专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法  

【考点预测】

1、一元二次不等式

一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且

（1）当时，二次函数图象开口向上.

（2）①若，解集为.

②若，解集为.

③若，解集为.

(2) 当时，二次函数图象开口向下.

①若，解集为

②若，解集为

2、分式不等式

（1）

（2）

（3）

（4）

3、绝对值不等式

（1）

（2）；

；

（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解

【方法技巧与总结】

1.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．

已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．

2.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．

3.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．

4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；

5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；

6.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；

7.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．

【题型归纳目录】

题型一：不含参数一元二次不等式的解法

题型二：含参数一元二次不等式的解法

题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式

题型四：其他不等式解法

题型五：二次函数根的分布问题

【典例例题】

题型一：不含参数一元二次不等式的解法

例1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．或

例2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数=，则不等式的解集是（       ）

A．（﹣2，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（1，+∞）

例4．（2022·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则实数的范围是（       ）

A． B．

C． D．或

例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】

解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集

题型二：含参数一元二次不等式的解法

例6．（2022·浙江·高三专题练习）不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

例7．（2022·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（       ）

A．或 B．{x|x>a}

C．或 D．

例8．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式（其中）的解集为（       ）

A． B．或

C． D．或

例9．（2022·全国·高三专题练习）在关于的不等式的解集中至多包含个整数，则的取值范围是

A． B． C． D．

例10．（2022·浙江·高三专题练习）设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围.

例11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R.

(1)当k变化时，试求不等式的解集A；

(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．

例12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为，其中，若该不等式在中有且只有一个整数解，求实数的取值范围

【方法技巧与总结】

1．数形结合处理．

2．含参时注意分类讨论．

题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式

例13．（2022·湖南岳阳·二模）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（       ）

A． B．1 C．2 D．8

例14．（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（       ）

A． B． C． D．

（多选题）例15．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（       ）

A．

B．不等式的解集是

C．

D．不等式的解集为

例16．（2022·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.

例17．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式的解集是，则不等式 的解集是________.

【方法技巧与总结】

1．一定要牢记二次函数的基本性质．

2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．

题型四：其他不等式解法

例18．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是的解集为______．

例19．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.

例20．（2022·全国·高三专题练习）写出一个解集为的分式不等式___________.

例21．（2022·上海·高三专题练习）关于的不等式的解集为_________.

例22．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式”,给出如下一种解法:

解析:由的解集,得

的解集为,即

关于的不等式的解集为.

参考上述解法,若关于的不等式的解集为

关于的不等式的解集为____.

【方法技巧与总结】

1．分式不等式化为二次或高次不等式处理．

2．根式不等式绝对值不等式平方处理．

题型五：二次函数根的分布问题

例23．（2022·浙江·高三专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

例24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

例25．（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

例26．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（       ）

A． B．3 C． D．

例27．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____

例28．（2022·全国·高三专题练习）设，若，求证：

(Ⅰ) 且；

(Ⅱ)方程在内有两个实根.

【方法技巧与总结】

解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.

【过关测试】

一、单选题

1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

2．（2022·河北·模拟预测）“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数，则关于t的不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·山西·二模（理））已知集合，，若有2个元素，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

6．（2022·重庆·高三阶段练习）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

7．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

8．（2022·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　

A．，， B．，，

C．，， D．

二、多选题

9．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对任意的恒成立，则实数可能是

A．1 B．2 C．3 D．4

10．（2022·江苏·高三专题练习）已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（       ）

A． B．

C．的解集为 D．的解集为或

11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列命题正确的有（       ）

A．当时，的解集为

B．当时，时，

C．且时，

D．当时，若，则

12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知两个变量x，y的关系式，则以下说法正确的是（       ）

A．

B．对任意实数a，都有成立

C．若对任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是

D．若对任意正实数a，不等式恒成立，则实数x的取值范围是

三、填空题

13．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则函数的单调递增区间是_______

14．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数的取值范围是___________.

15．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.

16．（2022·全国·高三专题练习）设，，，对任意满足的实数，都有，则的最大可能值为__.

四、解答题

17．（2022·北京·高三学业考试）已知函数（m是常数）的图象过点．

(1)求的解析式；

(2)求不等式的解集．

18．（2022·江西·高三期末（文））已知.

(1)解不等式；

(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.

19．（2022·全国·高三专题练习）设，若，，求证：

(1)方程有实数根；

(2)；

(3)设，是方程的两个实数根，则．

20．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式的解集是．

(1)解不等式；

(2)b为何值时，的解集为R．

21．（2022·全国·高三专题练习）解关于的不等式：.

22．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数.

（1）若，试判断函数零点个数；

（2）是否存在，使同时满足以下条件：

①对任意，且；

②对任意，都有.

若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.