第27章+相似-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（黑龙江）

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第27章 相似-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（黑龙江）
一．选择题（共6小题）
1．（2022•哈尔滨）如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（　　）

A． B．4 C． D．6
2．（2021•哈尔滨）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2021•大庆）如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE．连接EF交AB于点H．下列结论正确的是（　　）

A．∠EAF＝120° B．AE：EF＝1：
C．AF2＝EH•EF D．EB：AD＝EH：HF
4．（2020•大庆）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（　　）
A．10+或5+2 B．15 C．10+ D．15+3
5．（2020•牡丹江）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2020•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
二．填空题（共6小题）
7．（2021•大庆）已知，则＝　 　．
8．（2021•牡丹江）如图，矩形ABCD中，AD＝AB，点E在BC边上，且AE＝AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：
①AF＝DC，②OF：BF＝CE：CG，③S△BCG＝2S△DFG，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是 　 　．

9．（2021•大庆）已知，如图①，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得＝，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：
如图②，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是 　 　．

10．（2020•黑龙江）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标 　 　．

11．（2020•绥化）在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则其对应点A1的坐标是　 　．
12．（2020•黑龙江）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过B点作直线EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1．以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作直线E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B2020的坐标 　 　．

三．解答题（共4小题）
13．（2021•牡丹江）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，矩形CDEF的另三个顶点D，E，F均在Rt△ABC的边上，且邻边之比为1：2，画出符合题意的图形，并直接写出矩形周长的值．
14．（2021•黑龙江）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．

15．（2021•绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；
（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．

16．（2020•绥化）如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG＝∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．
（1）求证：直线BG与⊙O相切；
（2）若＝，求的值．


第27章 相似-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（黑龙江）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2022•哈尔滨）如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（　　）

A． B．4 C． D．6
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴BE＝1.5，
∴BD＝BE+DE＝4.5．
故选：C．
2．（2021•哈尔滨）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，
∴，
∴AE＝4．
故选：B．
3．（2021•大庆）如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE．连接EF交AB于点H．下列结论正确的是（　　）

A．∠EAF＝120° B．AE：EF＝1：
C．AF2＝EH•EF D．EB：AD＝EH：HF
【解答】解：∵△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠EAB＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，
故A不正确；
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AE，
∴AE：EF＝1：，
故B不正确；
若AF2＝EH•EF成立，
∵AE：EF＝1：，
∴EH＝AF，
∴EH＝EF，
即H是EF的中点，H不一定是EF的中点，
故C不正确；
∵AB∥CD，
∴EB：BC＝EH：HF，
∵BC＝AD，
∴EB：AD＝EH：HF，
故D正确；
故选：D．
4．（2020•大庆）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（　　）
A．10+或5+2 B．15 C．10+ D．15+3
【解答】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；
当三边分别为3，4，，和6，8，2，此时两三角形相似，不合题意舍去
当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：＝2，
故m+n＝5+2；
当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：＝，
故m+n＝10+；
故选：A．
5．（2020•牡丹江）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴，
∵DF＝6，
∴AF＝＝，
∴，
∴AE＝5，
∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3．
故选：B．
6．（2020•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【解答】解：∵EF∥BC，
∴，
∵EG∥AB，
∴，
∴，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
7．（2021•大庆）已知，则＝　　．
【解答】解：∵，
∴设x＝2k，则y＝3k，z＝4k，
∴＝．
故答案为：．
8．（2021•牡丹江）如图，矩形ABCD中，AD＝AB，点E在BC边上，且AE＝AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：
①AF＝DC，②OF：BF＝CE：CG，③S△BCG＝2S△DFG，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是 　①②③　．

【解答】解：①∵AE＝AD，AD＝AB，
∴AE＝AB，
即△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
即△AFD为等腰直角三角形，
∴AF＝DF，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠AED＝∠DEC，
又∵∠DFE＝∠DCE＝90°，DE＝DE，
∴△DFE≌△DCE（AAS），
∴DF＝DC，
即AF＝DC，
故①正确；
②由①知△AFD为等腰直角三角形，
如图1，作FH⊥AD于H，连接CF，
∴点H是AD的中点，
∴点F是BG的中点，
即BF＝FG＝FC，
∵∠AEB＝45°，
∴∠EFC＝∠ECF＝∠AEB＝22.5°，
∴∠FCG＝∠FGC＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵∠OFE＝∠AFB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠FCG＝∠FGC＝∠OFE＝∠OEF，
∴△GFC∽△FOE，
∴OF：FC＝EF：CG，
又∵FC＝BF，EF＝CE，
∴OF：BF＝CE：CG，
即②正确；
③令AB＝1，则AD＝AE＝BC＝，
∴CE＝，
∵∠GBC＝∠EDC，∠DCE＝∠BCG＝90°，
∴△BCG∽△DCE，
∴＝，
即＝，
∴CG＝2﹣，
∴DG＝1﹣（2﹣）＝﹣1，
∴CG＝DG，
由②知，点F是BG的中点，作FR⊥DC于R，
∴FR∥BC，
即FR是△GBC的中位线，
∴2FR＝BC，
∵S△DFG＝DG•FR，
∴S△BCG＝BC•CG＝×2FR×DG＝2×DG•FG，
∴S△BCG＝2S△DFG成立，
即③正确；
④根据角相等可以得出图形中相似三角形如下：△ABE∽△AFD，这是1对；△ABF∽△OEF∽△ADE，可组成3对；△BCG∽△DCE∽△DFE，又可组成3对；△BEF∽△BOE∽△DOG∽△FDG，还可组成6对，
综上，图形中相似三角形有13对，故④不正确．
故答案为：①②③．

9．（2021•大庆）已知，如图①，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得＝，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：
如图②，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是 　＜l＜　．

【解答】解：∵AD是△ABC的内角平分线，
＝，
∵BD＝2，CD＝3，
∴＝，
作∠BAC的外角平分线AE，与CB的延长线交于点E，
∴＝，
∴，
∴BE＝10，
∴DE＝12，
∵AD是∠BAC的角平分线，AE是∠BAC外角平分线
∴∠EAD＝90°，
∴点A在以DE为直径的圆上运动，
取BC的中点为F，
∴DF＜AF＜EF，
∴＜l＜，
故答案为：＜l＜．
解法2：∵AD是△ABC的内角平分线，
∴＝，
∵BD＝2，CD＝3，
∴＝，
可设AB＝2k，AC＝3k，
在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，
∴1＜k＜5，
E是BC边的中点，延长AE至A'，使得AE＝A'E，连结A'C，
∴A'C＝AB，
∴k＜2l＜5k，
∴＜l＜k，
∴＜l＜，
故答案为：＜l＜．


10．（2020•黑龙江）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标 　（2×32020﹣1，32020）　．

【解答】解：∵点B坐标为（1，1），
∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，
∵A1（2，3），
∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，
∴B1（5，3），
∴A2（8，9），
∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，
∴B2（17，9），
同理可得B3（53，27），
B4（161，81），
…
由上可知，Bn（2×3n﹣1，3n），
∴当n＝2020时，Bn（2×32020﹣1，32020）．
故答案为：（2×32020﹣1，32020）．
11．（2020•绥化）在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则其对应点A1的坐标是　（4，8）或（﹣4，﹣8）　．
【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，
而点A的坐标为（2，4），
∴点A对应点A1的坐标为（2×2，2×4）或（﹣2×2，﹣2×4），
即（4，8）或（﹣4，﹣8）．
故答案为（4，8）或（﹣4，﹣8）．
12．（2020•黑龙江）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过B点作直线EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1．以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作直线E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B2020的坐标 　（2×32020﹣1，32020）．　．

【解答】解：∵点B坐标为（1，1），
∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，
∵A1（2，3），
∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，
∴B1（5，3），
∴A2（8，9），
∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，
∴B2（17，9），
同理可得B3（53，27），
B4（161，81），
…
由上可知，，
∴当n＝2020时，．
故答案为：（2×32020﹣1，32020）．

三．解答题（共4小题）
13．（2021•牡丹江）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，矩形CDEF的另三个顶点D，E，F均在Rt△ABC的边上，且邻边之比为1：2，画出符合题意的图形，并直接写出矩形周长的值．
【解答】解：如图1，当CF＝2EF时，

∵∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，
∴AC＝＝＝15，
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥BC，EF＝CD，CF＝DE，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∴，
∴EF＝，
∴CF＝，
∴矩形CDEF的周长＝2（CF+EF）＝；
如图2，当EF＝2CF时，

∵∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，
∴AC＝＝＝15，
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥BC，EF＝CD，CF＝DE，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴＝，
∴EF＝，
∴CF＝
∴矩形CDEF的周长＝2（CF+EF）＝；
综上所述：矩形CDEF的周长的值为或．
14．（2021•黑龙江）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C为所作；

（3）CB＝＝，
所以点B所经过的路径长＝＝π．
15．（2021•绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；
（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．

【解答】解：（1）如图，△OA′B′或△OA″B″即为所求．

（2）如图，△OA1B1即为所求．OB＝＝2，
线段OB旋转过程中所形成扇形的周长＝2×2+＝4+π．
16．（2020•绥化）如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG＝∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．
（1）求证：直线BG与⊙O相切；
（2）若＝，求的值．

【解答】解：（1）连接OB，如图，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠D+∠BCD＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠D+∠OBC＝90°，
∵∠D＝∠BAC，∠BAC＝∠CBG，
∴∠CBG+∠OBC＝90°，
即∠OBG＝90°，
∴直线BG与⊙O相切；


（2）∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴∠COH＝∠COA，CH＝，
∵∠ABC＝∠AOC，
∴∠EBF＝∠COH，
∵EF⊥BC，OH⊥AC，
∴∠BEF＝∠OHC＝90°，
∴△BEF∽△COH，
∴，
∵＝，OC＝OD，
∴，
∵CH＝AC，
∴，