专题1.5.1 可化为一元一次方程的分式方程的解法【知识讲解】（含解析）-【 课堂】2022-2023学年八年级数学上册 知识讲练一本全（湘教版）

这是一份专题1.5.1 可化为一元一次方程的分式方程的解法【知识讲解】（含解析）-【 课堂】2022-2023学年八年级数学上册 知识讲练一本全（湘教版），共4页。学案主要包含了学习目标，知识梳理，典型例题，针对训练等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1．知道分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2．理解方程无解的原因，会对分式方程的解进行检验．
3．经历“分式方程——整式方程”的探究过程培养分析问题、解决问题的能力，体验数学的转化思想．
【知识梳理】
知识点一：分式方程的概念
归纳：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．
知识点二：分式方程的解法
归纳：解分式方程的关键是把含有未知数的分母去掉，这可以通过在方程的两边同乘以各个分式的最简公分母而达到．
知识点三：分式方程的增根
归纳：由于分式方程转化为一元一次方程过程中，要去掉分母就必须同乘一个整式，但整式可能为0，不能满足方程变换同解的原则，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．
【典型例题】
【类型一】分式方程的定义
例1.下列方程是分式方程的是( )
A.eq \f(2,x＋1)＝eq \f(3,x－1) B.eq \f(2,3)x－1＝eq \f(3,2)x＋2 C.eq \f(1,2)x2－x＝1 D.eq \f(2,x－3)
解析：根据分式方程的定义，分母含有未知数的方程是分式方程，B，C选项是整式方程，D选项是分式，只有A选项分母含有未知数，并且是方程，故选A.
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，如果分母中含有未知数就是分式方程，分母中不含未知数就不是分式方程．
【针对训练】下列关于x的方程是分式方程的是 （ ）
A.3+x2=1-x3B.x+15-a=2+xC.3+xπ+x2=1D.5-x2+x=1
【答案】D
【解析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【点评】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．
【类型二】分式方程的根
例2.已知x＝1是分式方程eq \f(1,x＋1)＝eq \f(3k,x)的根，求k的值．
解析：根据分式方程根的定义，把x＝1代入eq \f(1,x＋1)＝eq \f(3k,x)得到关于k的一元一次方程，解之即可．
解：将x＝1代入eq \f(1,x＋1)＝eq \f(3k,x)得，eq \f(1,1＋1)＝eq \f(3k,1)， 解得k＝eq \f(1,6).
方法总结：分式方程的解也叫作分式方程的根，已知方程的根求字母系数的值时，可把方程的根代入原方程，得到关于字母系数的方程，再解之即可．
【针对训练】已知x=9是分式方程2x+5=kx-2的解，那么k的值为________.
【答案】1
【解析】将x=9代入原方程即可求出k的值．
【点评】本题主要考查分式方程的解，要理解方程的解是使方程成立的未知数的值．
【类型三】分式方程的解法
例3.解关于x的方程：
(1)eq \f(5－x,x－4)＋eq \f(1,4－x)＝1； (2)eq \f(x,x＋3)＝1＋eq \f(2,x－1).
解析：(1)小题先把方程两边乘最简公分母(x－4)，(2)小题先把方程两边乘最简公分母(x＋3)(x－1)，把分式方程转化为整式方程求解，最后必须要检验．
解：(1)方程的两边同乘(x－4)，得5－x－1＝x－4，
解得x＝4.
检验：把x＝4代入x－4得x－4＝0.∴x＝4是原方程的增根，
∴原方程无解．
(2)方程的两边同乘(x＋3)(x－1)，得
x(x－1)＝(x＋3)(x－1)＋2(x＋3)，
整理得5x＋3＝0，解得x＝－eq \f(3,5).
检验：把x＝－eq \f(3,5)代入得(x＋3)(x－1)≠0.
∴原方程的解为：x＝－eq \f(3,5).
方法总结：解分式方程的一般步骤：①方程两边都乘最简公分母，化分式方程为整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为0，使最简公分母为0的根是原方程的增根，应舍去；④写出原方程的根．
【针对训练】解方程：(1)2x-2=3x； (2)x-2x-3x-2=1.
解：(1)去分母，得2x=3x-6，
解得x=6，
经检验：x=6是原分式方程的解.
(2)去分母，得(x-2)2-3x=x(x-2)，
整理，得-5x+4=0，
解得x=45，
经检验：x=45是原分式方程的解.
【类型四】利用增根求字母的值
例4.若关于x的分式方程eq \f(4x,x－5)＝eq \f(a,5－x)－1有增根，那么增根是________，这时 a＝________ .
解析：分式方程的增根是使最简公分母为0的数，即x－5＝0，所以增根是x＝5.把原方程去分母得：4x＝－a－(x－5)，所以a＝－5x＋5，又因为x＝5，因此a＝－20.
方法总结：分式方程的增根是使最简公分母为0的数．
【针对训练】已知关于x的分式方程4x+1+3x-1=kx2-1 ．若方程有增根，求k的值．
解：去分母得：4x-1+3x+1=k．
由这个方程有增根，得x=1或x=-1．
将x=1代入整式方程得：k=6；
将x=-1代入整式方程得：k=-8．
综上，k的值为6或-8．
【类型五】 利用分式方程无解求字母的值
例5.若关于x的分式方程eq \f(2,x－2)＋eq \f(mx,x2－4)＝eq \f(3,x＋2)无解，求m的值．
解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得：2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
即(m－1)x＝－10，
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1，
②方程有增根，则x＝2或x＝－2，
当x＝2时，(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
【针对训练】已知关于x的分式方程x-ax-1+3x-11-x=3a无解，求a的值.
解：将分式方程去分母，
整理得(2+3a)x=2a+1，
当2+3a=0时，方程无解，
此时a=-23，
当原方程有增根，
则x-1=0，即x=1，
把x=1代入方程(2+3a)x=2a+1，
得a=-1，
综上当a=-23或a=-1时，
分式方程无解．