第27章+相似-【人教版-中考真题】九年级数学下册期末复习培优练习（贵州）

第27章 相似-【人教版-中考真题】九年级数学下册期末复习培优练习（贵州）

一．选择题（共5小题）

1．（2022•贵阳）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ACB的周长比是（　　）

A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4

2．（2020•毕节市）已知＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．

3．（2020•铜仁市）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③ C．①② D．②③

4．（2020•铜仁市）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　）

A．3 B．2 C．4 D．5

5．（2020•遵义）如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18

二．填空题（共4小题）

6．（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点A（4，0），点C（2，0），则△OAB与△OCD周长的比值是 　   　．

7．（2021•黔西南州）如图，△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O为位似中心，若OA′＝A′A，则△A′B′C′与△ABC的面积比为 　   　．

8．（2021•黔东南州）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 　   　．

9．（2020•黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB＝2，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝　   　．

三．解答题（共2小题）

10．（2020•贵阳）如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE．

（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（2）连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．

11．（2020•黔西南州）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

第27章 相似-【人教版-中考真题】九年级数学下册期末复习培优练习（贵州）

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．（2022•贵阳）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ACB的周长比是（　　）

A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4

【解答】解：∵∠B＝∠ACD，∠CAD＝∠BAC，

∴△ACD∽△ABC，

∴＝＝，

故选：B．

2．（2020•毕节市）已知＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵＝，

∴设a＝2x，b＝5x，

∴＝＝．

故选：C．

3．（2020•铜仁市）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③ C．①② D．②③

【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，

∴∠HAD＝90°，

∵HF∥AD，

∴∠H＝90°，

∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，

∴∠AFH＝∠HAF．

∵AF＝，

∴AH＝HF＝1＝BE．

∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，

∴△EHF≌△CBE（SAS），

∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，

∵∠BCE+∠BEC＝90°，

∴HEF+∠BEC＝90°，

∴∠FEC＝90°，

∴△CEF是等腰直角三角形，

在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，

∴EC2＝BE2+BC2＝17，

∴S△ECF＝EF•EC＝EC2＝，故①正确；

过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，

∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，

∴四边形APFH是矩形，

∵AH＝HF，

∴矩形AHFP是正方形，

∴AP＝PF＝AH＝1，

同理：四边形ABQP是矩形，

∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP＝1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，

∵AD∥BC，

∴△FPG∽△FQC，

∴，

∴，

∴PG＝，

∴AG＝AP+PG＝，

在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG＝＝，

∴△AEG的周长为AG+EG+AE＝++3＝8，故②正确；

∵AD＝4，

∴DG＝AD﹣AG＝，

∴DG2+BE2＝+1＝，

∵EG2＝（）2＝≠，

∴EG2≠DG2+BE2，故③错误，

∴正确的有①②，

故选：C．

4．（2020•铜仁市）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　）

A．3 B．2 C．4 D．5

【解答】解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，

∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，

∵△FHB∽△EAD，

∴＝2，即＝2，

解得，EA＝3，

故选：A．

5．（2020•遵义）如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18

【解答】解：

∵NQ∥MP∥OB，

∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，

∵M、N是OA的三等分点，

∴＝，＝，

∴＝，

∵四边形MNQP的面积为3，

∴＝，

∴S△ANQ＝1，

∵＝（）2＝，

∴S△AOB＝9，

∴k＝2S△AOB＝18，

故选：D．

二．填空题（共4小题）

6．（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点A（4，0），点C（2，0），则△OAB与△OCD周长的比值是 　2　．

【解答】解：∵△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O，

而点A（4，0），点C（2，0），

∴相似比为4：2＝2：1，

∴△OAB与△OCD周长的比值为2．

故答案为：2．

7．（2021•黔西南州）如图，△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O为位似中心，若OA′＝A′A，则△A′B′C′与△ABC的面积比为 　1：4　．

【解答】解：∵OA′＝A′A，

∴＝，

∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，

∴△A′B′C′∽△ABC，

∴△A′B′C′与△ABC的面积比＝（）2＝，

故答案为：1：4．

8．（2021•黔东南州）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 　（4，2）或（﹣4，﹣2）　．

【解答】解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．

故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．

9．（2020•黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB＝2，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝　　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，

∵E为CD的中点，

∴DE＝CD＝AB，

∴△ABP∽△EDP，

∴＝，

∴＝，

∴＝，

∵PQ⊥BC，

∴PQ∥CD，

∴△BPQ∽△BDC，

∴＝＝，

∵CD＝2，

∴PQ＝，

故答案为：．

三．解答题（共2小题）

10．（2020•贵阳）如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE．

（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（2）连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．

【解答】（1）证明：∵∠四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵BE＝CF，

∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，

∴AD＝EF，

∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）解：连接DE，如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

在Rt△ABE中，AE＝＝2，

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠EAD，

∵∠B＝∠AED＝90°，

∴△ABE∽△DEA，

∴AE：AD＝BE：AE，

∴AD＝＝10，

∵AB＝4，

∴四边形AEFD的面积＝AB×AD＝4×10＝40．

11．（2020•黔西南州）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

【解答】解：（1）如图1中，连接OD、DB，

∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，

∴DE垂直平分OB，

∴DB＝DO，OE＝BE．

解法一：

∵在⊙O中，DO＝OB，

∴DB＝DO＝OB，

∴△ODB是等边三角形，

∴∠BDO＝∠DBO＝60°，

∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，

∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．

∵∠DBO＝60°，

∴∠CDB＝30°．

∴∠ODC＝∠BDO+∠BDC＝60°+30°＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

解法二：

∵BC＝OB，OB＝OD，

∴＝＝＝，

又∵∠DOE＝∠COD，

∴△EOD∽△DOC，

∴∠CDO＝∠DEO＝90°，

∴CD为圆O的切线；

（2）答：这个确定的值是．

连接OP，如图2中：

由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE．

∴＝＝，

又∵∠COP＝∠POE，

∴△OEP∽△OPC，

∴＝＝．