2022届山东省临沂市高三下学期三模数学试题含解析

2022届山东省临沂市高三下学期三模数学试题

一、单选题

1．已知复数z满足，则（       ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】A

【分析】先由已知的式子求出复数，然后再求其模

【详解】由，得，

所以，

故选：A

2．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用交集和补集的定义可求得结果.

【详解】由已知可得，因此，.

故选：D.

3．向量，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接由向量夹角的坐标运算求解即可.

【详解】由题意得：，则与的夹角为.

故选：C.

4．在二项式的展开式中，二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（       ）

A．-32 B．-1 C．1 D．32

【答案】B

【分析】根据二项式系数的和是，可解得，令代入结果即为展开式中各项系数的和．

【详解】∵二项式系数的和是32，则，∴

令，则展开式中各项系数的和为

故选：B．

5．战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意作图，然后分别计算三棱锥和圆柱的体积，再相加即可.

【详解】由题意，铜镞的直观图如图所示，

三棱锥的体积，

因为圆柱的底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，

所以圆柱的底面圆的半径，所以圆柱的体积

所以此铜镞的体积为

故选：A.

6．已知，则a，b，c的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别化简即可明显比较出三者大小关系.

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

7．志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障，某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己名志愿者，计划依次安排到该站点参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（       ）

A．种 B．种

C．种 D．种

【答案】D

【分析】考虑乙和丙相邻，以及乙和丙相邻且甲排第一天的情况，结合捆绑法与间接法可求得结果.

【详解】若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为，

若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为，

由间接法可知，满足条件的排法种数为种.

故选：D.

8．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则不等式在上的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先得出的周期以及对称轴，再证明在上恒成立，通过对称性画出函数和在上的简图，由图象得出解集.

【详解】由题意可得，，即是周期为的函数，且图像关于对称.

令

时，，时，

函数在上单调递增

当时，，即

设，

即函数在上单调递减，则，即

故在上恒成立

结合对称性可画出函数和在上的简图，如下图所示

由图象可知，不等式在上的解集为

故选：A

二、多选题

9．2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．

以下关于我国2020年上半年经济数据的说法正确的是（       ）

A．第一产业的生产总值不超过第三产业中“房地产业”的生产总值

B．第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平

C．若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元

D．若“金融业”生产总值为45600亿元，则第二产业生产总值为185000亿元

【答案】AD

【分析】直接由图中数据依次计算判断4个选项即可.

【详解】对于A，第一产业的生产总值占，第三产业中“房地产业”的生产总值占，正确；

对于B，第一产业的生产总值占，第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值占，错误；

对于C，若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为亿元，错误；

对于D，若“金融业”生产总值为45600亿元，则第二产业生产总值为亿元，正确.

故选：AD.

10．下列命题正确的是（       ）

A．正实数x，y满足，则的最小值为4

B．“”是“”成立的充分条件

C．若随机变量，且，则

D．命题，则p的否定：

【答案】BC

【分析】对于A，可用基本不等式“1”的妙用求最值；对于B，根据充要条件的知识及不等式性质进行判断；对于C，根据二项分布期望及方差公式求解判断；对于D，根据命题的否定的知识进行判断.

【详解】对于A，，当且仅当时等号成立，故A错误；

对于B，“”能推出“”，故B正确；

对于C，，解得，故C正确；

对于D，p的否定：，故D错误.

故选：BC.

11．已知函数图象上两相邻最高点的距离为，把的图象沿x轴向左平移个单位得到函数的图象，则下列选项正确的是（       ）

A．在上是增函数

B．是的一个对称中心

C．是奇函数

D．在上的值域为

【答案】ACD

【分析】先根据题目条件确定函数的解析式，然后逐一判断每个选项即可.

【详解】因为函数图象上两相邻最高点的距离为，

所以，所以

把的图象沿x轴向左平移个单位得到函数的图象，

则，

当时，，显然在上是增函数，故A正确；

因为，所以不是的一个对称中心，故B错误；

因为，所以是奇函数，故C正确；

由选择项A，在上是增函数，

所以，所以在上的值域为，故D正确.

故选：ACD.

12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（       ）

A．椭圆的长轴长为

B．线段AB长度的取值范围是

C．面积的最小值是4

D．的周长为

【答案】ABD

【分析】由题意可得b、c，然后可得a，可判断A；由椭圆性质可判断B；取特值，结合OA长度的取值范围可判断C；由椭圆定义可判断D.

【详解】由题知，椭圆中的几何量，得，则，A正确；

，由椭圆性质可知，所以，B正确；

记，则

取，则，C错误；

由椭圆定义知，，所以的周长，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足，若点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是_________．

【答案】1

【分析】根据题意作图，再利用数量积的几何意义可解.

【详解】由题，作图如下

因为，所以为线段中点，

由边长为1的正六边形ABCDEF，知，

因为点P是正六边形ABCDEF内部一点（包含边界），

显然，当点与点重合时，在方向上的投影最大，且两者同向共线，

又因为，

所以

故答案为：1.

14．某足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫三个位置，且出场率分别为0.3，0.5，0.2，当甲球员在相应位置时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6．据此判断当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为_______；

【答案】0.66

【分析】分3中情况，根据相互独立事件概率乘法公式可得.

【详解】记甲球员出场前锋、中锋、后卫分别为事件；记甲球员出场前锋、中锋、后卫时输球分别为事件，

则当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率：

故答案为：0.66

15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，则其欧拉线方程为______．

【答案】

【分析】分别算出重心坐标和垂心坐标即可求得欧拉线方程.

【详解】设的重心为，垂心为

由重心坐标公式得，所以

由题，的边上的高线所在直线方程为，

直线，，所以的边上的高线所在直线方程为

所以

所以欧拉线的方程为，即.

故答案为：

四、双空题

16．如图，AB是圆锥底面圆O的直径，圆锥的母线，则此圆锥外接球的表面积为______；E是其母线PB的中点，若平面过点E，且平面，则平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，此时该抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为________．

【答案】         

【分析】空1：结合图形可得，圆锥外接球的球心为O，半径为2，代入球的表面积公式计算；，则过点，结合平面图形理解抛物线过点，代入计算．

【详解】如图1所示，连接，则，解得

即，此圆锥外接球的球心为O，半径为2，表面积为

连接，则可得，则过点

∴

在平面图形中，以焦点在轴正半轴为例，如图2，抛物线过点

即，则，

∴抛物线的焦点，则

故答案为：；．

五、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．

(1)求A；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用正弦定理化简即可得到角A；

（2）先用余弦定理计算c，再用面积公式计算面积.

【详解】(1)由正弦定理，

因为，所以，所以

因为，所以，所以.

(2)由余弦定理，或（舍）

所以.

18．已知数列的前n项和分别是，若

(1)求的通项公式；

(2)定义，记，求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由结合等比定义得出，由前项和与通项的关系得出；

（2）讨论，的大小，得出通项公式，进而得出，最后讨论，两种情况得出.

【详解】(1)由，可得

所以是以为首项，以为公比的等比数列

所以，即

又，所以

所以

满足上式，所以

(2)由

当时，；当时，

所以，所以

当时，

当时，

综上，

19．在正方体中，E为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点．

(1)点H在棱BC上，当时，平面，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由；

(2)若，求点D到平面AEF的最大距离．

【答案】(1)为中点，证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点，利用线面平行性质定理和面面平行性质定理推出，即可得到点的位置.

（2）建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，然后用公式求解点D到平面AEF的最大距离.

【详解】(1)设平面与平面的交线为，

因为平面，平面平面，平面

所以.

由正方体知，平面平面，

又因为平面平面，平面平面，

所以，所以

取中点，连接，易知，所以，

又因为为中点，所以为中点.

(2)以点为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有，其中

设平面的法向量为

则有，不妨取，

则

所以，当，即点与点重合时，取等.

所以点D到平面AEF的最大距离为.

20．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且．

(1)求的方程；

(2)若动直线与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得的值，进而可得出双曲线的方程；

（2）分两种情况讨论：直线轴、直线的斜率存在，在第一种情况下，直接与点的横坐标之积；在第二种情况下，设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，由可得出，求出点、的横坐标，结合可证得结论成立.

【详解】(1)解：易知点、、，，，

所以，，解得，，则，

所以，双曲线的方程为.

(2)解：分以下两种情况讨论：

①当直线轴时，直线的方程为，此时点、的横坐标之积为；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由题意可知直线不与双曲线的渐近线平行或重合，即，

设点、，

联立可得，

则，可得，则，

不妨点、分别为直线与直线、的交点，

联立可得，联立可得，

此时，.

综上所述，点与点的横坐标之积为定值.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

21．在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全，保稳定的前提下有序恢复生产，生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表：

在分析数据、描点绘图中，发现散点集中在一条直线附近，其中

(1)根据所给数据，求y关于x的回归方程；

(2)按照文旅部门的指标测定，当购买数量y与套票价格x的比在区间上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”，现有三位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的三款各自旅游．记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．

附：①可能用到的数据；．

②对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）设回归直线方程为，由最小二乘法得出变量关于的回归方程，再由得出y关于x的回归方程；

（2）由求出，得出乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”，再结合超几何分布求出随机变量X的分布列和期望．

【详解】(1)散点集中在一条直线附近，设回归直线方程为

由，则

变量关于的回归方程为

综上，y关于x的回归方程为

(2)由，解得，

乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”

则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，的可能取值为

的分布列为：

22．已知函数，其图象在处的切线过点．

(1)求a的值；

(2)讨论的单调性；

(3)若，关于x的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)1

(2)在上递增，在上递增；

(3)

【分析】（1）利用导数的几何意义求得函数在处的切线方程，再根据切线过点求解；

（2）由（1）得到，令，利用导数法求解；

（3）将在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，即在区间上恒成立，再根据在上递增，转化为在区间上恒成立求解.

【详解】(1)解：因为函数，

所以，，

则，

所以函在处的切线方程为，

又因为切线过点，

所以，

即，解得；

(2)由（1）知；，则，

令，则，

当时，，当时，，

 所以

即当时，，当时，，

所以在上递增，在上递增；

(3)因为x的不等式在区间上恒成立，

所以在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

因为在上递增，

所以在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

令，则，

当时，，当时，，

所以当时，取得最大值，

所以.

【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是根据，将变形为，即，然后利用在上递增得到而得解.