专题23 求数列前n项和常用方法-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）

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专题23：求数列前n项和常用方法
精讲温故知新

(1)公式法：
等差数列
①
例1：（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，，，则（       ）
A．-110 B．-115 C．110 D．115
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意和等差数列的通项公式求出公差，结合等差数列前n项求和公式计算即可.
【详解】
由题意知，，
得，解得，
所以.
故选：B
举一反三
（2022·河南·模拟预测（文））设等差数列的前n项和为，，.若对任意的正整数n，都有，则整数k＝（       ）
A．34 B．35 C．18 D．19
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件得到，，从而可知数列的前18项和最小，于是可得答案.
【详解】
因为，所以.
因为，
所以，所以，
故的前18项和最小，即.
故选：C

等比数列
②
例2：（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.
【详解】
由已知条件得
，解得，
∴；
故答案为：.

举一反三
（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）根据与的关系，结合已知等式，利用等比数列的定义进行证明即可；
（2）结合（1）的结论，利用放缩法、等比数列前项和公式进行运算证明即可.
(1)因为，所以，
所以，
因为，所以，，
故数列为等比数列，首项为，公比为2；
(2)由（1）可知，所以，
所以．

(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项：
①
②
③
④
⑤
例3：（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据以及可得该数列是等差数列，然后根据等差数列的、写出数列的通项公式即可.
（2）有题意可知，然后根据裂项求和即可求得.
(1)解：由题意得：由题意知，则
又，所以是公差为2的等差数列，则；
(2)由题知
则


举一反三
（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)先根据和an＝Sn－Sn－1(n≥2)，推出数列{an}的递推公式，再求an.
(2)根据的通项公式的结构形式，结合裂项求和法进行适当放缩，再求和，即可证得结果.
(1)当时，，即.
当时，①，
②，
由①-②，得，即.
所以，且，所以数列为常数列，
所以，即.
(2)证明：由（1）得，
所以，
所以.

(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n项和公式的推导方法) .
例4：（2022·全国·模拟预测（理））已知等比数列满足，，其前n项和为．数列满足．
(1)求．
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）列方程组求得等比数列的首项公比q，进而利用等比数列前n项和公式即可求得的值；
（2）先求得数列的通项公式，再利用错位相减法去求其前n项和即可.
(1)设等比数列首项为，公比为q，
则，解之得，
则，，，
则
(2)由，可得
则数列的前n项和

则
则

举一反三
（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知等比数列的公比，且.是的等差中项.数列满足，数列的前项和为.
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，整理结合等比数列通项公式列方程求解；（2）根据可得，利用累加法和错位相减法计算整理．
(1)
由题意可得，可得，即
解得，即
(2)
由（1）可得：
设数列的前项和为，即
当时，
当时，
∴，即
当时，则
令，则
两式相减得：
∴，则
∴
(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n项和公式的推导方法) .
例5：（2022·江西萍乡·二模（理））已知函数，等差数列满足，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】
.
依题意是等差数列，
令，
，
结合等差数列的性质，两式相加得.
故答案为：.

举一反三
（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数，则______．
【答案】4043
【解析】
【分析】
根据题意，化简得到，结合倒序相加法求和，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
可得
，
设，
则
两式相加，可得

，
所以.
故答案为：.

(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
例6：（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知数列{}满足，，则数列{}第2022项为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先通过条件得到，再利用累加法即可求解.
【详解】
解：由.得，
又，可得
所以，，，……，
，将上式相加得
，
故选：A.

举一反三
．（2022·湖北·模拟预测）已知数列，满足，，且，．
(1)若为等比数列，求值；
(2)在（1）的条件下，求数列的前n项和．
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，设，结合题意求解；（2）利用分组求和结合等比数列求和处理．
(1)
由题
∵为等比数列，设公比为q
则
∴，
∴，即，解得或
当时，，即
又，
∴成以3为首项，以为公比的等比数列
当时，即
又，
∴成以3为首项，以1为公比的等比数列
综上：或
(2)由（1）得，
∴
∴
（6） 分段求和法：如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和法求和．
例7：在数列中，，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
答案（1）；（2）.
【分析】
（1）根据递推关系式判断数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解.
（2）讨论或，利用等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】
（1），
，
∴数列是等差数列，设其公差为，
，
，
．
（2）设数列的前项和为，则由（1）可得，
，．
由（1）知，令，得．
∴当时，，
则

；
当时，，
则．

【点睛】
方法点睛：求数列的前项和，关键在于分清哪些项为非负的，哪些项为负的，最终应化为去掉绝对值符号后的数列进行求和．
如果数列为等差数列，为其前项和，，那么有：
（1）若，则存在，使得，从而有
（2）若，则存在，使得，从而有
举一反三
已知数列的前项和.
（1）求证：是等差数列；
（2）求数列的前项和.
答案（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）现根据已知条件求解出的通项公式，然后根据等差数列的定义证明为等差数列；
（2）先将的通项公式分段书写，然后对分类讨论，由此求解出的最终结果.
【详解】
（1）由题意得
①若，则，
②若，则，经检验满足上式.
故，
由可知，数列是首项为23，公差为的等差数列.
（2）易得：
①若，，
②若，，
综上.
【点睛】
思路点睛：已知为等差数列，求解的前项和的思路：
（1）先根据项的正负将的通项公式分段书写；
（2）根据分段的通项公式，分别考虑在对应的范围下的计算方法，由此求解出结果.


（7） 奇偶分析求和法
例8：（2022·广东·华南师大附中三模）已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（       ）
A．351 B．353 C．531 D．533
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意讨论的奇偶，当为奇数时，可得，按等差数列理解处理，当为偶数时，可得，按并项求和理解出来，则按奇偶分组求和分别理解处理．
【详解】
依题意，，
显然，当n为奇数时有，
即有，，…，，
令，故，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
故；
当n为偶数时有，
即，，…，，
于是，

，
故选：B．
举一反三
（2022·山东聊城·三模）设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前15项的和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用关系及等比数列的定义求的通项公式.
（2）由（1）有n为奇数时，n为偶数时，再应用分组求和、等比数列前n项和公式求前15项的和.
(1)
由得，
当n=1时，，解得.
当n≥2时，，从而，即，
因此数列是等比数列，其首项和公比都等于2，所以.
(2)
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
所以数列的前15项和为



.

（8） 其它求和法
例9：（2022·上海市七宝中学模拟预测）定义在上的函数满足，，已知，则数列的前项和______.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件可得，进而求得，以及周期，利用周期性求的前项和.
【详解】
由题设，两边平方得：，
化简得，
∵得：，
∴，，,则，，
综上，是周期为2的数列且，，
因此，数列的前项和.
故答案为：

举一反三
1．（2022·山西运城·模拟预测（文））斐波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….已知在斐波那契数列中，，，，若，则数列的前2020项和为___________（用含m的代数式表示）.
【答案】##
【解析】
【分析】
通过累加得到即可求得前2020项和.
【详解】
由，可知，……，，，
将以上各式相加得，
整理得，
则.
故答案为：.
2．（2021·广西柳州·一模（理））已知正顶等比数列{}中，，记数列{}的前n项和为Tn，则T20=__________．
【答案】40
【解析】
【分析】
先根据等比数列求出，然后利用求和公式代入计算即可.
【详解】
解：由题意得：由等比数列的公式得

又

故答案为：40
精练巩固提升
一、单选题
1．（2021·四川·二模（理））记为数列的前项和，若，，且，则的值为（       ）
A．5050 B．2600 C．2550 D．2450
【答案】B
【解析】
【分析】
讨论为奇数或偶数时，对应的数列通项，根据奇偶数项分组求和，即可求的值.
【详解】
当为奇数时，，数列是首项为1，公差为2的等差数列；
当为偶数时，，数列是首项为2，公差为0的等差数列，即常数列.
则.
故选：B.
2．（2022·广西柳州·三模（理））我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，．
第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an．
则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于（       ）
A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1)
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得，再利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】





故选：C．
3．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（文））已知数列为等差数列，且，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由，，列方程组求出首项和公差，从而可得通项公式，所以得，进而利用裂项相消法可得结果
【详解】
设数列的公差为，由题意得，，解得，，
∴，∴，
∴.
故选：C.
【点睛】
此题考查等差数列基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题
4．（2012·全国·高考真题（理））已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a5＝5，S5＝15，
∴⇒⇒an＝n.
∴＝＝，
S100＝＋＋…＋
＝1－＝.
5．（2012·福建·高考真题（文））数列的通项公式其前n项和为，则等于
A．1006 B．2012 C．503 D．0
【答案】A
【解析】
【详解】

故选：A.
6．（2022·江苏常州·模拟预测）己知数列满足，在之间插入n个1，构成数列：，则数列的前100项的和为（       ）
A．178 B．191 C．206 D．216
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用数列的通项公式和分组法的应用求出数列的和．
【详解】
解：数列满足，在，之间插入个1，构成数列，1，，1，1，，1，1，1，，，
所以共有个数，
当时，，
当时，，
由于，
所以．
故选：A．
7．（2022·四川·仁寿一中二模（理））数列{}中，，前和为，则为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用数列通项公式求和，然后可得答案.
【详解】
解：由题意得：



故选：C
8．（2012·四川·高考真题（理））设函数，是公差为的等差数列，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
∵数列{an}是公差为的等差数列，且
∴
∴ 即
得
∴
[点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外，隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.
二、多选题
9．（2022·河北沧州·二模）已知数列满足，记的前项和为，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由条件可得当为奇数时，；当为偶数时，，然后可逐一判断.
【详解】
因为，
所以当为奇数时，；当为偶数时，.
所以，选项错误；又因为，所以，选项B正确；


故C正确
，选项D正确.
故选：BCD
10．（2021·全国·模拟预测）已知正项数列的首项为2，前项和为，且，，数列的前项和为，若，则的值可以为（       ）
A．543 B．542
C．546 D．544
【答案】AB
【解析】
【分析】
由可得，然后求出，然后可得、，然后可解出答案.
【详解】
因为，所以，
即，故数列是首项为，公差为2的等差数列，
则，则，
所以，
则，
令，解得，即，
故选:AB
三、填空题
11．（2020·江苏盐城·模拟预测）若数列的前n项和为，，则的值为_______.
【答案】299
【解析】
【分析】
根据题意，利用通项公式求出，利用分组并项求和法求出，由此可求出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
，
∴，
故答案为：299．
【点睛】
本题主要考查数列的分组并项法的求和公式，考查计算能力，属于基础题．
12．（2019·黑龙江·哈尔滨市第六中学校三模（理））数列满足，则数列的前750项和________.
【答案】
【解析】
【分析】
计算数列{an}的前几项，结合数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．
【详解】
解：数列{an}满足a11，
an+1，
可得a2，   
a3，
     
……
a750，
可得数列{an}的前750项和S750＝1
＝1．
【点睛】
本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于基础题．
四、解答题
13．（2017·全国·高考真题（文））设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和．
【答案】(1) ；(2).
【解析】
（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.
（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.
【详解】
（1）数列满足
时,
∴
∴
当时,,上式也成立
∴
（2）
∴数列的前n项和


【点睛】
本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.
14．（2015·天津·高考真题（文））已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，.
(Ⅰ)求和的通项公式；
(Ⅱ)设，，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）设出数列的公比和数列的公差，由题意列出关于的方程组，求解方程组得到的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得，然后利用错位相减法注得数列的前项和．
试题解析：（Ⅰ）设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有 ,设的前n项和为 ,则


两式相减得
所以．
考点：等差数列与等比数列的综合．
【易错点睛】用错位相减法求和应注意的问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式．（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解．
15．（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】
（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设，       ⑧
则．        ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法

由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】
本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
16．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
(1)
因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
(2)
因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以