2023届河北省示范性高中高三上学期9月调研考试-数学（word版）

河北省示范性高中高三年级调研考试

数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合, 则集合

A.  B.  C.  D.

2. 若复数(为虚数单位, 且)为纯虚数, 则

A.  B.  C.  D.

3. “” 是“直线与直线互相垂直”的

A. 充分不必要条件        B. 充要条件

C. 必要不充分条件        D. 既不充分也不必要条件

4. 已知等差数列的前项和为, 若, 且, 则

A.1      B.2      C.3      D.4

5. 关于二项式,若展开式中含的项的系数为 21 , 则

A.3      B.2      C.1      D.-1

6. 已知某圆锥的母线长为 2 , 记其侧面积为, 体积为, 则当取得最大值时, 母线与底面所成角的正弦值为

A.      B.      C.      D.

7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆的右焦点为, 过作直线交椭圆于、两点,若弦中点坐标为, 则椭圆的面积为

A.     B.     C.     D.

8. 已知, 则下列结论不正确的是

A. 是奇函数       B. 在区间上单调递增

C. 有 3 个零点       D.

二、多项选择题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求, 全部选对得 5 分, 部分选对得 2 分, 有选错的得 0 分.

9. 已知第一象限内的点在直线上, 则

A.   B.    C.  D.

10. 下列说法正确的是

A. 若样本数据的方差为 4 , 则数据的标准差为 4

B. 已知随机变量, 且, 则

C. 若线性相关系数越接近 1 , 则两个变量的线性相关性越弱

D. 若事件满足, 则有

11. 已知函数, 其图象相邻对称中心间的距离为, 直线 是其中一条对称轴, 则下列结论正确的是

A. 函数的最小正周期为

B. 函数在区间上单调递增

C. 点是函数图象的一个对称中心

D. 将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的3倍, 纵坐标缩短为原来的一半, 再把得到的图象向右平移个单位长度, 可得到正弦函数的图象

12. 意大利著名数学家莱昂纳多 • 斐波那契( Leonardo Fibonacci) 在研究兔子繁殖问题时, 发现有这样一列数:,该数列的特点是: 前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它的前面两个数的和,人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”. 同时,随着趋于无穷大,其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割, 因此又称“黄金分割数列”, 其通项公式为, 它是用无理数表示有理数数列的一个范例. 记斐波那契数列为, 其前项和为, 则下列结论正确的有

A.          B.    

C.        D.

三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 其中16 题第一空 2 分, 第二空 3 分, 共 20 分.

13. 已知, 且, 则_____.

14. 已知抛物线的焦点为, 过的直线交抛物线为、两点, 点为准线与 轴的交点,则面积的最小值为_____

15. 如右图, 在四棱锥中, 底面为菱形,底面,若, 则三棱锥的外接球表面积为_____

16. 进人冬季某病毒肆虐, 已知感染此病毒的概率为, 且每人是否感染这种病毒相互独立.记 100 个人中恰有 5 人感染病毒的概率是, 则的最大值点的值为_____；为确保校园安全, 某校组织该校的 6000 名学生做病毒检测, 如果对每一名同学逐一检测, 就需要检测 6000 次,但实际上在检测时都是随机地按人一组分组, 然后将各组个人的检测样本混合再检测. 如果混合样本呈阴性, 说明这个人全部阴性, 如果混合样本呈阳性, 说明其中至少有一人检测呈阳性, 就需要对该组每个人再逐一检测一次. 当取时, 检测次数最少时的值为_____.

参考数据:

四、解答题: 本题共 6 小题, 第 17 题 10 分, 第 $18 \sim 22$ 题每题 12 分, 共 70 分. 解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 10 分) 已知数列的前项和为, 且.

(1) 证明: 为等比数列, 并求的通项公式;

(2) 求数列的前项和.

18. (本小题满分 12 分) 如图 1, 一副标准的三角板中, 将两三角板的边与重合, 拼成一个空间图形, 且三角板可绕边旋转. 设是的中点,是的中点.

(1) 如图 2, 若, 求证: 平面平面;

(2) 如图 3, 若, 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在中,为的中点, 且.

(1) 证明: ;

(2) 若, 求.

20. (本小题满分 12 分) 甲乙两人进行一场比赛, 在每一局比赛中, 都不会出现平局, 甲获胜的概 率均为.

（1）若比赛采用五局三胜制, 则求甲在第一局失利的情况下, 反败为胜的概率;

(2) 若比赛采用三局两胜制, 且, 则比赛结束时, 求甲获胜局数的期望;

(3) 结合 (1) (2), 比较甲在两种赛制中获胜的概率, 谈谈赛制对甲获得比赛胜利的影响.

21. (本小题满分 12 分) 已知圆, 直线(与轴不重合)过点交圆于、两点, 过点作直线的平行线交直线于点.

(1) 证明： 为定值, 并求点的轨迹方程;

(2) 设点的轨迹方程为, 直线与曲线交于、两点, 线段的垂直平分线交轴于点 , 是否存在实常数, 使得, 若存在, 求出的值; 若不存在, 请说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数.

(1) 若时, 恒有, 求的取值范围;

(2) 证明: 当时,.