专题2.3 有理数的运算（培优篇）专项练习- 2022-2023学年七年级数学上册阶段性复习精选精练（浙教版）

这是一份专题2.3 有理数的运算（培优篇）专项练习- 2022-2023学年七年级数学上册阶段性复习精选精练（浙教版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题2.3 有理数的运算（培优篇）专项练习
一、单选题
1．两个数的和为正数，那么这两个数是（　　）
A．正数 B．负数
C．至少有一个为正数 D．一正一负
2．若，，且的绝对值与相反数相等，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．2或6
3．若=2，则x2+x－2的值是( )
A．4 B． C．0 D．
4．如图，点、、在数轴上表示的数分别为、、，且，则下列结论中①；②；③；④.其中错误的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．计算（）2017•（﹣1.5）2018的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．下表是淮河某河段今年雨季一周内水位变化情况，（其中0表示警戒水位）那么水位最高是 （ ）
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化／米
+0.03
+0.41
+0.25
+0.10
0
－0.13
－0.2

A．周一 B．周二 C．周三 D．周五
7． 一根1m长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下绳子的一半．如此剪下去，剪第8次后剩下的绳子的长度是（　　）
A．m B．m C．m D．m
8．按下面的程序计算：

若输入，输出结果是，若输入，输出结果是，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为，则开始输入的值可能有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
9．记，令，则称Tn为a1，a2，……，an这列数的“凯森和”.已知a1，a2，……，的“凯森和”为2004，那么13，a1，a2，……，a500的“凯森和”为（ ）
A．2013 B．2015 C．2017 D．2019
10．已知 m≥2，n≥2，且 m、n 均为正整数，如果将 mn 进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有（ ）

①在 25 的“分解”结果是 15和17两个数．
②在 42 的“分解”结果中最大的数是9．
③若 m3 的“分解”结果中最小的数是 23，则 m＝5．
④若 3n 的“分解”结果中最小的数是 79，则 n＝5．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

二、填空题
11．a、b、c在数轴上的位置如图所示：
a－b___0 ; b－c ___0 ; －b－c___0 ; a－(－b)_____0 (填＞，＜,＝)
12．用表示，例1995！=，那么的个位数字是_____________．
13．若|m|＝1，|n|＝2，且|m＋n|＝m＋n，则＝________．
14．记，则的最小值为__________．
15．在数轴上有理数a，分别用点A，A1表示，我们称点A1是点A的“差倒数点”．已知数轴上点A的差倒数点为点A1；点A1的差倒数点为点A2；点A2的差倒数点为点A3…这样在数轴上依次得到点A，A1，A2，A3，…，An．若点A，A1，A2，A3，…，An在数轴上分别表示的有理数为a，a1、a2、a3、…，an．则当a时，代数式a1+a2+a3+…+a2020的值为______．
16．已知（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝1，则ab＝___________．
17．如图，按照程序图计算，当输入正整数时，输出的结果是，则输入的的值可能是__________．

18．将数1个1，2个，3个，…，n个(n为正整数)顺次排成一列：1、、、、、、…、、…，记…，，，…，，则S2019=______．
19．如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示－1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示－2的点重合…），则数轴上表示－2018的点与圆周上表示数字______的点重合．

20．将自然数按以下规律排列，则2017所在的位置是第_______行第_______列．

21．对于正数x，规定f（x）=，例如f（2）=，f()=，根据规定，计算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）+f()+f()+f()+…+f()=________．
22．先找规律，再填数：+-1=，+-=，+-=，+-=，+-________=
23．黑板上写有1，，，，…，共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取2个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+1，则经过_____次操作后，黑板上只剩下一个数，这个数是_____．

三、解答题
24．计算题
（1） （2）


（3） （4）


（4） （6）


25．阅读下列材料：计算：÷（–+）．
解：原式的倒数为
（–+）÷
=（–+）×12
=×12–×12+×12
=2．
故原式=．
请仿照上述方法计算：（–）÷（–+–）．



26．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|=6+7；|7﹣6|=7﹣6；|6﹣7|=7﹣6；|﹣6﹣7|=6+7．
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7+21|=______；②|﹣+0.8|=______；③=______；
（2）用合理的方法进行简便计算：
（3）用简单的方法计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|．





27．随着手机的普及，微信（一种聊天软件）的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）；
 星期
 一
 二
 三
 四
 五
 六
 日
与计划量的差值
+4
-3 
-5
+10
-8
+23
-6
(1)根据记录的数据可知前三天共卖出_____斤；
(2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤；
(3)若冬季每斤按7元出售，每斤冬枣的运费平均2元，那么小明本周一共收入多少元？




28．已知点A、B在数轴上分别表示数a，b．若A、B两点间的距离记为d，则d和a，b之间的数量关系是d=|a-b|.
(1)数轴上有理数x与有理数－2所对应两点之间的距离可以表示为______；
(2)|x+6|可以表示数轴上有理数x与有理数_______所对应的两点之间的距离；
若|x+6|= |x -2|，则x=______；
(3)若a=1，b=-2，将数轴折叠，使得A点与﹣7表示的点重合，则B点与数______表示的点P重合；
(4)若数轴上M、N两点之间的距离为11(M在N的左侧)，且M、N两点经过(3)中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：_____， N：_______；
(5)在题(3)的条件下，点A为定点，点B、P为动点，若移动点B、P中一点后，能否使相邻两点间距离相等？若能，请写出移动方案.





参考答案
1．C
解：根据题意，当两个数为正数时，和为正；当两数一个正数和0时，和为正；当两数一个为正一个为负，且正数的绝对值较大时，和为正.
故选C.
2．C
【分析】求出a、b的值，进行计算即可．
解：∵，，
∴，，
∵的绝对值与相反数相等，
∴＜0，
∴，，
或，
故选：C．
【点拨】本题考查了绝对值的意义和有理数的计算，解题关键是理解绝对值的意义，确定a、b的值．
3．B
【解析】
试题分析：根据倒数的意义，求出x=，然后代入后根据负整指数幂可求解得原式=.
故选B.
4．B
【分析】根据图示，可得c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，据此逐项判定即可．
解：∵c＜a＜0，b＞0，
∴abc＞0，
∴选项①错误；
∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，
∴b-c＞0，
∴-a（b-c）＞0，
∴选项②正确；
∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，
∴-a+b=-c，
∴a-c=b，
∴选项③正确；
∵，
选项④错误；
∴错误的有2个：①和④；
故选择：B.
【点拨】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
5．B
【解析】
==．故选B．
6．D
【解析】
【分析】结合数轴，根据数轴上数的特点比较大小.
解：＋0.03、＋0.41、＋0.25、＋0.10、 0、－0.13、－0.2表示水位在上升和下降，周五时达到最大值,所以正确答案选D.
【点拨】考察学生将数轴相关知识应用于实际的能力.
7．C
【分析】第一次剪去全长的，剩下全长的，
第二次剪去剩下的，剩下全长的＝，
第三次再剪去剩下的，剩下全长的×＝，
如此剪下去……….
便可找到答案了.
解：第一次剪去全长的，剩下全长的，
第二次剪去剩下的，剩下全长的＝，
第三次再剪去剩下的，剩下全长的×＝，
如此剪下去，第8次后剩下的绳子的长为×1＝＝（m）．
故选：C．
【点拨】本题考查归纳综合分析能力，属于常考题.
8．C
【分析】根据输出的结果确定出x的所有可能值即可.
解：若5x+1=531,解得x=106;
若5x+1=106,解得x=21;
若5x+1=21,解得x=4;
故x的值可能是4，21，106四种.故选C.
【点拨】此题考查了代数式求值，本题关键是弄清程序中的运算过程.
9．A
【解析】
试题分析：根据题意求出S1+S2+S3+…+S500的值，然后进行计算.
考点：新定义型题目.
10．C
【分析】根据所给的例子的分解方法中找出分解的规律,其中最小的数是,从而可判断出②④正确.
解：①在25的“分解”中最大的数是+1=17，所以这个叙述正确；
②在43的“分解”中最小的数是；所以这个正确；
③若53的“分解”中最小的数是21，所以这个叙述是错误的 ；
④若3n的“分解”中最小的数是-2=79 ,解得n=5，故这个是正确的.
综上所述，共有两个正确的结论.故选C
【点拨】本题考查了有理数的乘方运算和规律总结，仔细观察发现其中的规律是解题的关键.
11．＞ ＞ ＞ ＜
【解析】
根据数轴可知c＜b＜0＜a，因此根据有理数的加减法则可得a-b＞0，b-c＞0，-b-c=-（b+c）＞0，a-（-b）=a+b＜0.
故答案为：＞；＞；＞；＜.
12．3
【分析】先分别求出，，，，，的值，再归纳类推出规律，由此即可得．
解：，
，
，
，
，
，
由此可知，的个位数字都是0（其中，且为整数），
则的个位数字与的个位数字相同，
因为，其个位数字是3，
所以的个位数字是3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了有理数乘法的应用，正确发现运算的规律是解题关键．
13．±2
【分析】由绝对值的性质可求解对应的m，n值，再分别代入计算即可求解．
解：∵|m|=1，|n|=2，
∴m=±1，n=±2，
∵|m+n|=m+n，
∴m=1，n=2或m=-1，n=2，
∴当m=1，n=2时；
当m=-1，n=2时，．
故答案为2或-2．
【点拨】本题主要考查有理数的除法，绝对值的性质，确定m、n值时解题的关键．
14．90
【分析】根据题意可知=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-19|，由绝对值的意义以及数轴上两点间的距离可知|x-a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到19的距离时，式子取得最小值．据此进行求解即可得.
解：∵，
∴=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-19|，
由绝对值的意义以及数轴上两点间的距离可知|x-a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到19的距离时，式子取得最小值．
∴当x==10时，式子取得最小值，
此时，=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-19|
=|10-1|+|10-2|+|10-3|+…+|10-9|+|10-10|+|10-11|+…+|10-18|+|10-19|
=9+8+7+…+1+0+1+2+…+8+9
=2×(1+2+3+…+9)
=2×45
=90，
故答案为：90.
【点拨】本题考查了新定义题，最值问题，绝对值的性质，利用已知得出x=10时，|能够取到最小值是解题关键．
15．
【分析】先根据已知求出各个数，根据求出的数得出规律，即可得出答案．
解：∵a，
∴，
∴，
∴，
∴，
…，
∵2020÷3＝673……1，
∴
∴a1+a2+a3+…+a2020

故答案为：．
【点拨】本题考查了数轴和有理数的计算，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
16．2或4．
【解析】
解：根据平方数是非负数，绝对值是非负数的性质可得：|a+1|≥0，|b+5|≥0，∵（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，∴b+5≥0，∴（a＋1）2＋b+5＝b＋5，∴（a＋1）2=0，解得a=－1，b≥﹣5，∵|2a－b－1|＝1，∴|－2－b－1|＝1，∴|b+3|=1，∴b+3=±1，∴b=－4或b=﹣2，∴当a=－1，b=－2时，ab=2；
当a=－1，b=－4时，ab=4．
故答案为：2或4．
点睛：本题主要考查了绝对值是非负数，偶次方是非负数的性质，根据题意列出等式是解题的关键．
17．、、、．
【解析】
解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；
如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；
如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；
如果四次才输出结果：则x=(5-2)÷3=1；
则满足条件的整数值是：53、17、5、1．
故答案为：53、17、5、1．
点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．
18．(或)
【解析】
【分析】根据题意可得：2019个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，3个，进而可得出S2019＝，此题得解．
解：∵1+2+3+…+n＝， +3＝2019，
∴2019个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，3个，
∴S2019＝．
故答案是：(或)．
【点拨】考查了规律型中数字的变化类，根据数列中数的排列规律找出“前2018个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，3个”是解题的关键．
19．3
【分析】此题需要寻找规律：每4个数一组，分别与0、3、2、1重合，因此需要计算20184，看是第几组的第几个数.
解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环.
∵20184=504...2，
∴数轴上表示-2018的点是第505个循环组的第2个数3重合.
故答案为：3.
【点拨】本题考查了实数与数轴，解题的关键在于观察出图形中的规律，即每4个数为一个循环组依次循环.
20．9 45
【解析】
如下图、观察、分析数据排列规律可得：第一行的第一列、第三列、第五列的数分别是1、9、25，刚好是所在列数的平方，然后再依次向下每一行递减1直至与列数相同的行为止，再开始右转向左逐列递减1直至第1列； 由于在所有自然数的平方中，最接近2017的是45的平方2025，故从第45列第1个数向下排列即可找到2017所在的行数；
∵452=2025，
∴第45列第一行的数是2015，
∵2025向下依次递减1到2017时，刚好在第9行，
∴2017在第9行，第45列.

21．2014
【解析】
试题分析：根据题意确定出f（x）+f（）=1，原式结合后，相加即可得到结果．
考点：规律型：数字的变化类．
22．
【解析】
观察这些算式我们可以得到一个规律：每个算式第一个加数的分母依次是1，3，5，7，…，是首项为1，公差为2的等差数列，每个算式的减数的分母依次是1，2，3，4，…即是第几个算式，减数的分母就是几，先由第一个加数的分母是2011，求出是第几个算式，从而得出答案．
解：通过观察得：
每个算式第一个加数的分母依次是1，3，5，7，…，是首项为1，公差为2的等差数列，每个算式的减数的分母依次是1，2，3，4，…即是第几个算式，
设要求的是第n个算式，
则：1+（n-1）×2=2011，
解得：n=1006，
故答案为．
考查的是数字的变化类问题，解题的关键是通过观察找出规律，即每个算式第一个加数的分母依次是1，3，5，7，…，是首项为1，公差为2的等差数列，每个算式的减数的分母依次是1，2，3，4，…即是第几个算式，求解．
23．99
【分析】将所给数化为＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…，＝﹣，再根据题意可知，在操作的过程中，这100个数都要求和，操作99次后剩余一个数，则可得黑板最后剩下的是+99＝．
解：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…，＝﹣，
每次取两个数a，b，删去a，b，并在黑板上写上数a+b+1，
∵这100个数的和是1++++…+=1+1﹣﹣﹣﹣＝2﹣＝，
则黑板上的数求和后，每次再加1，
每次都是去掉2个数，添加一个数，故黑板最后剩一个数，则操作99次，
∴黑板最后剩下的是+99＝．
故答案为：99；．
【点拨】本题考查数字的变化规律以及有理数的加法等知识，理解题意并将所给式子进行拆项相加是解题的关键．
24．（1）4；（2）9；（3）16（4）4（5）22；（6）25
【解析】
试题分析：（1）根据有理数的加法法则计算即可；
（2）根据有理数的加减乘除运算法则计算即可；
（3）根据有理数的混合运算法则和运算律计算即可，解题时注意预算符号的变换
（4）先算括号里面和乘方运算，然后按照有理数的混合运算法则和运算律计算即可；
（5）先算括号里面和乘方运算，然后按照有理数的混合运算法则和运算律计算即可
（6）根据乘法分配律计算即可.
试题解析：（1）5
=（5+4）+（-5-）
=10-6
=4；
（2）
=17+4-12
=9；
（3）
=60×+60×-60×-60×
=45+50-44-35
=16．
（4）
=-9÷（-）
=9×
=4；
（5）
=×（-24）+×（-24）-2.75×（-24）-1-23
=-32-3+66-1-8
=22；
（6）
=25×+25×-25×
=25×（+-）
=25×1
=25.
25．–．
【分析】根据阅读材料介绍的方法，利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值．
解：（–+–）÷（–）
=（–+–）×（–42）
=（–42）×–（–42）×+（–42）×–（–42）×
=–7+9–28+12
=–14，
故原式=–．
【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
26．（1）①7+21；② ；③；（2）9；（3）．
【分析】（1）根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0即可得出结论；

（2）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简即可；
（3）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简即可．
解：（1）①|7+21|=21+7；
故答案为：21+7；
②；
故答案为：；
③=
故答案为：；
（2）原式=
=9
（3）原式 =
=
=
【点拨】此题考查了有理数的加减混合运算，此题的难点把互为相反的两个数相加，使运算简便．做题时，要注意多观察各项之间的关系．
27．(1)296 ;(2)31; (3)3575.
【分析】（1）根据前三天销售量相加计算即可；
（2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；
（3）将总数量乘以价格差解答即可．
解：（1）4-3-5+300=296（斤）．
答：根据记录的数据可知前三天共卖出296斤．
（2）23+8=31（斤）．
答：根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售31斤．
（3）∵+4-3-5+10-8+23-6=15＞0，
∴一周收入=（15+100×7）×（7-2）
=715×5
=3575（元）．
答：小明本周一共收入3575元．
故答案为296；31；3575元．
【点拨】此题考查利用正数和负数解决实际问题，此题的关键是读懂题意，列式计算．
28．（1）|x+2|；（2）表示的是x与(-6)之间的距离，x=-2；（3）P点表示的数为-4；（4），（5）B点向左移动此时P点向右移动或B点向右移动此时P点向左移动.
【分析】（1）根据题中的公式，代入即可；
（2）第一个空，|x+6|=|x- (-6)|,根据距离公式填写即可，第二个空两个数的绝对值相等，这两个数相等或这两个数互为相反数，据此列出两个方程求解即可；
（3）画出数轴，据图可得答案；
（4）根据题意M、N距离-3的距离都为，设距离-3的距离为的数为x，据此列出含绝对值的方程，解方程即可；
（5）设B点为x，表示出P点，分①BP=AP②BP=AB③AP=AB三种情况讨论即可.
解：（1）|x-(-2)|=|x+2|，故表示为|x+2|；
（2）∵|x+6|=|x-(-6)|,
∴表示的是x与(-6)之间的距离，
∵|x+6|= |x -2|
∴x+6=x-2或x+6=-(x-2)
解x+6=x-2无解，解x+6=-(x-2)得x=-2.
则x=-2.
（3）如下图，易得对称轴为经过-3且与数轴垂直的直线，所以P点表示的数为-4.

（4）根据题意M、N在-3的左右两边，且距离-3的距离为，设距-3的距离为的数为x，则|x+3|=,即x+3=,x=或x=，故M点为时N为.
（5）设B点移动后表示的数为x，P点表示的数为y，则有|x-3|=|y-3|, x-3=y-3或x-3=3-y，解x-3=y-3得x=y，即B、P两点重合舍去，解x-3=3-y得y= -x-6，所以P点表示的数位-x-6所以AB=|1-x|，AP=|1-(-x-6)|=|7+x|，BP=|x-(-x-6)|=|2x+6|.
根据移动后相邻两点间距离相等，可分三类情况
①BP=AP，即|2x+6|=|7+x|即2x+6=7+x或2x+6=-7-x，
解2x+6=7+x得x=1，即A、B两点重合不符合题意舍去，
解2x+6=-7-x得，所以B点向左移动即可，此时P点向右移动；
②BP=AB，即|2x+6|=|1-x|即2x+6=1-x，或2x+6=x-1，
解2x+6=1-x得x=,所以B点向右移动，此时P点向左移动，
解2x+6=x-1得x=-7,此时-x-6=1，A、P两点重合舍去；
③AP=AB，则|1-x|=|7+x|，即1-x=7+x或x-1=7+x
解1-x=7+x得x=3，此时B、P重合舍去，
解x-1=7+x无解舍去.
故B点向左移动此时P点向右移动或B点向右移动此时P点向左移动.
【点拨】本题考查数轴上两个点之间的距离，含绝对值的方程.本题（1）较简单，模仿题干即可；（2）能将含有绝对值的方程化为两个一元一次方程是解题关键；（3）可以分析，但画图能更加直观的得出；（4）需要分M在-3左侧和M在-3右侧讨论；（5）能分三种情况进行讨论是解题关键，需注意B点和P点只要一个移动了，另外一个也会移动.