5.1.1平面向量（题型战法）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第五章 平面向量与复数5.1.1 平面向量（题型战法）知识梳理一 向量的线性运算及性质1. 向量的加法：向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：2. 向量的减法： 可以表示为从的终点指向的终点的向量3.向量的数乘：实数与向量的积是一个向量，记作， 4.向量共线定理 ：点共线的充要条件是且.5.平面向量的基底：基底是一个平面内的两个不共线的非零向量6.平面向量的坐标运算及性质：若，则（1）；（2）；（3），；（4）；（5），；（6）；（7）。二 平面向量的数量积数量积： 。向量的夹角：=。3. 向量的投影：，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影。    题型战法题型战法一 平面向量的实际背景及基本概念典例1．下列说法正确的是（       ）A．向量与向量是相等向量B．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合【答案】D【解析】【分析】根据向量的基本概念辨析可知.【详解】解：对于A，向量与向量是相反向量，所以A错误；对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确.故选：D变式1-1．下列命题正确的是（       ）A．若，，则 B．长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量C．相等向量的起点必定相同 D．若，，则【答案】B【解析】【分析】根据平行向量的定义，当时，即可判断A；根据单位向量的定义即可判断B；根据相等向量的定义即可判断C；根据向量的定义即可判断D.【详解】解：当时，与不一定平行，A错误；长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量，B正确；相等向量的起点不一定相同，C错误；向量不能比较大小，D错误．故选：B.变式1-2．下列说法正确的是（       ）A．若，则B．零向量的长度是0C．长度相等的向量叫相等向量D．共线向量是在同一条直线上的向量【答案】B【解析】【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定，故未必成立，所以A错误；B：根据零向量的定义可判断B正确；C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.故选：B.变式1-3．下列命题中正确的有（       ）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．若和是都是单位向量，则C．若，则与的夹角为0°D．零向量与任何向量共线【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的概念依次判断即可得出.【详解】对A，两个向量相等，则它们的大小和方向相同，与位置无关，故A错误；对B，若和是都是单位向量，则，方向不一定相同，故B错误；对C，若，则与的夹角为或，故C错误；对D，根据共线向量的定义规定，零向量与任何向量共线，故D正确.故选：D.变式1-4．判断下列各命题的真假：①向量和平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（       ）A．2 B．3C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根据向量的基本概念，向量共线的定义，以及相等向量的概念，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，只有两个非零向量和平行，才可得向量与的方向相同或相反，所以错误；对于②中，根据相等向量的定义，可得两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，所以正确；对于③中，若两个向量的起点不同，即使终点相同，两个向量不是共线向量，所以错误；对于④中，向量可以用有向线段表示，但有向线段不是向量，所以错误.故选：B. 题型战法二 平面向量的线性运算典例2．如图所示，点E为的边AC中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用表示，即可得出答案.【详解】解：.故选：C.变式2-1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以，所以.故选：C.变式2-2．如图，中，，，点E是的三等分点，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.【详解】故选：B.变式2-3．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为，，则=（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】过点作的平行线交于，即可得到则，再根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：如图过点作的平行线交于，则是的中点，且，又，所以，即，又故选：B． 变式2-4．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且．记，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题，，，结合向量加法法则即可求得【详解】，故选：D 题型战法三 平面向量的坐标运算典例3．设，，，则等于（       ）A． B．0 C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出的坐标，然后根据向量数量积坐标运算公式求解即可【详解】因为，，所以，因为，所以，故选：C变式3-1．平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设，由求解即可.【详解】设，由平行四边形可得，即，解得，故.故选：D.变式3-2．已知向量，则（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D变式3-3．已知向量，，，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出向量的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，求解即可.【详解】由已知，因为，则，解得.故选：D.变式3-4．，，若，则(       )A． B． C．6 D．8【答案】D【解析】【分析】求出的坐标，根据可知，结合向量数量积的坐标表示即可求出x的值．【详解】，．故选：D． 题型战法四 平面向量的数量积（模长问题）典例4．已知与均为单位向量，且与的夹角为，则（       ）A．2 B． C． D．1【答案】D【解析】【分析】根据结合数量积的运算律即可得解.【详解】解：因为与均为单位向量，且与的夹角为，所以.故选：D.变式4-1．已知，，与的夹角为，那么（       ）A．4 B．3 C．2 D．【答案】D【解析】【分析】转化为平面向量的数量积进行求解即可.【详解】.故选：D.变式4-2．已知a，b满足，则（       ）A． B． C．4 D．【答案】B【解析】【分析】根据数量积的运算律计算可得；【详解】解：故选：B变式4-3．已知向量满足，则（       ）A．2 B． C．1 D．【答案】A【解析】【分析】将平方结合平面向量数量积的运算律即可得解.【详解】解：因为，所以，解得.故选：A.变式4-4．已知、满足：，，，则=（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据计算出，再根据即可得结果.【详解】，，，∴，所以.故选：C. 题型战法五 平面向量的数量积（夹角问题）典例5．已知，，，则与的夹角是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由向量的夹角公式直接求解即可.【详解】设与的夹角为，因为，，，所以，因为，所以，即与的夹角是.故选：B.变式5-1．若，，，则向量与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据向量夹角公式直接计算.【详解】由，，，得，所以，故选：C.变式5-2．已知，且，则向量夹角的余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据数量积的定义直接计算可得.【详解】设向量的夹角为，因为，所以．故选：B.变式5-3．如果向量满足，且，则和的夹角大小为（       ）A．30° B．45° C．75° D．135°【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直的运算求得，结合向量夹角公式求得和的夹角大小.【详解】设和的夹角为，由得，因为所以，所以，由于，所以.故选：D.变式5-4．已知，则向量与向量的夹角是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由向量的数量积及可求解.【详解】设与的夹角是，则由题意可得，再根据，解得，结合可得.故选：A. 题型战法六 平面向量的投影典例6．已知为单位向量，与的夹角为，则在方向上的投影为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接利用平面向量的数量积的几何意义求解即可【详解】因为为单位向量，与的夹角为，所以在方向上的投影为，故选：B变式6-1．若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（       ）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】【分析】利用在的方向上的投影即可求得在的方向上的投影向量的模长【详解】，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为故选：C变式6-2．已知，，且，则向量在向量上的投影等于（       ）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】【分析】根据平面向量数量积的几何意义计算可得；【详解】解：因为，，且，所以向量在向量上的投影等于；故选：A变式6-3．设向量，，则在上的投影的数量为（       ）A．1 B．2 C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】利用平面向量数量积的几何意义直接求解即可【详解】因为，，所以在上的投影的数量为，故选：B变式6-4．已知向量，点，，则向量在上的投影向量的模长为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出，从而利用投影向量的模长公式进行求解.【详解】，故在上的投影向量的模长为.故选：D 题型战法七 平面向量的共线定理的推论典例7．如图，在中，点是线段上一点，若，则实数的值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用向量共线设，，从而得到，得到方程组，求出.【详解】因为三点共线，所以设，即，整理得：，因为，所以，解得：故选：C变式7-1．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】本题主要利用向量的线性运算和即可求解.【详解】解：由题意得：设，则又由，不共线，解得：故选：D变式7-2．在边长为4的等边△ABC中，已知，点P在线段CD上，且，则（       ）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】将用和表示，再根据三点共线，求出的值，再根据即可得出答案.【详解】解：，因为三点共线，所以，所以，所以，则.故选：C.变式7-3．在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（       ）A．9 B．8 C．4 D．2【答案】A【解析】【分析】根据向量共线定理得推论得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），所以，故，当且仅当，即时等号成立，故选：A变式7-4．在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（       ）A． B． C．6 D．12【答案】D【解析】【分析】利用向量共线定理可得，再根据结合基本不等式即可得出答案．【详解】解：，，三点共线，，，当且仅当，时取等号，所以的最小值是12.故选：D．