专题1.55 证明三角形全等作辅助线方法-作平行线（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

专题1.55 证明三角形全等作辅助线方法-作平行线

（专项练习）

一、单选题

1．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　）

A．1 B．1.8 C．2 D．2.5

2．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（       ）

A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25

二、填空题

3．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD＝CD，点P是△OCD角平分线的交点，点M是AB的中点，给出下列结论：①∠CPD＝135°；②BA＝BP；③△PAC≌△PDB；④S△ABP＝S△DCP；⑤PM＝CD．其中正确的是___．（填序号）

三、解答题

4． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．

（1）证明：PD＝DQ．

（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．

5．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．

求让：

6．读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且

∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD

分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．

图(1):延长DE到F使得EF=DE

图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F

图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.

7．已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：

(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．

(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；

(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．

8．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，

(1)求证：DP=DQ；

(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．

参考答案

1．C

【分析】

过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出．

解：过作的平行线交于，

，

是等边三角形，

，，

是等边三角形，

，

∵CQ＝PA，

∴

在中和中，

，

≌，

，

于，是等边三角形，

，

，

，

，

，

故选：C．

【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

2．C

【分析】

过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出．

解：过作的平行线交于，

，

是等边三角形，

，，

是等边三角形，

，

在中和中，

，

≌，

，

于，是等边三角形，

，

，

，

，

，

故选：C．

【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

3．①③④⑤

【分析】

由角平分线的定义，可得∠CDP+∠DCP=∠CDO+∠DCO=45°，进而即可判断①；先证，可得是等腰直角三角形，进而得，即可判断③；过点A作AN∥BP交PM的延长线于点N，可得，再证明，从而得PM＝CD，即可判断⑤；由，即可判断④．

解：∵AC⊥BD，点P是△OCD角平分线的交点，

∴∠DOC=90°，∠ODC+∠OCD=90°，∠CDP=∠CDO，∠DCP=∠DCO，

∴∠CDP+∠DCP=∠CDO+∠DCO=45°，

∴∠CPD＝180°-（∠CDP+∠DCP）=135°，故①正确；

∵CP，DP分别平分∠DCO，∠CDO，

∴∠DCP=∠ACP，∠CDP=∠BDP，

∵AC＝CD，PC=PC，

∴，

∴AP=DP，∠CAP=∠CDP=∠BDP，∠APC=∠DPC=135°，

∴∠DPA=360°-135°-135°=90°，

∴是等腰直角三角形，

又∵AC=BD，∠CAP=∠BDP，AP=DP，

∴，故③正确；

∴∠DPB=∠APC=135°，PB=PC，

∴∠BPC=360°-135°-135°=90°，

∴是等腰直角三角形，找不到证明BA=BP的条件，故②错误；

过点A作AN∥BP交PM的延长线于点N，

∵∠N=∠BPM，∠PAN+∠APB=180°，

∵点M是AB的中点，即AM=BM，

又∵∠AMN=∠BMP，

∴，

∴MN=PM=，AN=PB=PC，，

∵∠DPA=∠BPC=90°，

∴∠APB+∠DPC=180°，

又∵∠PAN+∠APB=180°，

∴∠PAN=∠DPC，

又∵AP=DP，AN=PC，

∴，

∴CD=PN=2PM，即：PM＝CD，故⑤正确；

∵，，

∴，

∴，故④正确．

故正确的是①③④⑤．

【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握中线倍长模型和旋转全等模型，是解题的关键．

4．（1）证明见分析；（2）DE＝3．

【分析】

（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可；

（2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果．

解：（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F．

∵△ABC是等边三角形，

∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．

∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．

在△PDF和△QDC中，，

∴△PDF≌△QDC（AAS），

∴PD=DQ；

（2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，

∴AP=PF=AF．

∵PE⊥AC，∴AE=EF．

∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．

在△PFD和△QCD中，，

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD=CD．

∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，

∴AE+CD=DEAC．

∵AC=6，∴DE=3．

【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．

5．见详解

【分析】

过点D作DE∥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDE=∠MEC，DE=CE，从而证明∆EMD≅∆CME，进而即可得到结论．

解：过点D作DE∥AC，交BC于点E，

∵是等边三角形，

∴∠B=∠ACB=60°，

∵DE∥AC，

∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，

∴是等边三角形，

∴BD=DE，

∵，

∴DE=CE，

又∵∠EMD=∠CME，

∴∆EMD≅∆CME，

∴．

【点拨】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．

6．选择（1）（3）证明，证明见分析

【分析】

如图(1)延长DE到F使得EF=DE,证明△DCE≌△FBE,得到∠CDE=∠F,BF=DC,结合题干条件即可得到结论;如图3,过C点作CF∥AB交DE的延长线于F,得到△ABE≌△FCE,AB=FC,结合题干条件即可得到结论,

解：如图(1)延长DE到F使得EF=DE

在△DCE和△FBE中,

∴△DCE≌△ FBE（SAS)

∴∠CDE=∠F,BF=DC

∵∠BAE=∠CDE

∴BF=AB

∴AB= CD

如图3,过C点作CF∥AB交DE的延长线于F

在△ABE和△FCE中

∴△ABE≌△ FCE(AAS),

∴AB=FC

∵∠BAE=∠CDE

∴∠F=∠CDE

∴CD=CF

∴AB=CD

【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，解题关键在于利用三角形全等的性质证明

7．(1)DM=EM．理由见详解；(2)成立，理由见详解；(3)MD=ME．

【分析】

（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；

（2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；

（3）MD=ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论；

(1)解：DM=EM；

证明：过点E作EF//AB交BC于点F，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C；

又∵EF//AB，

∴∠ABC=∠EFC，

∴∠EFC=∠C，

∴EF=EC．

又∵BD=EC，

∴EF=BD．

又∵EF//AB，

∴∠ADM=∠MEF．

在△DBM和△EFM中

，

∴△DBM≌△EFM，

∴DM=EM．

(2)解：成立；

证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C；

又∵EF//AB，

∴∠ABC=∠EFC，

∴∠EFC=∠C，

∴EF=EC．

又∵BD=EC，

∴EF=BD．

又∵EF//AB，

∴∠ADM=∠MEF．

在△DBM和△EFM中

∴△DBM≌△EFM；

∴DM=EM；

(3)解：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，

∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF

∴△DBM∽△EFM，

∴BD：EF=DM：ME，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠F=∠ABC，

∴∠F=∠C，

∴EF=EC，

∴BD：EC=DM：ME=1：2，

∴MD=ME．

【点拨】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键．

8．(1)详见分析

(2)ED＝2

【分析】

（1）过P作PF∥BQ，可得△APF为等边三角形 ，所以AP＝PF，再证△DCQ≌△DFP，即可得PD＝DQ；

（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EF，根据全等三角形对应边相等可得FD＝CD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解．

解：(1)如图，过点P作PF∥BC，则∠DPF=∠Q，

∵△ABC为等边三角形，

∴△APF是等边三角形，

∴AP=PF，

又∵AP=CQ，

∴PF=CQ，

在△DPF和△DQC中，，

∴△DPF≌△DQC（AAS），

∴DP=DQ；

(2)∵△PAF为等边三角形，PE⊥AC，

可得AE＝EF，

由（1）知，△DPF≌△DQC

∴FD＝CD，

∵AC＝AE＋EF＋FD＋CD，

∴AC＝2EF＋2FD＝2（EF＋FD）＝2ED，

∵AC＝BC＝4，

∴2ED＝4，

∴ED＝2．

【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．