2022-2023年华师大版数学八年级上册13.4《尺规作图》课时练习（含答案）

2022-2023年华师大版数学八年级上册13.4

《尺规作图》课时练习

1.按要求画出图形，并回答问题：

(1)画直线l，在直线l上取A，B，C三点，使点C在线段AB上，在直线l外取一点P，画直线BP，射线PC，连结AP；

(2)在(1)中所画图中，共有几条直线，几条射线，几条线段？请把所有直线和线段用图中的字母表示出来.

2.如图，点P是∠AOB的边OB上的一点.

(1)过点P画OA的垂线，垂足为H；

(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C；

(3)线段PH的长度是点P到           直线OA的距离，           线段CP的长度是点C到直线OB的距离.因为直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是               .(用“＜”号连接)

3.如图，已知a和∠α，用尺规作一个三角形ABC，使AB=AC=2a，∠BAC=180°-∠α。

4.下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：直线l及直线l外一点P.

求作：直线PQ，使得PQ∥l.

作法：如图，

①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；

②在直线l上取一点C(不与点A重合)，作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；

③作直线PQ.

所以直线PQ就是所求作的直线.

根据小东设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明：∵AB＝________，CB＝________，

∴PQ∥l(________)(填推理的依据).

5.如图所示，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C，D分别是位于公路AB两侧的村庄.

(1)该汽车行驶到公路AB上的某一位置C′时距离村庄C最近，行驶到D′位置时，距离村庄D最近，请在公路AB上作出C′，D′的位置(保留作图痕迹)；

(2)当汽车从A出发向B行驶时，在哪一段路上距离村庄C越来越远，而离村庄D越来越近？(只叙述结论，不必说明理由)

6.读句画图：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图：

(1)过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；

(2)过点P作PR⊥CD，垂足为R；

(3)若∠DCB=120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由.         

7.根据下列要求画图.

(1)如图(1)所示，过点A画MN∥BC;

(2)如图(2)所示，过点P画PE∥OA，交OB于点E，过点P画PH∥OB，交OA于点H;

(3)如图(3)所示，过点C画CE∥DA，与AB交于点E，过点C画CF∥DB，与AB的延长线交­于点F.

8.如图：求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠AOB的两边的距离相等.

9.(1)如图1，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5.EF垂直且平分BC.点P在直线EF上，直接写出PA+PB的最小值，并在图中标出当PA+PB取最小值时点P的位置；

解：PA+PB的最小值为　   　.

(2)如图2.点M、N在∠BAC的内部，请在∠BAC的内部求作一点P，使得点P到∠BAC两边的距离相等，且使PM=PN.(尺规作图，保留作图痕迹，无需证明)

10.如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等.(不写作法，保留作图痕迹)

11.如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1、l2的距离也相等。请用尺规作图作出点P(不写作法，保留作图痕迹).

12.作图：求作一个三角形，使它的两边分别为a和2a，其夹角为∠α。(要求：用尺规作图，并写出已知，求作，保留作图痕迹，不写作法)

13.利用尺规，用三种不同的方法作一个是三角形与已知直角三角形ABC全等，并简要说明理由。

14.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：∠α，直线l及l上两点A，B．

求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．

15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角.

实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)

(1)作∠DAC的平分线AM；

(2)作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF

探究与猜想：若∠BAE=15°，则∠B=　   　.

参考答案

1.解：(1)如图所示；

(2)2条直线，12条射线，6条线段，

直线l，直线BP，

线段AC，BC，AB，AP，CP，BP.

2.解：(1)(2)所画图形如下所示；

(3)线段PH的长度是点P到直线OA的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离，

根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC.

故答案为：直线OA，线段CP的长度，PH＜PC＜OC.

3.解：如图所示：

作法：首先作射线，在射线上截取AB=2a，再作∠BAC=180°-∠α。

再截取AC=AB=2a，连接BC即可。

4.(1)解：直线PQ如图所示.

(2)AP　CQ　三角形中位线定理

5.解：(1)过点C作AB的垂线，垂足为C′，过点D作AB的垂线，垂足为D′.

(2)在C′D′上距离村庄C越来越远，而离村庄D越来越近.

6.解：(1)(2)如图所示.

(3)∠PQC=60°.

∵ PQ∥CD，

∴ ∠DCB+∠PQC=180°.

∵ ∠DCB=120°，

∴ ∠PQC=180°120°=60°.

7.解：如图所示：

8.解：如图，点P即为所求.

(1)作∠AOB 的平分线OC；

(2)连结MN，并作MN 的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，

则P点即为所求.

9.解：(1)点P的位置如图所示：

∵EF垂直平分BC，

∴B、C关于EF对称，

设AC交EF于D，

∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，即最小值为4.

故答案为4.

(2)如图，①作∠AOB的平分线OE，②作线段MN的垂直平分线GH，GH交OE于点P，则点P即为所求.

10.解：如图，点M即为所求，

11.解：如图所示：

12.解：已知：∠α和线段a

求作：△ABC，使∠BAC=∠α，AB=a，AC=2a。

作图如图所示。

13.解：如图所示：

(1)利用“SSS”作图；

(2)利用“SAS”作图；

(3)利用“ASA”作图。

14.解：如图，△ABC为所作．

15.解：如图所示，∠B=55°.

理由如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵AM平分∠DAC，

∴∠DAM=∠CAM，

而∠DAC=∠ABC+∠ACB，

∴∠CAM=∠ACB，

∴EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOF=∠COE，

在△AOF和△COE中

，

∴△AOF≌△COE，

∴OF=OE，

即AC和EF互相垂直平分，

∴四边形AECF的形状为菱形.

∴EA=EC，

∴∠EAC=∠ACB=∠B=.

故答案为：55°