由正弦定理可得，且，故有两解；
对于B选项，由正弦定理可得，且，故只有一解；
对于C选项，由正弦定理可得，故无解；
对于D选项，因为，则角为的最大内角，且，故无解.
故选：B.
例39．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））中，已知下列条件：①；②；③；④，其中满足上述条件的三角形有两解的是（ ）
A．①④ B．①② C．①②③ D．③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据判断三角形解的个数的公式，即可判断选项.
【详解】
①，三角形有两解；②，三角形有两解；③，三角形有一解；④，三角形无解.
故选：B.
题型八：三角形中的面积与周长问题
例40．（2022·湖南·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求证：；
(2)若，，，且，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理求解；
（2）由（1）得，再利用余弦定理，并将，且代入求得a，c，然后利用面积公式求解.
(1)
解：因为，
由正弦定理可得：，
所以；
(2)
由（1）得，
由余弦定理得：，
所以，即，
将，代入，得，
即，
解得或，
∵，∴，
∴舍去，
∴，．
从而，
由可知，
所以．
所以的面积．
例41．（2022·全国·模拟预测）从①，②这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．
已知锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且．
(1)求角B；
(2)已知，且______，求的值及的面积．
【答案】(1)；
(2)①，或②，
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理把化为，结合余弦定理可得角B；
（2）若选①，由即可得的值，再由正弦定理求得的值，进而可得的面积；
若选②，由可得的值，再由正弦定理求得，再利用即可得的值，进而可得的面积.
(1)
根据正弦定理可由得，即，又为锐角，所以；
(2)
若选①，由，再由正弦定理，所以；
若选②，由，再由正弦定理，因为为锐角，所以，可得，.
例42．（2022·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【解析】
【分析】
（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
(1)
证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
(2)
解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
例43．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．．
(1)求的值；
(2)若，，，求c和面积S的值．
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用辅组角公式可得，结合题意可得；（2）利用正弦定理求得，结合题意可求，分析并利用面积公式求解．
(1)
在中，，即，
而，故或，
则或，因为，故，所以
(2)
由正弦定理得：，，则，
由知：，，故，则，
所以，
例44．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．，．请再从条件①：，；条件②：，．这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)的值；
(2)c和面积S的值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)条件选择见解析，，
【解析】
【分析】
（1）若选①，由已知条件可得，得或，由于，则可得，进而可求出，若选②，由已知条件可得，得或，由于，则可得，进而可求出，
（2）若选①，由正弦定理得，由得，再由余弦定理得，则，求得，然后利用三角形面积公式可求得结果，若选②，由正弦定理结合三角函数恒等变换公式可得，从而可得，则，然后利用三角形面积公式可求得结果，
(1)
若选①：，，
在中，，即，
而，故或，
则或，
∵，故，
∴；
若选②：，
在中，，即，
而，故或，则或，
由，得：，∴；
(2)
若选①：，，
由正弦定理得：，，则，
由知：，
故，
则，
∴，；
若选②：，
由正弦定理得：，∵
∴，即，，
∵，故，则，
∴
∴由余弦定理得，，得，
∴．
例45．（2022·北京·高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
(1)
解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
(2)
解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
例46．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得结果；
（2）利用三角形的面积公式结合已知条件可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值，即可得出的周长.
(1)
解：因为，
由正弦定理.
又，，所以，所以.
(2)
解：因为，所以，
又，所以，，
由余弦定理可得，所以.
所以的周长为.
例47．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的值；
(2)若2a+b=6，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)6或
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理结合，代换整理得，再结合倍角公式整理；（2）根据面积公式代入整理得，结合题意可得或，分情况讨论处理．
(1)
∵，则
∵
∴，即
∵，则
∴
(2)
∵△ABC的面积为，则
∴
根据题意得，则或
若，则△ABC为等边三角形，的周长为6；
若，则，即，的周长为
∴的周长为6或
例48．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知的内角的对边分别为，，
(1)求；
(2)若为锐角，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由条件结合正弦定理可得，与条件联立可求.
（2）由余弦定理求，再根据三角形面积公式求的面积．
(1)
由正弦定理，可得，
又，，所以，
因为，所以，
所以．
在中，因为，所以，所以为锐角，
故．
(2)
由（1），得，
因为为锐角，所以，
由余弦定理，可得，
解得（舍去）或，
所以的面积为．
例49．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
(1)
由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
(2)
因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·江西师大附中三模（理））滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为和，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为，则小明估算滕王阁的高度为（ ）（精确到）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在中求得，由正弦定理得，再在中，计算即可.
【详解】
由题意得，在中，，
在中，，，
所以，由正弦定理，
得，
又，
在中，.
故选：D.
2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理求出，再根据同角公式可得结果.
【详解】
根据正弦定理得，得，
所以.
故选：C.
3．（2022·江西·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知及正弦定理得，结合余弦定理得，结合正弦定理对化简求解.
【详解】
由已知及正弦定理得，所以，所以＝.
故选：C.
4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正弦定理求出，直接求出的值.
【详解】
在中，因为，，，
由正弦定理得： ，解得：.
因为，所以.
所以.
故选：C
5．（2022·江西宜春·模拟预测（文））的内角的对边分别为，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由余弦定理求出、，再由面积公式计算可得；
【详解】
解：由余弦定理，即，又，
所以，，所以.
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，，，则（ ）
A．16 B．9 C．－9 D．－16
【答案】C
【解析】
【分析】
由余弦定理求出，再由数量积的定义及诱导公式计算可得；
【详解】
解：由余弦定理，可得，
所以．
故选：C．
7．（2022·北京昌平·二模）在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦和余弦定理，以及三角形边与角的性质，直接计算即可判断求解.
【详解】
对于①，，所以，，得，所以，此时，△存在且唯一，符合题意；
对于②，，所以，，解得，因为，所以，，所以为锐角，此时，△存在且唯一，符合题意；
对于③，，所以，，得，进而，
可得，明显可见，，与矛盾，故③不符题意.
故可以选择的条件序号为：①②
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练习）在中，三边长满足，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
方法一：利用正弦定理边化角可得到，利用两角和差正弦公式可得，结合二倍角公式可得，利用两角和差余弦公式和同角三角函数商数关系可求得结果；
方法二：利用特殊值法，取，，，利用二倍角正切公式可求得，结合即可求得结果.
【详解】
方法一：，由正弦定理得：，
，，；
，
，
，又，
，
，，，
，即，
整理可得：，
，，，，；
方法二：令，，，则满足；
则可知：，；
由得：，解得：或，
，，，.
故选：C.
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）内角，，的对边分别为，，.已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的周长为 D．的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由正弦定理得，即可判断A选项；由平方关系及商数关系即可判断B选项；先由余弦定理得，再求出周长即可判断C选项；先求得，再求面积即可判断D选项.
【详解】
由正弦定理得，整理得，即，A正确；
由可得，则，B正确；
由余弦定理得，又，可得，整理得，
的周长为，C错误；
由上知：，，可得，则的面积为，D正确.
故选：ABD.
10．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知中，为外接圆的圆心，为内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（ ）
A．外接圆半径为 B．内切圆半径为
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对A，由余弦定理求得，即可得出，再由正弦定理即可求出；对B，利用三角形面积关系可求出；对C，由可求出；对D，由可求出.
【详解】
在中，，所以，
设外接圆半径为，则，则，故A错误；
设内切圆半径为，则，解得，故B正确；
因为，，
所以
，故C正确；
设内切圆与三角形分别切于，则设，
，解得，所以，
则，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11．（2022·全国·高三专题练习）在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A．则为等边三角形；
B．已知，则；
C．已知，，，则最小内角的度数为；
D．在，，，解三角形有两解．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用正弦定理、余弦定理一一计算可得；
【详解】
解：对于A：若，则，即，即，即是等边三角形，故A正确；
对于B：由，可得，余弦定理：．，，故B正确．
对于C：因为，，，所以，所以，所以，，，故C正确；
对于D：因为，，，所以，即解得，因为，所以，所以三角形只有1解；
故选：ABC
12．（2022·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，则下列结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用两角和的正弦公式化简得出，结合角的取值范围以及正弦定理可得出结论.
【详解】
因为，
所以，，
所以，，即.
所以，或，，或.
故选：AD.
三、填空题
13．（2022·河北·高三期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若的周长为15，，则的面积为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】
先用正弦定理解得a=3，b=5，c=7，代入海伦公式即可解得.
【详解】
解：可令
将上式相加：
由此可解的：
由正弦定理：
又因为：
解得：a=3，b=5，c=7.所以
代入海伦公式解得：S=
故答案为：
14．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据，结合，利用正弦定理得到，进而求得，再利用余弦定理，结合，求得a，b，c求解.
【详解】
解：因为，
所以,又，
所以，因为是锐角三角形，
所以，
由余弦定理得，
即，解得，
又，则，
所以的面积为，
故答案为：
15．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：
①测量、、；
②测量、、；
③测量、、；
④测量、、．
其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．
【答案】②③
【解析】
【分析】
利用正弦定理可判断①②，利用余弦定理可判断③，根据已知条件可判断④不满足条件.
【详解】
对于①，由正弦定理可得，则，
若且为锐角，则，此时有两解，
则也有两解，此时也有两解；
对于②，若已知、，则确定，由正弦定理可知唯一确定；
对于③，若已知、、，由余弦定理可得，
则唯一确定；
对于④，若已知、、，则不确定.
故答案为：②③.
16．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，则___________．
【答案】＃＃
【解析】
【分析】
利用正弦定理角化边及其余弦定理即可求解.
【详解】
∵，∴,
由正弦定理得，
∵ ，∴，
由余弦定理得：，∴，
∴ ，
∴，解得，
又∵，∴,
将代入得,
由正弦定理可得，即，解得，
又∵，∴
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知在三角形中，，三角形的面积．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)或
(2)，或，
【解析】
【分析】
（1）根据面积公式及，得到，分C为锐角和C为钝角时，求出，进而求出，求出；（2）由面积公式求出，分C为锐角和C为钝角，由余弦定理和正弦定理求出答案.
(1)
∵
而
分情况讨论，当C为锐角时，，
∴
当C为钝角时，，
(2)
,
因为，所以，
分情况讨论，当C为锐角时，
由余弦定理，
由正弦定理，，
当C为钝角时，，
由余弦定理，
由正弦定理，，
18．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知三角形花园，顶点、、为花园的三个出入口，满足，，（单位：米）．
(1)求三角形花园的面积（精确到平方米）；
(2)若三角形个内角均小于，到三角形三个顶点距离之和最短的点必满足、、正好三等分点所在的周角，该点所对三角形三边的张角相等，均为．所以这个点也称为三角形的等角中心．请根据此知识求出三角形花园的最佳会合点到三个出入口的最小距离和（满足到三个出入口的距离和最小）．
【答案】(1)平方米
(2)米
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理、同角三角函数的基本关系结合三角形的面积公式可求得结果；
（2）利用三角形面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得，进而可求得的值，即可得解.
(1)
由余弦定理可得，则为锐角，
所以，，
所以，（平方米）.
(2)
解：中，最长，，则为锐角，
故为锐角三角形，
由（1）可知，
所以，，
根据余弦定理可得，
同理可得，，
以上三个等式相加可得，
所以，，
因此，，
则（米）.
因此，三角形花园的最佳会合点到三个出入口的最小距离和为米.
19．（2022·浙江·模拟预测）已知函数．
(1)求的最小正周期以及在上的单调递增区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求c的值．
【答案】(1)，
(2)或
【解析】
【分析】
（1）由三角恒等变换化简函数，根据余弦函数的周期性和单调性可求得答案；
（2）根据图象的平移求得函数，继而由已知求得角B，根据余弦定理可求得答案.
(1)
解：∵，
∴的最小正周期为．
∵，∴，
∴，解得，
所以的最小正周期为，在上的单调递增区间为．
(2)
解：由已知得，
由，得，∵，∴，
∴，∴所以．
又，由余弦定理得，
∴，
∴或．
20．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，的面积为4，求BC边上的高．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理化简可得答案；（2）由三角形的面积公式可得b值，由余弦定理可得a值，结合面积公式可得高.
(1)
，即．
，
，
．
又，．
(2)
，．
故由余弦定理可知．
而，
解得，所以BC边上的高为．
21．（2022·全国·模拟预测）在中．．
(1)求角；
(2)若，点是线段的中点，于点，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简可得，由此可求得；
（2）利用面积桥可求得，利用余弦定理求得后可得，由勾股定理可得结果.
(1)
，；
，，，解得：.
(2)
是中点，，
又，解得：；
在中，由余弦定理得：，
，则，.
22．（2022·重庆·高三阶段练习）已知对任意，，都有：，若的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.，且.
(1)求c；
(2)若，过点C作，垂足为H，若，求的面积S.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依据题给恒等式和正弦定理，即可顺利解得三角形边长c；
（2）数形结合列方程解得边长a后，即可求得的面积S.
(1)
由对任意，，都有：，
可得，
设的外接圆半径为R，根据正弦定理，有：
，故：，
所以：
由，故，则，
所以，，即
(2)
如图所示：，，，
由，，得，又
所以，，
则，解得，故有：
所以的面积
故的面积为3.
专题20 解三角形
【考点预测】
知识点一：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
.
常见变形
(1)，，；
(2)，，；
；
；
.
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
知识点二：相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2）内角和定理：
①
同理有：，.
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，内角成等差数列.
知识点三：实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
【方法技巧与总结】
1.方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
【题型归纳目录】
题型一：正弦定理的应用
题型二：余弦定理的应用
题型三：判断三角形的形状
题型四：正、余弦定理与的综合
题型五：解三角形的实际应用
题型六：倍角关系
题型七：三角形解的个数
题型八：三角形中的面积与周长问题
【典例例题】
题型一：正弦定理的应用
例1．（2022·浙江·镇海中学高三开学考试）在中，，，则外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
直接使用正弦定理进行求解即可.
【详解】
设R为外接圆的半径，故，解得．
故选：A．
例2．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积．
(1)求角B的大小；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先利用正弦定理面积公式和余弦定理化简已知条件得到，即可得到答案.
（2）首先利用正弦定理边化角公式得到，化简得到，再求其正弦值即可.
(1)
因为，
所以，.
又因为，所以.
(2)
因为，所以，
即，
所以，.
因为，，
所以，即.
.
例3．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
(1)
由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
(2)
由正弦定理得：，则，则，.
例4．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，角C为钝角，.
(1)求的值；
(2)求边c的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由求导，利用求得，，
再由两角差的正弦展开式可得答案；
（2）利用正弦定理和可得答案.
(1)
因为C为钝角，由，则，
则， C为钝角可得为锐角，
所以，，
可得.
(2)
由（1）可知：，则，，
则，
正弦定理：，，
可得：.
例5．（2022·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）在中，内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，求的值；
(2)若，的面积为，求边，的值．
【答案】(1)
(2)，或，
【解析】
【分析】
（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，根据求得,进而由二倍角公式及和差角公式可求的值；
（2）由已知结合三角形面积公式及余弦定理可求得答案.
(1)
因为，
由正弦定理得，
即，
因为，所以，
由为三角形内角得；
由，则，
所以，
，
；
(2)
因为的面积，所以，
由余弦定理 得,则，
由解得，或，.
例6．（2022·青海西宁·二模（理））在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角A，，的对边分别为，，，面积为S，且，，________？
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
根据题干条件及余弦定理、面积公式，可求得角C的值，若选①，根据正弦定理，可求得的值，根据大边对大角原则，可得角A只有一解，根据同角三角函数关系，可求得的值；若选②，根据正弦定理，可求得的值，根据大边对大角原则，可得角A有两解，根据同角三角函数关系，可求得的值；若选③，根据正弦定理，可求得的值，因为，则三角形无解.
【详解】
由题意可知在中，
因为，且，
所以，
由余弦定理可知，
所以
因为，
所以；
若选①，由正弦定理可得，
解得，
在中，因为，所以，
又因为，则角A只有一解，且，
所以．
若选②，由正弦定理可得，
解得，
在中，因为，所以，
又因为，则角A有两解，
所以．
若选③，由正弦定理可得，
解得，
因为，
所以无解，即三角形不存在．
【方法技巧与总结】
（1）已知两角及一边求解三角形；
（2）已知两边一对角；.
（3）两边一对角，求第三边.
题型二：余弦定理的应用
例7．（2022·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若的面积为S，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角形面积公式及余弦定理结合已知条件可得，利用两角和差化积公式可得
【详解】
∵，
代入，即，
∵，∴，即
，
故选：B.
例8．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理得，在中，由余弦定理即可求解.
【详解】
因为，由正弦定理可知，
在中，由余弦定理可得：，解得， ，故
故选：D
例9．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若a，b，c成等比数列，且，则A的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由等比中项得，结合题设得，结合余弦定理即可求解.
【详解】
由已知得，由，得，所以，得，
由余弦定理得，又，所以．
故选：B．
例10．（2022·河南安阳·模拟预测（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理角化边，即可得到，从而得到，再由余弦定理求出，最后由同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】
解：因为，即，由正弦定理可得，
又，即，即，
由余弦定理，即，
所以，
所以；
故答案为：
【方法技巧与总结】
(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.
(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
若余弦值
题型三：判断三角形的形状
例11．（2022·吉林·三模（理））在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
由结合余弦定理可求得，由结合正弦定理可求得，从而可判断出三角形的形状
【详解】
由，得，
所以由余弦定理得，
因为，
所以，
因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
所以,
所以为等腰直角三角形，
故选：A
例12．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））设的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形
B．C为直角的直角三角形
C．C为顶角的等腰三角形
D．A为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
将式子去分母整理即可得到，即可判断；
【详解】
解：，
，
即，
合并得：，
，
，
，
，
，
或，
所以为以为顶角的等腰三角形或为顶角的等腰三角形；
故选：D．
例13．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．等腰非等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件可得，由正弦定理结合三角形中有，利用正弦的和角公式可得，从而可得出答案.
【详解】
由，可得，所以，
所以.
在中，，故，
因为，所以，因为，所以，
故为直角三角形.
故选：B
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知中，三内角满足，三边满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
由三角形内角和定理及可得，余弦定理及可得，即可得为等边三角形.
【详解】
中，∵且，∴，
将，代入余弦定理可得，化简可得，即，
又∵，由等边三角形判定定理可知为等边三角形.
故选：C.
例15．（2022·全国·高三专题练习）设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件可得，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理计算判断作答.
【详解】
因的三个内角，而，则，
又，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形，
所以是等边三角形.
故选：B
例16．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，的对边分别为，，，，则的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据降幂公式，先得到，化简整理，再由正弦定理，得到，推出，进而可得出结果.
【详解】
因为，所以，所以
即，所以，因为，
所以，因为，所以，即是直角三角形.
故选：B
【方法技巧与总结】
（1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形.
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.
题型四：正、余弦定理与的综合
例17．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，．
(1)证明：；
(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积．
①； ②．
注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解；
（2）选①，根据同角三角形的平方关系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及锐角三角函数的定义，结合三角形的面积公式即可求解；
选②，设出，根据勾股定理，得出，结合已知条件得出，利用锐角三角函数的定义，得出角 ，进而得出角，再利用三角形的面积公式即可求解.
(1)
因为，
所以，
故；
(2)
选①．
因为，
所以
在中，由余弦定理可得，
由正弦定理可得
所以，故，
在中，因为，所以，
又．
选②，
设，则，在中，，
由（1）得，
解得，即
在中，则
,，
所以，
所以．
所以.
例18．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知在四边形ABCD中，，，且______.
(1)证明：；
(2)若，求四边形ABCD的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）选择①，由正弦定理及角度关系推出及，结合两角和的正弦公式及诱导公式，进行证明；选择②，利用正弦定理推导出，直接利用两角和的正弦公式及诱导公式即可推出结论；选择③，由正弦定理，面积公式及面积的倍数关系得到，，使用两角和的正弦公式及诱导公式进行证明；（2）在证明出第一问的基础上，设出边长，利用余弦定理求出的长及角的正弦值，进而利用面积公式进行求解.
(1)
方案一：选条件①.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以.
因为，
，
所以，
即，
所以，
所以.
方案二：选条件②.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以.
因为，所以.
因为，
，
，
所以，
即，
所以，
所以.
方案三：选条件③.
因为，，且，，
所以
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以.
因为，
，
所以，
即，
所以，
所以.
(2)
选择①②③，答案均相同，
由（1）可设，则，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
因为，
所以，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以四边形ABCD的面积.
例19．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角所对的边分别为，且，，_____?
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】
选择①，利用二倍角正弦公式得，通过边与角的关系知，进而得，再利用正弦定理计算得，出现矛盾，故不存在；
选择②，由正弦定理结合逆用两角和差化积公式计算得，利用余弦定理可得，再利用面积公式得解；
选择③，利用正弦定理结合同角之间的关系得到，利用余弦定理可得，再利用面积公式得解；
【详解】
选择①
由，得.
若，，，与矛盾，，.
若这样的存在，根据正弦定理，由，
得，与矛盾.
所以，若选择条件①，则问题中的三角形不存在.
选择②
在中，根据正弦定理，得.
，则，，即，整理为.
，，，.
根据余弦定理，，结合，，
，解得：或（舍去）.
的面积为.
选择③
在中，根据正弦定理，得，即.
，则，.
，，，，.
根据余弦定理，，结合，，
，解得：或（舍去）.
的面积为.
例20．（2022·全国·高三专题练习）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.
(1)证明：；
(2)若，求.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据三角形面积公式及三角形内角性质可得，再由正弦定理的边角关系即可证结论.
（2）由（1）及题设可得，进而求得，应用余弦定理及正弦定理边角关系求，即可求，注意根据B的范围判断符号，最后利用及和角余弦公式求值即可.
(1)
由题设，，又，
所以，由正弦定理可得，
所以，又，
所以，即.
(2)
由（1）及题设，，且，
所以，则，故，
又，可得，
若，则，而，故不合题设；
所以，
所以.
例21．（2022·江苏泰州·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知边上的高等于a．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由锐角三角形可得，结合题意和正弦定理整理可证；（2）利用等面积可得，结合余弦定理化简整理．
(1)
设边上的高为，则，所以，
由正弦定理得．
(2)
由余弦定理得，
因为，所以，
所以，即，
所以．
例22．（2022·山东潍坊·模拟预测）在中，内角的对边分别为，．
(1)求角；
(2)是边上的点，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边化角、切化弦，结合三角恒等变换公式可化简已知等式求得，由此可得；
（2）设；在和分别利用正弦定理和余弦定理可构造关于的方程，解方程可求得结果.
(1)
由得：，
由正弦定理得：，
，又，，
；
有意义，，，即，
又，.
(2)
，，
设，则，
在中，由正弦定理得：，即；
在中，由余弦定理得：；
，解得：，
即，又，.
【方法技巧与总结】
先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.
题型五：解三角形的实际应用
例23．（2022·陕西·西安中学一模（理））为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.
(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；
(2)求隧道口间的距离.
【答案】(1)
(2)1000米.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理及同角三角函数的关系可求解；
（2）由余弦定理可求解.
(1)
在中，由正弦定理得，
即，
所以，
由题可知，，
所以，即.
(2)
由（1）可知，，
在中，由余弦定理得
，
所以，
故两隧道口间的距离为1000米.
例24．（2022·上海市建平中学高三期中）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得.现有两种铺设方案:①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，设，，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km、4万元/km.
(1)求A、B两点间的距离；
(2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.
【答案】(1)5千米；
(2)选择方案②，在点正西方千米处，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）设千米，结合已知条件有求出，根据线段关系及勾股定理求A、B两点间的距离；
（2）计算方案①的费用，根据已知可得方案②的费用为，利用导数研究最值，然后比较两种方案的费用大小，即可确定费用较低的方案.
(1)
由，若千米，则，可得，
所以千米.
(2)
方案①：铺设费用为万元；
方案②：，，
铺设费用为，
令，则，
当，时，当，时，
所以在上递减，上递增，则，
故铺设费用最小为万元万元，
综上，选择方案②，在点正西方千米处.
例25．（2022·广东湛江·二模）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.
(1)求、两地之间的距离；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理可直接求得的长；
（2）利用余弦定理求出的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值.
(1)
解：由余弦定理可得，
所以，.
(2)
解：由余弦定理可得，
所以，，则为锐角，故，
因此，.
例26．（2022·山东泰安·高三期末）在某海域处的巡逻船发现南偏东方向，相距海里的处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线（以点为坐标原点，正东，正北方向分别为轴，轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发小时后，可疑船只所在位置的横坐标为.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.
(1)求的值；
(2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.
【答案】(1)
(2)能够拦截成功拦截，时间为2小时
【解析】
【分析】
（1）设1小时后两船相遇于点C，根据关于y轴对称，且，即可求解；
（2）设t小时后两船相遇于点D，利用余弦定理列出方程，即可求解.
(1)
解：由题意，直线的倾斜角为，
若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C，
如图所示，则轴，，且关于y轴对称，
所以，所以.
(2)
解：若巡逻船以海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示，
则，，，，
因为
可得
整理得，解得或（舍去），
所以能够拦截成功拦截时间为2小时.
例27．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.
(1)求小岛A到小岛C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.
【答案】(1)海里
(2)游船应该沿北偏东的方向航行.
【解析】
【分析】
(1)三边一角，由余弦定理可以求小岛A到小岛 C的距离；
(2)两边两角，由正弦定理可以求角.
(1)
解：(1)在中，
，根据余弦定理得：.
.
所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里.
(2)
解：(2)根据正弦定理得：
解得
在中，
为锐角
.
由得游船应该沿北偏东的方向航行
答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.
例28．（2022·黑龙江大庆·高三阶段练习（理））如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，.在点测得塔顶的仰角为50.5°.
(1)求与两点间的距离（结果精确到）；
(2)求塔高（结果精确到）.
参考数据：取，，.
【答案】(1)324m
(2)669m
【解析】
【分析】
（1）求出，在中利用正弦定理进行求解；（2）先在中利用正弦定理求出的长度，进而利用正切值求出塔高.
(1)
在中，，
由正弦定理得，
则
(2)
由正弦定理得，
则.
故塔高
【方法技巧与总结】
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.
题型六：倍角关系
例29．（2022·北京丰台·二模）在中，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理结合二倍角的正弦公式即可得解.
【详解】
解：在中，
由正弦定理可得，
即，即，
所以.
故答案为：.
例30．（2022·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
(1)
由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
(2)
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
例31．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，，求的面积；
(2)若，且的边长均为正整数，求．
【答案】(1)16
(2)6
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理，边角互化，以及正弦的和差公式，即可求解.
(2)根据正弦定理，边化角，再由余弦定理可得，再分和分类讨论，即可求解.
(1)
因为，由正弦定理得，
又，得，
故，
所以，
因为，，所以，于是，故，为直角三角形，
所以的面积；
(2)
由，得，由正弦定理，可得；
由余弦定理，得，∵，．
若，则，故，
则，，此时，不符合题意．
∴，由，得，
又，即，则．
∵，，故当时，有，而，故能构成三角形，故．
例32．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若，，的外接圆半径为，，求的大小；
(2)若，，，求边的长.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）结合正弦定理化简已知条件，从而求得的大小.
（2）结合正弦定理、余弦定理求得边的长.
(1)
依题意，
由正弦定理得，
，，
，
由于，，
所以.
(2)
由正弦定理得，
，
由余弦定理得，
，解得或.
例33．（2022·山东·高三开学考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边长均为正整数，且．
(1)若角B为钝角，求△ABC的面积；
(2)若，求a．
【答案】(1)；
(2)6．
【解析】
【分析】
(1)由余弦定理和基本不等式得到a与c的关系，再根据三角形边长为正整数求a与c；
(2)用正弦定理和余弦定理转化角的关系为边的关系，在分类讨论求出边长﹒
(1)
由角B为钝角，则，即；
又∵，即，且a，，因此或符合题意．
故，则，
因此△ABC的面积为．
(2)
由，得，由正弦定理，可得；
由余弦定理，得，∵，．
若，则，故，
则，，此时，不符合题意．
∴，由，得，
又，即，则．
∵a，，故当时，有，而，故能构成三角形，故．
例34．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
(1)由A=2B得sinA=sin2B，再利用正弦定理和余弦定理角化边即可求解；
(2)利用余弦定理可求cosA，从而可求sinA及cos2A、sin2A，结合两角和差的余弦公式进行求解即可﹒
(1)
由，知，
由正、余弦定理得．
∵，，∴，则；
(2)
由余弦定理得，
∵，∴，
故，，
．
题型七：三角形解的个数
例35．（2022·江西·二模（文））设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正弦定理计算可得；
【详解】
解：由正弦定理，即，所以，
因为不唯一，即有两解，所以且，即，
所以，所以，即；
故选：A
例36．（2022·全国·模拟预测（理））在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦定理即可求解.
【详解】
解：由题意，根据正弦定理有，所以，
要使三角形有两组解，则，且，即，
所以，
所以a的值可以为．
故选：C．
例37．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））在三角形ABC中（A点在BC上方），若，，BC边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【解析】
【分析】
作出外接圆如图所示，根据题意可求出外接圆的半径为2，然后结图形判断即可
【详解】
作出外接圆如图所示，
因为，
所以的外接圆半径为
因为，所以，，
所以当时，最大为3，此时是唯一的，所以B正确，A正确，
当时，由圆的对称性可知，此时，
所以C错误，D正确，
故选：C
例38．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可判断各选项.
【详解】
对于A选项，由正弦定理可得，且，故有两解；
对于B选项，由正弦定理可得，且，故只有一解；
对于C选项，由正弦定理可得，故无解；
对于D选项，因为，则角为的最大内角，且，故无解.
故选：B.
例39．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））中，已知下列条件：①；②；③；④，其中满足上述条件的三角形有两解的是（ ）
A．①④ B．①② C．①②③ D．③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据判断三角形解的个数的公式，即可判断选项.
【详解】
①，三角形有两解；②，三角形有两解；③，三角形有一解；④，三角形无解.
故选：B.
题型八：三角形中的面积与周长问题
例40．（2022·湖南·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求证：；
(2)若，，，且，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理求解；
（2）由（1）得，再利用余弦定理，并将，且代入求得a，c，然后利用面积公式求解.
(1)
解：因为，
由正弦定理可得：，
所以；
(2)
由（1）得，
由余弦定理得：，
所以，即，
将，代入，得，
即，
解得或，
∵，∴，
∴舍去，
∴，．
从而，
由可知，
所以．
所以的面积．
例41．（2022·全国·模拟预测）从①，②这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．
已知锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且．
(1)求角B；
(2)已知，且______，求的值及的面积．
【答案】(1)；
(2)①，或②，
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理把化为，结合余弦定理可得角B；
（2）若选①，由即可得的值，再由正弦定理求得的值，进而可得的面积；
若选②，由可得的值，再由正弦定理求得，再利用即可得的值，进而可得的面积.
(1)
根据正弦定理可由得，即，又为锐角，所以；
(2)
若选①，由，再由正弦定理，所以；
若选②，由，再由正弦定理，因为为锐角，所以，可得，.
例42．（2022·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【解析】
【分析】
（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
(1)
证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
(2)
解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
例43．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．．
(1)求的值；
(2)若，，，求c和面积S的值．
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用辅组角公式可得，结合题意可得；（2）利用正弦定理求得，结合题意可求，分析并利用面积公式求解．
(1)
在中，，即，
而，故或，
则或，因为，故，所以
(2)
由正弦定理得：，，则，
由知：，，故，则，
所以，
例44．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．，．请再从条件①：，；条件②：，．这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)的值；
(2)c和面积S的值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)条件选择见解析，，
【解析】
【分析】
（1）若选①，由已知条件可得，得或，由于，则可得，进而可求出，若选②，由已知条件可得，得或，由于，则可得，进而可求出，
（2）若选①，由正弦定理得，由得，再由余弦定理得，则，求得，然后利用三角形面积公式可求得结果，若选②，由正弦定理结合三角函数恒等变换公式可得，从而可得，则，然后利用三角形面积公式可求得结果，
(1)
若选①：，，
在中，，即，
而，故或，
则或，
∵，故，
∴；
若选②：，
在中，，即，
而，故或，则或，
由，得：，∴；
(2)
若选①：，，
由正弦定理得：，，则，
由知：，
故，
则，
∴，；
若选②：，
由正弦定理得：，∵
∴，即，，
∵，故，则，
∴
∴由余弦定理得，，得，
∴．
例45．（2022·北京·高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
(1)
解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
(2)
解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
例46．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得结果；
（2）利用三角形的面积公式结合已知条件可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值，即可得出的周长.
(1)
解：因为，
由正弦定理.
又，，所以，所以.
(2)
解：因为，所以，
又，所以，，
由余弦定理可得，所以.
所以的周长为.
例47．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的值；
(2)若2a+b=6，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)6或
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理结合，代换整理得，再结合倍角公式整理；（2）根据面积公式代入整理得，结合题意可得或，分情况讨论处理．
(1)
∵，则
∵
∴，即
∵，则
∴
(2)
∵△ABC的面积为，则
∴
根据题意得，则或
若，则△ABC为等边三角形，的周长为6；
若，则，即，的周长为
∴的周长为6或
例48．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知的内角的对边分别为，，
(1)求；
(2)若为锐角，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由条件结合正弦定理可得，与条件联立可求.
（2）由余弦定理求，再根据三角形面积公式求的面积．
(1)
由正弦定理，可得，
又，，所以，
因为，所以，
所以．
在中，因为，所以，所以为锐角，
故．
(2)
由（1），得，
因为为锐角，所以，
由余弦定理，可得，
解得（舍去）或，
所以的面积为．
例49．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
(1)
由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
(2)
因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·江西师大附中三模（理））滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为和，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为，则小明估算滕王阁的高度为（ ）（精确到）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在中求得，由正弦定理得，再在中，计算即可.
【详解】
由题意得，在中，，
在中，，，
所以，由正弦定理，
得，
又，
在中，.
故选：D.
2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理求出，再根据同角公式可得结果.
【详解】
根据正弦定理得，得，
所以.
故选：C.
3．（2022·江西·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知及正弦定理得，结合余弦定理得，结合正弦定理对化简求解.
【详解】
由已知及正弦定理得，所以，所以＝.
故选：C.
4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正弦定理求出，直接求出的值.
【详解】
在中，因为，，，
由正弦定理得： ，解得：.
因为，所以.
所以.
故选：C
5．（2022·江西宜春·模拟预测（文））的内角的对边分别为，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由余弦定理求出、，再由面积公式计算可得；
【详解】
解：由余弦定理，即，又，
所以，，所以.
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，，，则（ ）
A．16 B．9 C．－9 D．－16
【答案】C
【解析】
【分析】
由余弦定理求出，再由数量积的定义及诱导公式计算可得；
【详解】
解：由余弦定理，可得，
所以．
故选：C．
7．（2022·北京昌平·二模）在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦和余弦定理，以及三角形边与角的性质，直接计算即可判断求解.
【详解】
对于①，，所以，，得，所以，此时，△存在且唯一，符合题意；
对于②，，所以，，解得，因为，所以，，所以为锐角，此时，△存在且唯一，符合题意；
对于③，，所以，，得，进而，
可得，明显可见，，与矛盾，故③不符题意.
故可以选择的条件序号为：①②
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练习）在中，三边长满足，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
方法一：利用正弦定理边化角可得到，利用两角和差正弦公式可得，结合二倍角公式可得，利用两角和差余弦公式和同角三角函数商数关系可求得结果；
方法二：利用特殊值法，取，，，利用二倍角正切公式可求得，结合即可求得结果.
【详解】
方法一：，由正弦定理得：，
，，；
，
，
，又，
，
，，，
，即，
整理可得：，
，，，，；
方法二：令，，，则满足；
则可知：，；
由得：，解得：或，
，，，.
故选：C.
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）内角，，的对边分别为，，.已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的周长为 D．的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由正弦定理得，即可判断A选项；由平方关系及商数关系即可判断B选项；先由余弦定理得，再求出周长即可判断C选项；先求得，再求面积即可判断D选项.
【详解】
由正弦定理得，整理得，即，A正确；
由可得，则，B正确；
由余弦定理得，又，可得，整理得，
的周长为，C错误；
由上知：，，可得，则的面积为，D正确.
故选：ABD.
10．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知中，为外接圆的圆心，为内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（ ）
A．外接圆半径为 B．内切圆半径为
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对A，由余弦定理求得，即可得出，再由正弦定理即可求出；对B，利用三角形面积关系可求出；对C，由可求出；对D，由可求出.
【详解】
在中，，所以，
设外接圆半径为，则，则，故A错误；
设内切圆半径为，则，解得，故B正确；
因为，，
所以
，故C正确；
设内切圆与三角形分别切于，则设，
，解得，所以，
则，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11．（2022·全国·高三专题练习）在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A．则为等边三角形；
B．已知，则；
C．已知，，，则最小内角的度数为；
D．在，，，解三角形有两解．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用正弦定理、余弦定理一一计算可得；
【详解】
解：对于A：若，则，即，即，即是等边三角形，故A正确；
对于B：由，可得，余弦定理：．，，故B正确．
对于C：因为，，，所以，所以，所以，，，故C正确；
对于D：因为，，，所以，即解得，因为，所以，所以三角形只有1解；
故选：ABC
12．（2022·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，则下列结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用两角和的正弦公式化简得出，结合角的取值范围以及正弦定理可得出结论.
【详解】
因为，
所以，，
所以，，即.
所以，或，，或.
故选：AD.
三、填空题
13．（2022·河北·高三期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若的周长为15，，则的面积为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】
先用正弦定理解得a=3，b=5，c=7，代入海伦公式即可解得.
【详解】
解：可令
将上式相加：
由此可解的：
由正弦定理：
又因为：
解得：a=3，b=5，c=7.所以
代入海伦公式解得：S=
故答案为：
14．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据，结合，利用正弦定理得到，进而求得，再利用余弦定理，结合，求得a，b，c求解.
【详解】
解：因为，
所以,又，
所以，因为是锐角三角形，
所以，
由余弦定理得，
即，解得，
又，则，
所以的面积为，
故答案为：
15．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：
①测量、、；
②测量、、；
③测量、、；
④测量、、．
其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．
【答案】②③
【解析】
【分析】
利用正弦定理可判断①②，利用余弦定理可判断③，根据已知条件可判断④不满足条件.
【详解】
对于①，由正弦定理可得，则，
若且为锐角，则，此时有两解，
则也有两解，此时也有两解；
对于②，若已知、，则确定，由正弦定理可知唯一确定；
对于③，若已知、、，由余弦定理可得，
则唯一确定；
对于④，若已知、、，则不确定.
故答案为：②③.
16．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，则___________．
【答案】＃＃
【解析】
【分析】
利用正弦定理角化边及其余弦定理即可求解.
【详解】
∵，∴,
由正弦定理得，
∵ ，∴，
由余弦定理得：，∴，
∴ ，
∴，解得，
又∵，∴,
将代入得,
由正弦定理可得，即，解得，
又∵，∴
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知在三角形中，，三角形的面积．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)或
(2)，或，
【解析】
【分析】
（1）根据面积公式及，得到，分C为锐角和C为钝角时，求出，进而求出，求出；（2）由面积公式求出，分C为锐角和C为钝角，由余弦定理和正弦定理求出答案.
(1)
∵
而
分情况讨论，当C为锐角时，，
∴
当C为钝角时，，
(2)
,
因为，所以，
分情况讨论，当C为锐角时，
由余弦定理，
由正弦定理，，
当C为钝角时，，
由余弦定理，
由正弦定理，，
18．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知三角形花园，顶点、、为花园的三个出入口，满足，，（单位：米）．
(1)求三角形花园的面积（精确到平方米）；
(2)若三角形个内角均小于，到三角形三个顶点距离之和最短的点必满足、、正好三等分点所在的周角，该点所对三角形三边的张角相等，均为．所以这个点也称为三角形的等角中心．请根据此知识求出三角形花园的最佳会合点到三个出入口的最小距离和（满足到三个出入口的距离和最小）．
【答案】(1)平方米
(2)米
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理、同角三角函数的基本关系结合三角形的面积公式可求得结果；
（2）利用三角形面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得，进而可求得的值，即可得解.
(1)
由余弦定理可得，则为锐角，
所以，，
所以，（平方米）.
(2)
解：中，最长，，则为锐角，
故为锐角三角形，
由（1）可知，
所以，，
根据余弦定理可得，
同理可得，，
以上三个等式相加可得，
所以，，
因此，，
则（米）.
因此，三角形花园的最佳会合点到三个出入口的最小距离和为米.
19．（2022·浙江·模拟预测）已知函数．
(1)求的最小正周期以及在上的单调递增区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求c的值．
【答案】(1)，
(2)或
【解析】
【分析】
（1）由三角恒等变换化简函数，根据余弦函数的周期性和单调性可求得答案；
（2）根据图象的平移求得函数，继而由已知求得角B，根据余弦定理可求得答案.
(1)
解：∵，
∴的最小正周期为．
∵，∴，
∴，解得，
所以的最小正周期为，在上的单调递增区间为．
(2)
解：由已知得，
由，得，∵，∴，
∴，∴所以．
又，由余弦定理得，
∴，
∴或．
20．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，的面积为4，求BC边上的高．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理化简可得答案；（2）由三角形的面积公式可得b值，由余弦定理可得a值，结合面积公式可得高.
(1)
，即．
，
，
．
又，．
(2)
，．
故由余弦定理可知．
而，
解得，所以BC边上的高为．
21．（2022·全国·模拟预测）在中．．
(1)求角；
(2)若，点是线段的中点，于点，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简可得，由此可求得；
（2）利用面积桥可求得，利用余弦定理求得后可得，由勾股定理可得结果.
(1)
，；
，，，解得：.
(2)
是中点，，
又，解得：；
在中，由余弦定理得：，
，则，.
22．（2022·重庆·高三阶段练习）已知对任意，，都有：，若的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.，且.
(1)求c；
(2)若，过点C作，垂足为H，若，求的面积S.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依据题给恒等式和正弦定理，即可顺利解得三角形边长c；
（2）数形结合列方程解得边长a后，即可求得的面积S.
(1)
由对任意，，都有：，
可得，
设的外接圆半径为R，根据正弦定理，有：
，故：，
所以：
由，故，则，
所以，，即
(2)
如图所示：，，，
由，，得，又
所以，，
则，解得，故有：
所以的面积
故的面积为3.
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