2023届高考数学一轮复习作业空间点直线平面之间的位置关系新人教B版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业空间点直线平面之间的位置关系新人教B版（答案有详细解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC　[若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C．]2．(2021·湖南湘潭高三期末)下列说法正确的是(　　)A．三点确定一个平面B．如果一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任意一条直线C．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直D．平行于同一平面的两条直线互相平行C　[三点共线时，不能确定一个平面，A错；如果一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的任意一条直线可能平行也可以异面，B错；由线面垂直的判定定理知C正确；平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交也可以异面，D错．]3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)A　　　　B　　　　　C　　　　DD　[A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．]4．直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是(　　)A．相交   B．平行C．异面   D．以上都有可能D　[如图所示：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，将直线a、b、c分别视为棱AB、AD、AA1所在直线，则直线a与直线c相交；将直线a、b、c分别视为棱AB、AA1、A1B1所在直线，则直线a与直线c平行；将直线a、b、c分别视为棱AB、AA1、A1D1所在直线，则直线a与直线c异面．综上所述，直线a与直线c相交、平行或异面．]5．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为(　　)A．   B．C．   D．B　[不妨设正方体的棱长为1，取A1D1的中点G，连接AG，易知GA∥C1E，则∠FAG(或其补角)为异面直线AF与C1E所成的角．连接FG(图略)，在△AFG中，AG＝＝，AF＝＝，FG＝1，于是cos∠FAG＝＝，故选B．]6．(2021·河南焦作高三模拟)如图所示，点P在正方形ABCD所在的平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则异面直线PB与AC所成的角是(　　)A．90°   B．60°C．45°   D．30°B　[将其还原成正方体ABCD­PQRS，PB∥SC，如图，且SC＝AC＝SA＝a，则△ACS为正三角形，则AC与SC所成角为60°，即PB与AC所成角为60°．]二、填空题7．已知AE是长方体ABCD­EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有        条．4　[如图，作出长方体ABCD­EFGH．在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD．共4条．]8．(2021·湖南长沙高三期中)已知正三棱锥A­BCD中，BC＝AB，E是CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为        ．　[如图所示：取AC中点F，连接BF，EF，则EF∥AD，所以∠BEF(或补角)即为异面直线BE与AD所成角，因为BC＝AB，所以三棱锥侧棱两两垂直，所以EF⊥平面ABC，则EF⊥BF，设AB＝2，则BC＝4，EF＝，BE＝2，BF＝，∴cos ∠BEF＝＝＝．]9．在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有        ．(填序号)①　　　　　②　　　 　③　　　　④②④　[图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．]三、解答题10．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[解](1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GHAD．又BCAD，∴GHBC．∴四边形BCHG为平行四边形．(2)∵BEAF，G为FA的中点，∴BEFG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG．由(1)知BGCH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．11．如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．[解](1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°．1．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为(　　)A．    B．－    C．    D．－A　[如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，FO，OG，GE，GF，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∴∠FEG或其补角为异面直线AC与BD所成的角．设AB＝2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG＝60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A．]2．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B　[如图所示， 作EO⊥CD于O，连接ON，过M作MF⊥OD于F．连接BF，∵平面CDE⊥平面ABCD，EO⊥CD，EO⊂平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，∴△MFB与△EON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知EO＝，ON＝1，EN＝2，MF＝，BF＝，∴BM＝．∴BM≠EN．连接BD，BE，∵点N是正方形ABCD的中点，∴点N在BD上，且BN＝DN．又∵M为ED的中点，∴BM，EN为△DBE的中线，∴BM，EN必相交．故选B．]3．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n．(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD．试证明：EG＝FH．[解](1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD．又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD．所以EH∥FG．所以E，F，G，H四点共面．(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为＝＝，所以EH＝BD．同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n．故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH．