5.2.1复数（题型战法）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第五章 平面向量与复数5.2.1 复数（题型战法）知识梳理一 复数的有关概念1.虚数单位:（1）它的平方等于，即；（2）的周期性：，，，（）.2. 概念形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。3.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：（）4.复数相等的充要条件：如果，那么.5.共轭复数：复数和（）互为共轭复数。二 复数四则运算；；。三 复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：复数复平面内的点2.复数的模. 题型战法题型战法一 复数的四则运算典例1．（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用复数的加法运算直接计算作答.【详解】.故选：A变式1-1．等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】直接由复数的减法运算求解即可.【详解】.故选：D.变式1-2．（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法可求.【详解】，故选：D.变式1-3．（       ）A．－1 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由复数的除法法则求解即可【详解】，故选：B变式1-4．已知复数z满足，其中为虚数单位，则（       ）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用复数除法即可求得复数z【详解】由，可得故选：B 题型战法二 虚数单位及其性质典例2．已知复数z满足（其中为虚数单位），则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用复数乘方化简可得结果.【详解】，由可得.故选：A.变式2-1．计算：（       ）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】【分析】直接由复数的除法及复数的乘方运算求解即可.【详解】因为，故.故选：A.变式2-2．复数等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法、乘方与除法法则化简可得结果.【详解】因为，所以，，故选：D.变式2-3．复数的值为（       ）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘方计算即可.【详解】因为，所以.故选：B变式2-4．已知i为虚数单位，复数，则（          ）A． B． C． D．0【答案】C【解析】【分析】先由复数的除法运算计算出，再按照乘方运算计算即可.【详解】，则，，，故.故选：C. 题型战法三 复数的实部与虚部典例3．已知复数，则的虚部为（       ）A．2 B．11 C． D．【答案】C【解析】【分析】利用复数乘法求出，即可确定其虚部.【详解】因为，所以的虚部.故选：C变式3-1．已知复数，则的实部是（       ）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】先求出复数z，即可得到的实部.【详解】由，可得复数的实部为.故选：B.变式3-2．复数，则z的虚部为（       ）．A．3 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则化简，再由虚部的定义求解即可.【详解】复数所以的虚部为，故选：B.变式3-3．已知，则z的虚部为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算及复数的概念即可求解.【详解】解：因为，故，所以z的虚部为.故选：A.变式3-4．设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得的值，利用复数的乘法化简可得结果.【详解】因为复数的虚部与复数的虚部相等，则，则，因此，.故选：D. 题型战法四 复数的分类典例4．设i为虚数单位，若复数是实数，则实数a的值为（       ）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】由复数乘法法则化复数为代数形式，再由复数的分类求解．【详解】，它是实数，则，．故选：C．变式4-1．若复数为纯虚数，则实数（       ）A． B． C．7 D．5【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，结合纯虚数的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解．【详解】解：，又复数为纯虚数，，解得．故选：A．变式4-2．已知复数与都是纯虚数，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设，再设求解即可【详解】设，，则，故，解得，故故选：C变式4-3．若复数是实数，则实数（　　）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】【分析】化简复数，结合复数的分类，列出方程，即可求解.【详解】由题意，复数，因为复数是实数，所以，解得.故选：A.变式4-4．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）为纯虚数，那么z的虚部为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算化简复数z，结合纯虚数即可求解结果．【详解】∵z为纯虚数，∴，∴∴z的虚部为故选：A 题型战法五 共轭复数典例5．设复数满足，为虚数单位，则共扼复数（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据虚数单位的性质结合复数的除法运算，可求出，即可求得.【详解】，.故选：D.变式5-1．已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的概念判断可得出合适的选项.【详解】，则，故的虚部为.故选：D.变式5-2．已知复数满足，则（       ）A．5 B． C． D．2【答案】A【解析】【分析】运用复数的运算及共轭复数的概念即可得到结果.【详解】由得，则，所以，故选:A.变式5-3．若复数z满足：，则的共轭复数的虚部为（       ）A．-2 B．i C．0 D．2【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的乘方、加减运算计算即可判断作答.【详解】因，则，所以所求共轭复数为，其虚部为0.故选：C变式5-4．设是虚数单位，若复数（），且z的共轭复数是实数，则a的值为（       ）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简复数，得出共轭复数，根据是实数，列方程，即可求出a的值.【详解】由题意，复数，则，因为复数是实数，所以，解得，即实数a的值为2.故选：D. 题型战法六 复数的相等典例6．已知复数，，，则（       ）A．3 B．1 C． D．【答案】C【解析】【分析】利用复数相等的充要条件，求出、，进而求出.【详解】，，，.故选：C.变式6-1．若（，i为虚数单位），则（       ）A．2 B．0 C． D．1【答案】B【解析】【分析】利用复数乘法及复数相等可得，即可得答案.【详解】由，即，所以.故选：B变式6-2．复数满足（是虚数单位），则复数的共轭复数（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设，代入中化简可求出的值，从而可求得答案【详解】设，因为，所以，所以，所以，解得，所以，所以，故选：B变式6-3．若复数z满足.则z等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设出复数，由共轭复数及复数的乘法化简得到，解方程即可求解.【详解】设，则，，则，解得，故.故选：A.变式6-4．若是关于x的方程的一个根，则（       ）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【解析】【分析】将代入方程，利用复数相等，列出满足的等量关系，即可求得结果.【详解】依题意，，所以所以则．故选：D 题型战法七 复数的坐标表示典例7．已知复数（是虚数单位），则所对应的点所在象限为（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】【分析】化简，由共轭复数的定义知，再由复数的几何意义知所对应的点为，在第一象限，即可得出答案.【详解】，则，所对应的点为，在第一象限.故选：A.变式7-1．复数在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算算出，然后可得答案.【详解】由题意得，所以z在复平面内对应的点位于第一象限．故选：A变式7-2．若，则在复平面内复数z对应的点在（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】【分析】先由已知求得复数z，即可确定复数对应的点所在象限.【详解】解：由可得，，则在复平面内复数对应的点为，位于第一象限故选：A.变式7-3．复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（       ）A． B． C． D．无解【答案】C【解析】【分析】根据复数对应的点在第三象限，让实部虚部均小于0，计算得解.【详解】解：化简可得：复数，因为其对应的点在第三象限内，所以，解得．故选：C.变式7-4．若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（       ）.A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据复数运算法则计算得 ，根据点所在象限列不等式组即可求解.【详解】解：由题得 ，在复平面内所对应的点在第四象限，所以 ，解得 .所以.故选：B 题型战法八 复数的模典例8．已知是虚数单位，，则=（       ）A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】【分析】由除法法则化简复数，然后由模的定义计算．【详解】，，故选：B．变式8-1．若复数满足，则的模为（       ）A．5 B．3 C． D．【答案】A【解析】【分析】根据复数乘法和减法的运算法则，结合复数模的计算公式进行求解即可.【详解】，所以，所以.故选：A.变式8-2．若复数z的共轭复数是，且，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据复数的四则运算法则以及共轭复数的概念计算即可.【详解】由题意，不妨假设 ，则 ，且 ， ， ， ；故选：C.变式8-3．复数z1，z2满足z1∈R，，则z1＝（       ）A．1 B．2 C．0或2 D．1或2【答案】C【解析】【分析】由题意可设z1＝a，结合复数求模的公式即可得出结果.【详解】解：因为z1∈R，可设z1＝a，且a∈R，由z2＝1+i，得z1﹣z2＝（a﹣1）﹣i，又因为|z1﹣z2|＝，所以（a﹣1）2+（﹣1）2＝2，解得a＝0或a＝2，所以z1＝0或2．故选：C．变式8-4．复数z满足，则的最大值为（       ）A．1 B． C．3 D．【答案】C【解析】【分析】由复数模的几何意义可得复数对应点在以为圆心，1为半径的圆上运动，数形结合可得的最大值.【详解】设， ，复数对应点在以为圆心，1为半径的圆上运动.由图可知当点位于点处时，点到原点的距离最大，最大值为3.故选：C.【点睛】两个复数差的模的几何意义是：两个复数在复平面上对应的点的距离.