2023河南省豫北名校高二年级上学期9月教学质量检测数学wrod版含答案

豫北名校高二年级9月教学质量检测

数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知向量，则的值为（    ）

A． B．21 C． D．4

2．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

3．已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（    ）

A． B． C． D．

4．与向量反向的单位向量的坐标为（    ）

A．  B．

C．  D．

5．已知直线，，若，则实数的值为（    ）

A．1 B． C． D．

6．圆与圆的位置关系是（    ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

7．已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．2

8．已知向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，直三棱柱底面是直角三角形，且，E，F，G分别为，，的中点，则EF与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

10．已知点，，点关于直线的对称点为点，在中，，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

11．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为（    ）

A． B． C． D．5

12．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则实数______．

14．已知，，，点，若平面ABC，则点的坐标为______．

15．若圆上恰有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为______．

16．如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是______；的最大值为______．（本题第一空2分，第二空3分）；

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知直线，，．

（1）若这三条直线交于一点，求实数的值；

（2）若三条直线能构成三角形，求满足的条件．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，．

（1）求证：；

（2）求PC与平面PBE所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

已知圆的方程为．

（1）求实数的取值范围；

（2）若圆与直线交于M，N两点，且，求的值．

20．（本小题满分12分）

在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，且满足（如图1），将沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，（如图2）．

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值．

21．（本小题满分12分）

已知直线．

（1）为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值；

（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程．

22．（本小题满分12分）

如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为A，B

（1）求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；

（2）求线段AB中点的轨迹方程；

豫北名校高二年级9月教学质量检测•数学

参考答案、提示及评分细则

1．B  ．

2．D  ∵，∴其倾斜角为．故选D．

3．C  已知圆的圆心为，则圆的圆心坐标是，故选C．

4．A  因为，所以与向量反向的单位向量为．

5．A  由．故选A．

6．B  由得圆心坐标为，半径，由得圆心坐标为，半径，∴，，，∴，即两圆相交．故选B．

7．A  因为圆的圆心为，且圆关于直线（，为大于0的常数）对称，所以直线过圆心，所以，又，，所以．（当且仅当，时，取“=”）．故选A．

8．D  由，得，当时，，∴的取值范围为．

9．A  设，则，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，，，设平面的法向量为，则取，则，，故为平面的一个法向量，设EF与平面所成角为，则，∴与平面所成角的正弦值为．故选A．

10．B  设的坐标为，则则的坐标为，

设，，．

．

11．A  ，

，故，故选A．

12．A  方程是恒过定点，斜率为的直线，曲线，即，是圆心为，半径在直线及右侧的半圆，半圆弧端点，，在同一坐标系内作出直线与半圆，如图，当直线与半圆相切时，由得相切时，，，，，．故选A．

13．  因为，而且斜率存在，所以，又，是关于的方程的两根，，解得．

14．  因为，，，，所以，，，

因为平面ABC，

所以

所以点的坐标为．

15．  如图所示．

设与直线平行且与直线之间的距离为2的直线方程为，

则，解得或，

圆心到直线的距离为，

圆心到直线的距离为，

由图可知，圆与直线相交，与直线相离，所以，即．

16．  12  ∵，

∴点在平面MGN上，分别取，，的中点E，F，O，则点的轨迹是正六边形OFNEMG，

因为正方体的棱长为4，

所以正六边形OFNEMG的边长为，

所以点的轨迹围成图形的面积是．

由投影分析，∴的最大值为12．

17．解：（1）由解得代入的方程，得．

（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形．

①联立解得代入，得；

②当与平行时，，

当与平行时，．

综上所述，当且且时，三条直线能构成三角形．（且写成或扣1分）．

18．（1）证明：∵平面，平面PAD，∴，

又∵是等腰直角三角形，是斜边AD的中点，∴，

又∵平面，平面，，

∴平面

∵平面ABCD，∴；

（2）解：如图，以为原点，EP，EA所在的直线为轴，轴，在平面ABCD内，

通过点作AD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，

不妨设，则，，，则，，

设平面PBE的法向量为，

取，则，

故为平面PBE的一个法向量，

设PC与平面PBE所成的角为，则，

∴与平面PBE所成角的正弦值为．

19．解：（1）方程可化为，

∵此方程表示圆，

∴，即；

（2）由（1）可得圆心，半径，

则圆心到直线的距离为

由于，则有，

∴，解得．

20．（1）证明：由题意，在图1中，，，又，

所以由余弦定理可得，

所以，所以，

所以在图2中，，

因为二面角为直二面角，即平面平面BEP，

又平面平面，平面，

所以平面．∵平面，∴；

（2）解：分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，，

设平面的法向量为，

则取，得

设平面的法向量为，

则取，得，

∴，，

所以二面角的正弦值为．

21．解：（1）已知直线，

整理得，

由

故直线过定点，

点到直线的距离最大，

可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，

即为最大值．

∵，∴的斜率为，

可得，解得；

（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，则可设直线的方程为，，

则，，

．

（当且仅当时，取“=”），

故面积的最小值为12，此时直线l的方程为3x+2y+12=0

22．解：（1），，，

显然线段AB为圆和圆的公共弦，

则直线AB的方程为，

即，所以，所以直线AB过定点

（2）∵直线AB过定点，AB的中点为直线AB与直线MP的交点，

设AB的中点为点，直线AB过的定点为点，

易知HF始终垂直于FM，所以点的轨迹为以HM为直径的圆，，，

∴点的轨迹方程为；

（3）设切线方程为，即，

故到直线的距离，即，

设PA，PB的斜率分别为，，则，，

把代入，得，

则，

故当时，取得最小值为．