2022-2023九年级数学下册期末复习培优练习-第27章+相似（辽宁中考）

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2022-2023九年级数学下册期末复习培优练习-第27章 相似（辽宁中考）
一．选择题（共3小题）
1．（2021•沈阳）如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA：OA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：
2．（2021•锦州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（　　）

A．2 B．4 C．3 D．4
3．（2020•营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共15小题）
4．（2022•阜新）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F，若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是 　 　．

5．（2022•锦州）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB＝6，则△AEF的面积为 　 　．

6．（2022•鞍山）如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，若AE：DE＝1：2，AB＝2.5，则CD的长为 　 　．

7．（2022•辽宁）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为 　 　．

8．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 　 　．

9．（2021•沈阳）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5．四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且CD＝1．P是线段DE上一点，且PD＝DE．过点P作直线l与BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则GH的长是 　 　．

10．（2021•鞍山）如图，△ABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴负半轴上，AB∥x轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若＝＝，S△ABC＝13，则k＝　 　．

11．（2021•辽宁）如图，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm．则下列四个结论：①△ACD∽△BCE；②AD⊥BE；③∠CBE+∠DAE＝45°；④在△CDE绕点C旋转过程中，△ABD面积的最大值为（2+2）cm2.其中正确的是 　 　.（填写所有正确结论的序号）

12．（2021•阜新）如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为 　 　．

13．（2021•营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝　 　．

14．（2021•营口）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则CF＝　 　．

15．（2020•盘锦）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B'的坐标是 　 　．

16．（2020•锦州）如图，在△ABC中，D是AB中点，DE∥BC，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为　 　．

17．（2020•大连）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，CE与BD相交于点F．设DE＝x，BF＝y，当0≤x≤8时，y关于x的函数解析式为　 　．

18．（2020•鞍山）如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，AF与CE相交于点G，BG与AC相交于点H．下列结论：①△ACF≌△CDE；②CG2＝GH•BG；③若DF＝2CF，则CE＝7GF；④S四边形ABCG＝BG2．其中正确的结论有　 　．（只填序号即可）

三．解答题（共8小题）
19．（2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．

20．（2022•营口）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
（1）求证：∠D＝∠EBC；
（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．

21．（2021•鞍山）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AB上一点，BD＝BC，过点A作AE⊥AB交CD的延长线于点E，CE交⊙O于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使∠FCA＝2∠E．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，AG＝，求⊙O的半径．

22．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，过点D作EF∥BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．

23．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．

24．（2020•朝阳）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，过点O作OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点F，连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E，连接CE，使∠DEC＝∠BDC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是3，DG•DB＝9，求CE的长．

25．（2020•朝阳）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．

26．（2020•丹东）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3），先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1．使它与△ABC位似，且相似比为2：1，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）画出△A2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．


2022-2023九年级数学下册期末复习培优练习-第27章 相似（辽宁中考）
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2021•沈阳）如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA：OA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，
∴△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，
∴△AOC∽△A1OC1，
∴＝＝，
∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，
故选：A．
2．（2021•锦州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（　　）

A．2 B．4 C．3 D．4
【解答】解：方法一、连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，

∵∠BDC＝45°，
∴∠CAO＝∠CDB＝45°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BC＝6，
∴AB＝BC＝12，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，
∴∠COA＝∠DGE＝90°，
∵∠DEG＝∠CEO，
∴△DGE∽△COE，
∴＝，
∵CE＝2DE，
设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，
∴AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，
∵∠ADB＝∠AGB＝90°，
∠DAG＝∠BAD，
∴△AGD∽△ADB，
∴DG2＝AG•BG，
∴9＝（6﹣3x）（6+3x），
∵x＞0，
∴x＝，
∴OE＝2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
CE＝，
方法二、∵∠CDB＝∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∵∠BCE＝∠DCB，
∴△BCE∽△DCB，
∴BC2＝CE×CD，
设DE＝x，则CE＝2x，
∴（6）2＝2x×3x，
∵x＞0，
∴x＝2，
∴CE＝4，
故选：D．

3．（2020•营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴＝＝，
∴的值为，
故选：A．
二．填空题（共15小题）
4．（2022•阜新）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F，若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是 　27　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∵∠EFD＝∠CFB，
∴△DEF∽△BCF，
∵AE＝2DE，AD＝BC，
∴DE：BC＝1：3，
∴S△DEF：S△BCF＝DE2：BC2，即3：S△BCF＝1：9，
∴S△BCF＝27．
故答案为：27．
5．（2022•锦州）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB＝6，则△AEF的面积为 　3　．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝AB＝6，AD∥BC，
∵E为AD的中点，
∴AE＝AB＝3，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∴S△AEF：S△ABF＝1：2，
∴S△AEF＝S△ABE＝××3×6＝3．
故答案为：3．
6．（2022•鞍山）如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，若AE：DE＝1：2，AB＝2.5，则CD的长为 　5　．

【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，∠A＝∠D，
∴△EAB∽△EDC，
∴AB：CD＝AE：DE＝1：2，
又∵AB＝2.5，
∴CD＝5．
故答案为：5．
7．（2022•辽宁）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为 　　．

【解答】解：以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E作EM⊥CD于M，过F作FN⊥DC，交DC延长线于N，如图：

设正方形ABCD的边长为2，则C（1，1），D（﹣1，1），
∵E为OE中点，
∴E（﹣，），
设直线CE解析式为y＝kx+b，把C（1，1），E（﹣，）代入得：
，
解得，
∴直线CE解析式为y＝x+，
在y＝x+中，令x＝﹣1得y＝，
∴G（﹣1，），
∴GE＝＝，
∵将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，
∵∠EMC＝∠CNF＝90°，
∴△EMC≌△CNF（AAS），
∴ME＝CN，CM＝NF，
∵E（﹣，），C（1，1），
∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，
∴F（，﹣），
∵H是EF中点，
∴H（，0），
∴OH＝，
∴＝＝．
故答案为：．
8．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 　3或2　．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
当∠APQ＝90°时，如图1，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，
∴△CAP∽△BAC，
∴，即，
∴AP＝3，
当∠AQP＝90°时，如图2，

∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DPEC是矩形，
∴CQ＝QP，
∵∠AQP＝90°，
∴AQ垂直平分CP，
∴AP＝AC＝2，
综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2，
故答案为：3或2．
9．（2021•沈阳）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5．四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且CD＝1．P是线段DE上一点，且PD＝DE．过点P作直线l与BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则GH的长是 　或　．

【解答】解：∵△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2+BC2＝25，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
①当点D位于C点左侧时，如图：
设直线l交BE于点M，

∵l∥BC，
∴，∠MGB＝∠ABC，
又∵四边形ABEF是正方形，且PD1＝D1E，
∴BE＝AB＝5，∠EBA＝90°，
即，
解得：BM＝，
∵∠MGB＝∠ABC，∠EBA＝∠ACB＝90°，
∴△GBM∽△BCA，
∴，
∴，
解得：GB＝，
∴AG＝AB﹣GB＝，
∵l∥BC，
∴△AGH∽△ABD1，
∴，
∵CD1＝1，
∴BD1＝BC﹣CD1＝3，
∴，
解得：GH＝；
②当点D位于C点右侧时，如图：

与①同理，此时BD2＝BC+CD2＝5，
∴，
解得：GH＝，
综上，GH的长为或，
故答案为：或．
10．（2021•鞍山）如图，△ABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴负半轴上，AB∥x轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若＝＝，S△ABC＝13，则k＝　18　．

【解答】解：如图，过点B作BF⊥x轴于点F．

∵AB∥x轴，
∴△DBE∽△OCE，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝＝＝，
设CO＝3a，DE＝3b，则AD＝2a，OE＝2b，
∴，OD＝5b，
∴BD＝，
∴AB＝AD+DB＝，
∵S△ABC＝＝＝13，
∴ab＝，
∵S矩形ODBF＝BD•OD＝＝＝18，
又∵反比例函数图象在第一象限，
∴k＝18，
故答案为18．
11．（2021•辽宁）如图，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm．则下列四个结论：①△ACD∽△BCE；②AD⊥BE；③∠CBE+∠DAE＝45°；④在△CDE绕点C旋转过程中，△ABD面积的最大值为（2+2）cm2.其中正确的是 　①②④　.（填写所有正确结论的序号）

【解答】解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm，
∴tan∠BAC＝＝，tan∠BAC＝＝，
∴BC＝2cm，CE＝cm，
∴＝＝2，
∴△ACD∽△BCE，故①正确；
∵△ACD∽△BCE，
∴∠EBC＝∠DAC，
如图，记BE与AD、AC分别交于F、G，

∵∠AGF＝∠BGC，
∴∠BCG＝∠BFA＝90°，
∴AD⊥BE，故②正确；
∵∠EBC＝∠DAC，
∴∠CBE+∠DAE＝∠DAC+∠DAE＝∠CAE不一定等于45°，故③错误；
如图，过点C作CH⊥AB于H，

∵∠ABC＝30°，
∴CH＝BC＝cm，
∴D到直线AB的最大距离为CH+CD＝（+1）cm，
∴△ABD面积的最大值为＝（2+2）cm2，故④正确．
故答案为：①②④．
12．（2021•阜新）如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为 　2：1　．

【解答】解：如图，

分别过点A、点E作AM⊥BD，EN⊥BD，垂足分别为点M、N，
则∠AMB＝∠END＝90°，
∵BM＝2，DN＝1，AM＝4，EN＝2，
∴，
∴△ABM∽△EDN，
∴∠ABM＝∠EDN，＝2，
∴AB∥ED，
∴∠BAC＝∠EDC，
又∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△CDE，
∴△ABC与△CDE的周长之比为2：1．
故答案为：2：1．
13．（2021•营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝　24　．

【解答】解：方法一：∵DE是△ABC的中位线，
∴D、E分别为AB、BC的中点，
如图过D作DM∥BC交AG于点M，
∵DM∥BC，
∴∠DMF＝∠EGF，
∵点F为DE的中点，
∴DF＝EF，
在△DMF和△EGF中，
，
∴△DMF≌△EGF（AAS），
∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，
∵点D为AB的中点，且DM∥BC，
∴AM＝MG，
∴FM＝AM，
∴S△ADM＝2S△DMF＝2，
∵DM为△ABG的中位线，
∴＝，
∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，
∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，
∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，
∵DE是△ABC的中位线，
∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，
方法二：连接AE，

∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∵F是DE的中点，
∴＝，
∴＝＝，
∵S△EFG＝1，
∴S△ACG＝16，
∵EF∥AC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴S△AEG＝S△ACG＝4，
∴S△ACE＝S△ACG﹣S△AEG＝12，
∴S△ABC＝2S△ACE＝24，
故答案为：24．

14．（2021•营口）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则CF＝　6　．

【解答】解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，
∵AE＝3，
∴DE＝＝＝5，
∴DE＝DC，
∵DH⊥EC，
∴∠CDH＝∠EDH，
∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，
∴∠CDH＝∠F，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，
∴∠BCE＝∠CDH，
∴∠BCE＝∠F，
∴EC∥AF，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝6，
故答案为：6．
15．（2020•盘锦）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B'的坐标是 　（2，4）或（﹣2，﹣4）　．

【解答】解：如图，

∵△OAB∽△OA′B′，相似比为3：2，B（3，6），
∴B′（2，4），根据对称性可知，△OA″B″在第三象限时，B″（﹣2，﹣4），
∴满足条件的点B′的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
故答案为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
16．（2020•锦州）如图，在△ABC中，D是AB中点，DE∥BC，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为　12　．

【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵D是AB的中点，
∴＝，
∴＝
∵△ADE的周长为6，
∴△ABC的周长为12，
故答案为：12．
17．（2020•大连）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，CE与BD相交于点F．设DE＝x，BF＝y，当0≤x≤8时，y关于x的函数解析式为　　．

【解答】解：在矩形 中，AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴，
∵BD＝＝10，BF＝y，DE＝x，
∴DF＝10﹣y，
∴，化简得：，
∴y关于x的函数解析式为：，
故答案为：．
18．（2020•鞍山）如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，AF与CE相交于点G，BG与AC相交于点H．下列结论：①△ACF≌△CDE；②CG2＝GH•BG；③若DF＝2CF，则CE＝7GF；④S四边形ABCG＝BG2．其中正确的结论有　①③④　．（只填序号即可）

【解答】解：∵ABCD为菱形，
∴AD＝CD，
∵AE＝DF，
∴DE＝CF，
∵∠ADC＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠D＝∠ACD＝60°，AC＝CD，
∴△ACF≌△CDE（SAS），故①正确；
过点F作FP∥AD，交CE于P点．
∵DF＝2CF，
∴FP：DE＝CF：CD＝1：3，
∵DE＝CF，AD＝CD，
∴AE＝2DE，
∴FP：AE＝1：6＝FG：AG，
∴AG＝6FG，
∴CE＝AF＝7GF，故③正确；
过点B作BM⊥AG于M，BN⊥GC于N，
∵∠AGE＝∠ACG+∠CAF＝∠ACG+∠GCF＝60°＝∠ABC，
即∠AGC+∠ABC＝180°，
∴点A、B、C、G四点共圆，
∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∠CGB＝∠CAB＝60°，
∴∠AGB＝∠CGB＝60°，
∴BM＝BN，又AB＝BC，
∴△ABM≌△CBN（HL），
∴S四边形ABCG＝S四边形BMGN，
∵∠BGM＝60°，
∴GM＝BG，BM＝BG，
∴S四边形BMGN＝2S△BMG＝2××＝BG2，故④正确；
∵∠CGB＝∠ACB＝60°，∠CBG＝∠HBC，
∴△BCH∽△BGC，
∴，
则BG•BH＝BC2，
则BG•（BG﹣GH）＝BC2，
则BG2﹣BG•GH＝BC2，
则GH•BG＝BG2﹣BC2，
当∠BCG＝90°时，BG2﹣BC2＝CG2，此时GH•BG＝CG2，
而题中∠BCG未必等于90°，故②不成立，
故正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．

三．解答题（共8小题）
19．（2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．

【解答】（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠DAF，
∴∠DAF+∠DAC＝90°，
∴OA⊥AF，
∵OA是半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：作DH⊥AC于点H，

∵⊙O的半径为5，
∴AC＝10，
∵∠AHD＝∠ADC，∠DAH＝∠CAD，
∴△ADH∽△ACD，
∴，
∴AD2＝AH•AC，
∴AH＝，
∵AD是△AEF的中线，∠EAF＝90°，
∴AD＝ED，
∴AE＝2AH＝．
20．（2022•营口）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
（1）求证：∠D＝∠EBC；
（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：∵AD与⊙O相切于点A，
∴∠DAO＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°，
∴∠ACB+∠EBC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠D＝∠EBC；
（2）解：∵CD＝2BC，
∴BD＝3BC，
∵∠DAB＝∠CEB＝90°，∠D＝∠EBC，
∴△DAB∽△BEC，
∴＝＝3，
∴AB＝3EC，
∵AB＝AC，AE＝3，
∴AE+EC＝AB，
∴3+EC＝3EC，
∴EC＝1.5，
∴AB＝3EC＝4.5，
∴⊙O的半径为2.25．
21．（2021•鞍山）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AB上一点，BD＝BC，过点A作AE⊥AB交CD的延长线于点E，CE交⊙O于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使∠FCA＝2∠E．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，AG＝，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）∵∠B＝∠AGC，∠ADG＝∠CDB，
∴△ADG∽△DCB，
∴，
∵BD＝BC，
∴GD＝GA，
∴∠ADG＝∠DAG，
又∵AE⊥AB，
∴∠EAD＝90°，
∴∠GAE+∠DAG＝∠E+∠ADG＝90°，
∴∠GAE＝∠E，
∴AG＝DG＝EG，∠AGD＝2∠E，
∵∠FCA＝2∠E，
∴∠FCA＝∠AGD＝∠B，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠CAB+∠B＝90°，
又∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAB，
∴∠FCA+∠ACO＝90°，
∴∠FCO＝90°，
即CF是⊙O的切线；
（2）∵CF是⊙O的切线，AE⊥AB，
∴AF＝CF，
∴∠FAC＝∠FCA＝2∠E，
∴AC＝AE＝6，
又∵AG＝DG＝EG＝，
在Rt△ADE中，AD＝，
设⊙O的半径为x，则AB＝2x，BD＝BC＝2x﹣2，
在Rt△ABC中，62+（2x﹣2）2＝（2x）2，
解得：x＝5，
∴⊙O的半径为5．
22．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，过点D作EF∥BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．

【解答】解：（1）证明：连接OD，如图，

∵点D是的中点，
∴，
∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
（2）设BC、AD交于点N，

∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，
∴，
∴DN＝，
∵点D是的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，
又∵∠BDN＝∠ADB，
∴△BDN∽△ADB，
∴，即：，
∴BD＝2，
∵∠ABC的平分线BM交AD于点M，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，
∴DM＝BD＝2．
23．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．

【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
∴∠F+∠DAF＝90°，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠ABF＝90°，
∴∠DAF＝∠ABF，
∵＝，
∴∠ABF＝∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE；
（2）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠C＝90°，
∵AB＝8，BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵∠C＝∠FAB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，
∴△BCE∽△BAF，
∴＝，即＝，
∴CE＝AF，
∵AF＝AE，
∴CE＝AE，
∵AE+CE＝AC＝2，
∴AE＝，
∴AF＝AE＝．

24．（2020•朝阳）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，过点O作OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点F，连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E，连接CE，使∠DEC＝∠BDC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是3，DG•DB＝9，求CE的长．

【解答】解：（1）证明：如图，连接OC，

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠CFE＝∠ACB＝90°，
∴∠DEC+∠FCE＝90°，
∵∠DEC＝∠BDC，∠BDC＝∠A，
∴∠DEC＝∠A，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A，
∴∠OCA＝∠DEC，
∵∠DEC+∠FCE＝90°，
∴∠OCA+∠FCE＝90°，即∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
又∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O切线．
（2）由（1）得∠CFE＝90°，
∴OF⊥AC，
∵OA＝OC，
∴∠COF＝∠AOF，
∴，
∴∠ACD＝∠DBC，
又∵∠BDC＝∠BDC，
∴△DCG∽△DBC，
∴，
∴DC2＝DG•DB＝9，
∴DC＝3，
∵OC＝OD＝3，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
在Rt△OCE中，
∴，
∴．
25．（2020•朝阳）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．

26．（2020•丹东）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3），先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1．使它与△ABC位似，且相似比为2：1，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）画出△A2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．

【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标为（﹣2，﹣4）；
（2）如图所示：

由勾股定理得OA＝＝，
点A到点A2所经过的路径长为＝．