2022-2023学年陕西省西安市新城区爱知中学九年级（上）第一次学情测评数数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市新城区爱知中学九年级（上）第一次学情测评数数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，已知直线，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使，连接、、若，则(    )

A.
B.
C.
D.

7. 在平面直角坐标系中，将直线：平移后得到直线：，则下列平移方法正确的是(    )

A. 将向上平移个单位长度 B. 将向下平移个单位长度
C. 将向左平移个单位长度 D. 将向右平移个单位长度

8. 如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，点、在对角线上，若四边形是菱形．则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

9. 因式分解：______．
10. 已知一个多边形的内角和为，则它的边数为______ ．
11. 若关于的方程是一元二次方程，则______．
12. 如图，在平行四边形中，，，，的角平分线交于点，连接，则的长为______．

13. 如图，在菱形中，，点，分别在，边上，且，与交于点，若，，则四边形的面积为______．

三、解答题（本大题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 本小题分
    计算：．
15. 本小题分
    解不等式组，并把解集表示在数轴上．
16. 本小题分
    按要求解下列一元二次方程：
    “配方法”；
    “公式法”．
17. 本小题分
    解分式方程：．
18. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
    如图，在等腰中，，，请用尺规作图在上作一点，使得保留作图痕迹，不写作法．

20. 本小题分
    如图，，，点在上，且求证：．

21. 本小题分
    在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接、．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求的长．

22. 本小题分
    某校为了了解本校学生“一周内做家务劳动所用的时间”，简称“劳动时间”情况，在本校随机调查了名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：

根据上述信息，解答下列问题：
这名学生的“劳动时间”的中位数落在______组；
求这名学生的平均“劳动时间”；
若该校有名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于分钟的人数．

23. 本小题分
    公交是一种绿色的出行方式，今年某县全面开通环保电动公交车．公交车在每天发车前需先将蓄电池充满、然后立即开始不间断运行．为保障行车安全，当蓄电池剩余电量低于时，需停止运行．在充电和运行过程中，蓄电池的电量单位：与行驶时间单位：之间的关系如图所示．
    该电动公交车每小时充电量为______；
    当该电动公交车运行时，求与的函数关系式；不需要写出自变量的取值范围
    当蓄电池的电量为时，求该电动公交车运行了多长时间？

24. 本小题分
    如图，在中，，点是的中点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点，过点作于点．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求线段的长．

25. 本小题分
    如图，直线：与过点的直线交于点，且直线与轴交于点，与轴交于点．
    求直线的解析式；
    若点是直线上的点，过点作轴于点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点的坐标．

26. 本小题分
    如图，在正方形中，点是对角线上的一点，连接、．
    如图，若，则的度数为______；
    如图，在正方形中，对角线与相交于点，，若平分，求的面积；
    如图，过点作交于点，若，，求的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是：．
故选：．
直接利用相反数的定义分析得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，，
，
．
故选：．
由平行线的性质可得，再由对顶角相等得，，再由三角形的内角和即可求解．
本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

4.【答案】 

【解析】解：，因此选项A不符合题意；
，与不是同类项，因此不能合并，所以选项B不符合题意；
C.，因此选项C符合题意；
D.，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式进行解答即可．
本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式，将每个选项分别进行化简或计算是正确解答的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过一、二、三象限，
，，
一次函数的图象过一、三、四象限，
，，
、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据一次函数与的图象位置，可得，，，，然后逐一判断即可解答．
本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的位置与系数的关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，又，
四边形为平行四边形，
，
，是的中点，
，
，
故选：．
先证是的中位线，再证四边形为平行四边形，得出，最后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将直线：平移后，得到直线：，
，
解得：，
故将向左平移个单位长度．
故选：．
利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于点，连接，

四边形是菱形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得．
．
故选：．
连接交于点，连接，根据菱形的性质可得，证明≌，可得，再根据勾股定理可得的长，进而可得结论．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形和菱形的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
首先提公因式，再利用平方差进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

10.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数为，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
首先设这个多边形的边数为，由边形的内角和等于，即可得方程，解此方程即可求得答案．
此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．
 

11.【答案】 

【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得：，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．
本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能根据一元二次方程的定义得出和是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作于，

平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，，
故答案为：．
过点作于，利用平行四边形的性质和等边三角形的判定得是等边三角形，再利用含角的直角三角形的三边关系可得和的长，最后利用勾股定理可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
如图，过点分别作，，垂足分别为、，

是平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
连接，
在和中，
，
≌，
，，
，
．
．
故答案为：．
首先利用菱形的性质得出，又由得出是等边三角形，进一步证明≌，得出，证得四边形是圆内接四边形，过点再分别作，，证明≌，把四边形的面积转化为四边形的面积即可．
此题考查菱形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定与性质，圆内接四边形的判定与性质等知识点．
 

14.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

15.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
，
，
或，
，；
，
，


，
，
，． 

【解析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
方程两边同乘以，得
，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解为． 

【解析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
 

18.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则进行计算，再根据分式的加法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

19.【答案】解：如图所示，点即为所求． 

【解析】作的角平分线即可得到结论．
本题主要考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

20.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】利用证明≌，可得答案．
本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
解：在中，，
四边形是菱形，
，
，
在中，，
，
解得． 

【解析】由平行四边形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
在中，由勾股定理求得，由菱形的性质得到，在中，根据勾股定理构造方程，解方程即可求得．
本题考查了矩形的判定、菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，根据勾股定理构造方程．
 

22.【答案】 

【解析】解：把名学生的“劳动时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在组，故这名学生的“劳动时间”的中位数落在组，
故答案为：；
分钟，
答：这名学生的平均“劳动时间”为分钟；
人，
答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于分钟的有人．
利用中位数的定义解答即可；
根据平均数的定义解答即可；
用样本估计总体即可．
本题考查了中位数，频数率分布表．从频数率分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：由图象知，共充电，
每小时充电量为：，
故答案为：；
设公交车运行时关于的函数解析式为，图象经过点和，
将其代入得：，
解得：，
，
当时，，
，
公交车运行时关于的函数解析式为：；
当蓄电池的电量为时，
将代入解析式中得：，
解得：，
，
电动公交车运行了小时．
结合图象易知共充电，即可求出每小时充电量；
利用待定系数法即可求出函数解析式；
将代入解析式求出的值．
本题考查一次函数的实际应用，牢固掌握好一次函数的综合性质以及待定系数法求解析式是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，点是的中点，
，
平行四边形是菱形；
解：如图，设交于，
，，，
，
四边形是菱形，
，，，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
即，
解得：，
，
即线段的长为． 

【解析】证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由菱形的判定即可得出结论；
由菱形的性质得，，，，再由勾股定理得，则，然后由菱形的面积求出，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：直线：与直线交于点，
，
，
又过点和点，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；

直线：与轴交于点，与轴交于点．
，，
轴于点，
，
以、、为顶点的三角形与全等，分两种情况：

如图，当≌时，，
直线的解析式为，
当时，，
，
点的坐标为；
如图，当≌时，，
直线的解析式为，
当时，，
，
点的坐标为；
综上所述，满足条件的点的坐标为或． 

【解析】将点代入直线：可得，利用待定系数法即可得直线的解析式；
分两种情况：当≌时；当≌时，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数和全等三角形的性质是解本题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，
，
故答案为：；
四边形是正方形，
，，，
，
平分，
，
≌，
，，
，
，，
，
，
，
，
的面积；
如图，过点作于点，

由可知，≌，
，
，
，
，
，
在四边形中，，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
设，则，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，
．
根据正方形的性质证明≌，可得，进而可以解决问题；
根据正方形的性质和勾股定理可得，然后证明，可得，所以，进而可以解决问题；
过点作于点，证明是等边三角形，可得，设，则，，根据，和，可得，所以，解得，然后利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．
本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到≌．