2022-2023九年级数学下册期末复习培优练习-第28章+锐角三角函数-解答题 中档题（辽宁中考）

这是一份2022-2023九年级数学下册期末复习培优练习-第28章+锐角三角函数-解答题 中档题（辽宁中考），共35页。
2022-2023九年级数学下册期末复习培优练习
第28章 锐角三角函数-解答题 中档题

1．（2022•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）

2．（2022•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7）




3．（2022•鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

4．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．

5．（2022•丹东）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）

6．（2022•大连）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．
（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 　 　米；
（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

7．（2022•大连）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证∠B＝∠E；
（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．



8．（2022•盘锦）某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α
α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β
β＝31°
测角仪到地面的距离
AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离
BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

9．（2022•营口）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6）




10．（2022•辽宁）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM＝30°（图中各点均在同一平面内）．
（1）求斜坡BC的长；
（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）

11．（2022•辽宁）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）

12．（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）

13．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

14．（2021•锦州）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

15．（2021•辽宁）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）

16．（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）

17．（2021•大连）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为57°，观测旗杆底部B的仰角为50°，求旗杆AB的高度（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192；sin57°≈0.839，cos57°≈0.545，tan57°≈1.540）

18．（2021•辽宁）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；
（2）求AB的长度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

19．（2020•锦州）如图，某海岸边有B，C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东30°方向的C码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东60°方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．（结果保留根号）

20．（2020•盘锦）如图，某数学活动小组要测量建筑物AB的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．
测量项目
测量数据
测角仪到地面的距离
CD＝1.6m
点D到建筑物的距离
BD＝4m
从C处观测建筑物顶部A的仰角
∠ACE＝67°
从C处观测建筑物底部B的俯角
∠BCE＝22°
请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36．sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（选择一种方法解答即可）

21．（2020•丹东）如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）

22．（2020•辽宁）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）


【参考答案】
1．（2022•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）

【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，

∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，
∴（m）．
∴（m）．
答：C，D两点的高度差为9m．
（2）过点D作DF⊥AB于F，
由题意可得BF＝DE，DF＝BE，
设AF＝xm，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，
解得DF＝x，
在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，
tan60°＝＝，
解得，
∴AB＝++9≈24（m）．
答：居民楼的高度AB约为24m．
2．（2022•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7）

【解答】解：延长DF交AB于点G，

由题意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
设AG＝xm，
在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，
∴FG＝＝x（m），
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝4+4，
经检验：x＝4+4是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．
3．（2022•鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【解答】解：设AC与GE相交于点H，

由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
设CH＝x米，
∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH•tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°＝＝≈0.75，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），
∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
4．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠CBE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵OC⊥DC，CD⊥DB，
∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，
∴四边形CDEJ是矩形，
∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，
∴OC⊥AE，
∴AJ＝EJ，
∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，
∴DE＝3，CD＝3，
∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，
在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，
∴r＝，
∴⊙O的半径为．

5．（2022•丹东）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）

【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，

由题意得：
EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，
∴∠GAD＝∠ADC＝53°，
在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，
∴AF＝AB•sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），
∴AE＝AF+EF＝64（海里），
在Rt△ADE中，AD＝≈＝80（海里），
∴货船与A港口之间的距离约为80海里．

6．（2022•大连）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．
（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 　300　米；
（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

【解答】解：（1）由题意得：
5分钟＝300秒，
∴1×300＝300（米），
∴索道车从A处运行到B处的距离约为300米，
故答案为：300；
（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝150（米），
AD＝BD＝150（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD•tan37°≈150×0.75≈194.6（米），
∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣150≈45（米），
∴白塔BC的高度约为45米．
7．（2022•大连）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证∠B＝∠E；
（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．

【解答】
（1） 证明：∵AE与⊙O相切于点
（2） A
∴AB⊥AE，
∴∠A＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠BDO＝∠A＝90°，
∵∠BOD＝∠AOE，
∴∠B＝∠E．
（2）如图2，连接AC，
∵OA＝2，OE＝3，
∴根据勾股定理得AE＝，
∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠EOA，
∴△BOD∽△EOA，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝，
∴CD＝BD＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC＝，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得AD＝
＝
＝．
8．（2022•盘锦）某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α
α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β
β＝31°
测角仪到地面的距离
AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离
BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

【解答】解：如图：延长DA，交PE于点F，

则DF⊥PE，AD＝BC＝2m，AB＝CD＝EF＝1.6m，
设AF＝xm，
∴DF＝AF+AD＝（x+2）m，
在Rt△PFA中，∠PAF＝58°，
∴PF＝AF•tan58°≈1.6x（m），
在Rt△PDF中，∠PDF＝31°，
∴tan31°＝＝≈0.6，
∴x＝1.2，
经检验：x＝1.2是原方程的根，
∴PF＝1.6x＝1.92（m），
∴PE＝PF+EF＝1.92+1.6≈3.5（m），
∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．

9．（2022•营口）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6）

【解答】解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D，

则BE＝DN，DB＝NE，
∵斜坡AB的坡度i＝3：4，
∴＝，
∴设BE＝3a米，则AE＝4a米，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝5a（米），
∵AB＝75米，
∴5a＝75，
∴a＝15，
∴DN＝BE＝45米，AE＝60米，
设NA＝x米，
∴BD＝NE＝AN+AE＝（x+60）米，
在Rt△ANM中，∠NAM＝58°，
∴MN＝AN•tan58°≈1.6x（米），
∴DM＝MN﹣DN＝（1.6x﹣45）米，
在Rt△MDB中，∠MBD＝22°，
∴tan22°＝＝≈0.4，
解得：x＝57.5，
经检验：x＝57.5是原方程的根，
∴MN＝1.6x＝92（米），
∴大楼MN的高度约为92米．

10．（2022•辽宁）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM＝30°（图中各点均在同一平面内）．
（1）求斜坡BC的长；
（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）

【解答】解：（1）由题意得：
∠CAE＝15°，AB＝30米，
∵∠CBE是△ABC的一个外角，
∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，
∴∠ACB＝∠CAE＝15°，
∴AB＝BC＝30米，
∴斜坡BC的长为30米；
（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，
∴CE＝BC＝15（米），
BE＝CE＝15（米），
在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，
∴DE＝BE•tan53°≈15×＝20（米），
∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），
∴这棵大树CD的高度约为20米．
11．（2022•辽宁）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）

【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，

由题意得：
∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，
在Rt△ABD中，AB＝100海里，
∴AD＝AB•cos50°≈100×0.643＝64.3（海里），
BD＝AB•sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），
在Rt△BDC中，CD＝＝76.6（海里），
∴AC＝AD+CD＝64.3+76.6≈141（海里），
∴此时货轮与A港口的距离约为141海里．

12．（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）

【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，
∴BD＝CH＝AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴＝，
即＝，
解得：AH＝（8+4）m，
∴AB＝AH+BH＝（9+4）m，
即这棵古树的高AB为（9+4）m．

13．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【解答】解：过A作AC⊥MN于C，如图所示：
则CN＝AB，AC＝BN，
∵＝，
∴＝，
由题意得：EF＝6m，AB⊥BN，EF⊥BN，
∴AB∥EF，
∴△EFN∽△ABN，
∴＝＝，
∴AB＝3EF＝18（m），
∴CN＝18m，
在Rt△ACN中，tan∠CAN＝＝tan31°≈0.60＝，
∴AC≈CN＝×18＝30（m），
在Rt△ACM中，cos∠MAC＝＝cos37°≈0.80＝，
∴AM＝AC＝×30≈38（m），
即无人机飞行的距离AM约是38m．

14．（2021•锦州）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【解答】解：∵山坡BM的坡度i＝1：3，
∴i＝1：3＝tanM，
∵BC∥MN，
∴∠CBD＝∠M，
∴tan∠CBD＝＝tanM＝1：3，
∴BC＝3CD＝4.8（m），
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，
∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），
即树AB的高度约为5.7m．
15．（2021•辽宁）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）

【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，
∴CD＝AC＝300（m），
AD＝AC＝300（m），
∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，
∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，
∴CD＝BD＝300（m），
BC＝CD＝300（m），
答：景点B和C处之间的距离为300m；
（2）由题意得．
AC+BC＝（600+300）m，
AB＝AD+BD＝（300+300）m，
AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）
≈204.6
≈205（m），
答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m．

16．（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）

【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，
∵BC⊥AB，
∴四边形BCFE是矩形，
∴BE＝CF，EF＝BC＝150 m，
设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，
在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，
∴AD＝2DE＝2（x+150）m，
在Rt△DCF中，∠FCD＝22.6°，
∴CD＝≈＝xm，
∵AD＝CD+BC，
∴2（x+150）＝+150，
解得x＝250（m），
∴DF＝250 m，
∴DE＝250+150＝400 m，
∴AD＝2DE＝800 m，
∴CD＝800﹣150＝650 m，
由勾股定理得AE＝＝＝400 m，
BE＝CF＝＝＝600 m，
∴AB＝AE+BE＝400+600≈1293（m），
答：公园北门A与南门B之间的距离约为1293 m．

17．（2021•大连）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为57°，观测旗杆底部B的仰角为50°，求旗杆AB的高度（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192；sin57°≈0.839，cos57°≈0.545，tan57°≈1.540）

【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，
∴BC＝CD•tan∠BDC＝20×tan50°≈20×1.192＝23.84（m），
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，
∴AC＝CD•tan∠ADC＝20×tan57°≈20×1.540＝30.8（m），
∴AB＝AC﹣BC＝30.8﹣23.84≈7（m）．
答：旗杆AB的高度约为7m．
18．（2021•辽宁）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；
（2）求AB的长度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

【解答】解：（1）由题意，CD＝8×15＝120（m），
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，
∴AC＝CD•tan∠ADC＝CD•tan60°＝120×＝120（m），
答：无人机的高度AC是120米；

（2）过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，
∴BF＝AC＝120，AB＝CF，
在Rt△BEF中，tan∠BEF＝，
∴EF＝＝≈276.8（m），
∵CE＝8×（15+50）＝520（m），
∴AB＝CF＝CE﹣EF＝520﹣276.8≈243（米），
答：隧道AB的长度约为243米．

19．（2020•锦州）如图，某海岸边有B，C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东30°方向的C码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东60°方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．（结果保留根号）

【解答】解：过D作DF⊥BE于F，
∵∠ADE＝∠DEB﹣∠A＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝40（海里），
∴AC＝2BC＝80（海里），AB＝BC＝40（海里），
∵BE＝30（海里），
∴AE＝（40﹣30）（海里），
∴DE＝（40﹣30）（海里），
在Rt△DEF中，∵∠DEF＝60°，∠DFE＝90°，
∴∠EDF＝30°，
∴DF＝DE＝（60﹣15）（海里），
∵∠A＝30°，
∴AD＝2DF＝120﹣30（海里），
∴CD＝AC﹣AD＝80﹣120+30＝海里，
答：乙船与C码头之间的距离为海里．

20．（2020•盘锦）如图，某数学活动小组要测量建筑物AB的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．
测量项目
测量数据
测角仪到地面的距离
CD＝1.6m
点D到建筑物的距离
BD＝4m
从C处观测建筑物顶部A的仰角
∠ACE＝67°
从C处观测建筑物底部B的俯角
∠BCE＝22°
请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36．sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（选择一种方法解答即可）

【解答】解：选择CD＝1.6m，BD＝4m，∠ACE＝67°，
过C作CE⊥AB于E，则四边形BDCE是矩形，
∴BE＝CD＝1.6m，CE＝BD＝4m，
在Rt△ACE中，∵∠ACE＝67°，
∴tan∠ACE＝，
∴≈2.36，
∴AE≈9.4m，
∴AB＝AE+BE＝9.4+1.6＝11.0（m），
答：建筑物AB的高度约为11.0m．
21．（2020•丹东）如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）

【解答】解：设B处距离码头O有xkm，
在Rt△CAO中，∠CAO＝26.5°，
∵tan∠CAO＝，
∴CO＝AO•tan∠CAO＝（28×0.2+x）•tan26.5°≈2.8+0.5x（km），
在Rt△DBO中，∠DBO＝49°，
∵tan∠DBO＝，
∴DO＝BO•tan∠DBO＝x•tan49°≈1.15x（km），
∵DC＝DO﹣CO，
∴6.4＝1.15x﹣（2.8+0.5x），
∴x≈14.2（km）．
因此，B处距离码头O大约14.2km．

22．（2020•辽宁）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）

【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝80×＝40（海里），
∵∠CAB＝30°+45°＝75°，
∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AC＝AD＝×40＝40（海里）．
答：货船与港口A之间的距离是40海里．