【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）考点03：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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[考纲传真]
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
2.理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
[课程标准]
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性。
内容包括：必要条件、充分条件、充要条件，全称量词与存在
量词，全称量词命题与存在量词命题的否定。
（１）必要条件、充分条件、充要条件
①通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。
②通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。
③通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。
（２）全称量词与存在量词
通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。
（３）全称量词命题与存在量词命题的否定
①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。
②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。
[命题分析]
高考对常用逻辑用语考查的频率较低，且命题点分散，其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注，多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等内容命题.
[题型归类]
1．利用逻辑联结词来表示命题的关系
2．含有逻辑联结词的命题的真假判断
3．逻辑联结词与逻辑推理问题
4．根据命题的真假求解参数的取值范围
5．全称命题、特称命题的真假判断
6．全称命题、特称命题的否命题
7．全称命题、特称命题与充要条件综合问题
题型一：利用逻辑联结词来表示命题的关系
►例1在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(非p)∨(非q) B．p∨(非q)
C．(非p)∧(非q) D．p∨q
解析：选A 命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．
►例2在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p∨q表示 ( )
A．甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米
C．甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米
D．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米
解析：因为命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，
命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，
所以命题p∨q表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米”，故选D.
题型二：含有逻辑联结词的命题的真假判断
知识与方法
1．命题p∧q、p∨q、的真假判定
2.逻辑联结词与集合的关系
“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”．
判断“p∧q”、“p∨q”、“p”形式命题真假的步骤
(1)准确判断简单命题p、q的真假；
(2)根据真值表判断“p∧q”、“p∨q”、“p”命题的真假．
►例1 若p是真命题，q是假命题，则（ ）
（A）是真命题 （B）是假命题 （C）是真命题 （D）是真命题
解析：选D.为假，为真，为假，为真.
►例2给出下列两个命题，命题p1：y＝ln [(1－x)(1＋x)]为偶函数；命题p2：y＝lneq \f(1－x,1＋x)为奇函数，则下列命题是假命题的是( )
A．p1∧p2 B．p1∨(p2)
C．p1∨p2 D．p1∧(p2)
解析：由题意知，y＝ln[(1－x)(1＋x)]与y＝lneq \f(1－x,1＋x)的定义域均为(－1,1)，对于函数f(x)＝ln[(1－x)·(1＋x)]，f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，即y＝ln[(1－x)(1＋x)]为偶函数，命题p1为真命题；对于函数g(x)＝lneq \f(1－x,1＋x)，g(－x)＝lneq \f(1＋x,1－x)＝－g(x)，即y＝lneq \f(1－x,1＋x)是奇函数，命题p2是真命题，故p1∧(p2)为假命题．
►例3已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－eq \f(1,2)；命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨()
C．()∧() D．p∨q
解析：选D 抛物线y＝2x2，即x2＝eq \f(1,2)y的准线方程是y＝－eq \f(1,8)；当函数f(x＋1)为偶函数时，函数f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称(注：将函数f(x)的图象向左平移一个单位长度可得到函数f(x＋1)的图象)，因此命题p是假命题，q是真命题，p∧q、p∨()、()∧()都是假命题，p∨q是真命题．
►例4已知命题p：∃x0∈R，x0－2＞lg x0，命题q：∀x∈R，ex＞1，则( )
A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧(非q)是假命题 D．命题p∨(非q)是真命题
解析：选D 对于命题p：例如当x0＝10时，8＞1成立，故命题p是真命题；对于命题q：∀x∈R，ex＞1，当x＝0时命题不成立，故命题q是假命题，∴命题p∨(非q)是真命题．故选D.
题型三：逻辑联结词与逻辑推理问题
知识与方法
►例1 对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作出如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球得了第________名．
解析：由已知可得，甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可以知道丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．
题型四：根据命题的真假求解参数的取值范围
知识与方法
根据命题的真假性求参数的方法步骤
(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；
(2)判断命题p，q的真假性；
(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．
►例1 已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：由关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；
由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a＞0的解集为R，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,1－4a2＜0，))解得a＞eq \f(1,2).
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤0或a≥1，,a＞\f(1,2)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜a＜1，,a≤\f(1,2)，))即a∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)．
答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)
►例2已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数，命题q：∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，x＋eq \f(1,x)＞c.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数c的取值范围．
解析：解：若命题p为真，则0＜c＜1.
若命题q为真，则c＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))min，
又当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))时，2≤x＋eq \f(1,x)≤eq \f(5,2)，
则必须且只需2＞c，即c＜2.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，
所以p、q必有一真一假．
当p为真，q为假时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜c＜1，,c≥2，))无解；
当p为假，q为真时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c≥1，,c＜2，))所以1≤c＜2.
综上，c的取值范围为[1,2)．
►例3已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0.若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
解析：由“p且q”为真命题，得p，q都是真命题．
p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，
所以命题p：a≤1；
q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x0∈R使f(x0)＝0，
只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，
所以命题q：a≥1或a≤－2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤1，,a≥1或a≤－2，))得a＝1或a≤－2.
故实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．
►例4已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．
解析：由p得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ1＝m2－4＞0，,－m＜0，))则m＞2.
由q得：Δ2＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，
则1＜m＜3.
又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假．
①当p真q假时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＞2，,m≤1或m≥3，))解得m≥3；
②当p假q真时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤2，,1＜m＜3，))解得1＜m≤2.
∴m的取值范围为m≥3或1＜m≤2.
题型五：全称命题、特称命题的真假判断
知识与方法
2．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
全(特)称命题问题的常见类型及解题策略
(1)全(特)称命题的真假判断．①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每个元素x验证p(x)成立，但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．
②要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合M
中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
►例1下列命题中的假命题是( )
（A）, （B） ,
（C） , （D） ,
解析：选B.∵，∴x∈R，∴A是真命题.又∵，∴x∈R且x≠1，而1∈N*，∴B是假命题.又，∴0►例2．下列命题中的真命题是( )．
A．∃x∈R，使得sin x＋cs x＝eq \f(3,2)
B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x
D．∀x∈(0，π)，sin x>cs x
解析：因为sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))≤eq \r(2)►例3写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)q: x∈R，x不是5x-12=0的根;
(2)r:有些素数是奇数;
(3)s: x0∈R，|x0|＞0.
解析： (1)q: x0∈R，x0是5x-12=0的根，真命题.
(2)r:每一个素数都不是奇数，假命题.
(3)s:x∈R，|x|≤0，假命题.
►例4下列命题中的真命题是( )．
A．∃x∈R，使得sin x＋cs x＝eq \f(3,2)
B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x
D．∀x∈(0，π)，sin x>cs x
解析 因为sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))≤eq \r(2)题型六：全称命题、特称命题的否命题
知识与方法
2类否定——含有一个量词的命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题：全称命题p：∀x∈M，p(x)；：∃x0∈M， (x0)．
(2)特称命题的否定是全称命题：特称命题p：∃x0∈M，p(x0)；：∀x∈M，x)．
(2)全(特)称命题的否定．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．
►例1 命题“∃x0∈∁RQ，xeq \\al(3,0)∈Q”的否定是( )
A．∃x0∉∁RQ，xeq \\al(3,0)∈Q B．∃x0∈∁RQ，xeq \\al(3,0)∉Q
C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q
解析：特称命题的否定是全称命题．“∃x0∈∁RQ，xeq \\al(3,0)∈Q”的否定是“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．D
►例2．已知命题p：∃x0≥0,2x0＝3，则( )
A．非p：∀x＜0,2x≠3
B．非p：∀x≥0,2x≠3
C．非p：∃x0≥0,2x0≠3
D．非p：∃x0＜0,2x0≠3
解析：选B 因为命题p：∃x0≥0,2x0＝3为特称命题，所以非p：x≥0,2x≠3.
►例3已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则非p是( )
A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
解析： 题目中命题的意思是“对任意的x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0都成立”，要否定它，只要找到至少一组x1，x2，使得(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0即可，故命题“∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0”的否定是“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．
►例4命题“对任何，”的否定是________.
解析：“任何” 改为“存在”，“”改为“ ”，即“存在，”.
题型七：全称命题、特称命题与充要条件综合问题
►例1 若函数f(x)，g(x)的定义域和值域都是R，则f(x)＞g(x)(x∈R)成立的充要条件是( )
A．∃x0∈R，f(x0)＞g(x0)
B．有无穷多个x∈R，使得f(x)＞g(x)
C．∀x∈R，f(x)＞g(x)＋1
D．R中不存在x使得f(x)≤g(x)
解析：选D 由于要恒成立，也就是对定义域内所有的x都成立，所以对于选项A来说显然不成立；而对于B，由于在区间(0,1)内也有无穷个数，因此无穷性是说明不了任意性的，所以也不成立；对于C，由C的条件∀x∈R，f(x)＞g(x)＋1可以推导原结论f(x)＞g(x)恒成立是显然的，即充分性成立，但f(x)＞g(x)成立时不一定有f(x)＞g(x)＋1，比如f(x)＝x2＋0.5，g(x)＝x2，因此必要性不成立；对于D，必要性显然成立，由R中不存在x使f(x)≤g(x)，根据逆否命题与原命题的等价性，则有对于任意x∈R都有f(x)＞g(x)，即充分性也成立，所以选D.
►例2在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是( )
A．(非p)∨(非q)为真命题 B．p∨(非q)为真命题
C．(非p)∧(非q)为真命题 D．p∨q为真命题
解析：选A 命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题非p是“第一次射击没击中目标”，命题非q是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(非p)∨(非q)为真命题，故选A.
►例3已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 ( )
A．p∧q B．(非p)∧(非q)
C．(非p)∧q D．p∧(非q)
解析： 由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q是假命题．由复合命题真值表可知p∧(非q)是真命题，故选D.
p
q
p∧q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假[来et]
假
真