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2021-2022学年湖北省武汉市江夏一中八年级（上）月考数学试卷（9月份）
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这是一份2021-2022学年湖北省武汉市江夏一中八年级（上）月考数学试卷（9月份），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市江夏一中八年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cm B．4cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm
2．（3分）从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
3．（3分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C三个角的比例如下，其中能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．2：3：4 B．1：2：3 C．4：3：5 D．1：2：2
4．（3分）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个直角三角形的面积相等
5．（3分）如图：若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
6．（3分）如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A＝50°，则∠BPC＝（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
7．（3分）如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（ ）km．
A．5 B．10 C．15 D．25
8．（3分）如图，用尺规作∠AOB的角平分线OC时，用到三角形全等的判定方法是（ ）
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③画射线OC．射线OC就是∠AOB的角平分线．
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
9．（3分）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF
10．（3分）如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，则下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF； ③CD＝DN；④△ACN≌△ABM，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．（3分）如图，共有 个三角形．
12．（3分）已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边为x，则x的取值范围是 ．
13．（3分）一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 边形．
14．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为 度．
15．（3分）等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为50°，则该三角形的顶角为 ．
16．（3分）如图，平面直角坐标系中，C（0，4），A（1，0），K为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点K在x轴上运动时，BK的最小值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）推理填空
已知：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：PA＝PB．
证明：在△ 与△ 中，
∠＝ ＝∠ （ ），
＝ （ ），
∠ ＝∠ （ ），
∴△ ≌△ （ ）．
∴PA＝ （ ）．
18．（8分）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：AC∥DF．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，△ABC的高AD与CE的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式）
20．（8分）（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，画出△ABC的中线AT；
（2）如图2，在△FGH中，画出边GH的高FM，边GF的高HN和边FH的高GP．
21．（8分）已知在△ABC中，AB＝AC，且线段BD为△ABC的中线，线段BD将△ABC的周长分成12和6两部分，求△ABC三边的长．
22．（10分）如图，△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC和∠ACB．
（1）若∠A＝60°，求∠BIC的度数；
（2）求证：∠BIC＝90°+∠A；
（3）若∠A＝60°，求证EI＝FI．
23．（10分）如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，BC分别交AD、DE于点G、F，AC与DE交于点H．
求证：（1）△ABC≌△ADE；（2）BC⊥DE．
24．（12分）平面直角坐标系中，已知：如图1，A（a，0），B（0，b），且a、b满足，点D在第二象限，且AD平分∠BAO．
（1）求∠BAO的度数；
（2）如图2，若AD交y轴于C，且∠BDA＝90°．求证：AC＝2BD；
（3）如图3，若，P为AB上一动点，且OP＝PE，∠OPE＝45°，求点E的坐标．
2021-2022学年湖北省武汉市江夏一中八年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cm B．4cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
【解答】解：A、4+3＞5，能组成三角形；
B、6+4＝10，不能组成三角形；
C、1+1＝2＜3，不能组成三角形；
D、3+4＝7＜9，不能组成三角形；
故选：A．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
2．（3分）从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【分析】根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，可分成（n﹣2）个三角形直接判断．
【解答】解：从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n﹣2），
∴从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是：7﹣2＝5（个，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的对角线，多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．
3．（3分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C三个角的比例如下，其中能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．2：3：4 B．1：2：3 C．4：3：5 D．1：2：2
【分析】根据三角形的内角和公式分别求得各角的度数，从而判断其形状．
【解答】解：A、设三个角分别为2x，3x，4x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：40°，60°，80°，所以不是直角三角形；
B、设三个角分别为x，2x，3x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：30°，60°，90°，所以是直角三角形；
C、设三个角分别为3x，4x，5x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：45°，60°，75°，所以不是直角三角形；
D、设三个角分别为x，2x，2x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：36°，72°，72°，所以不是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题通过设适当的参数，根据三角形内角和定理建立方程求出三个内角的度数后判断．
4．（3分）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个直角三角形的面积相等
【分析】根据全等三角形的判定方法对A、B、C、D选项逐个分析是否可求证两三角形全等，然后即可得出正确选项．
【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，
那么根据SAS即可判断两三角形全等，故选项A正确；
如果如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，
那么根据AAS可判断两三角形全等，故选项B正确；
如果如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，
那么根据HL可判断两三角形全等，故选项C正确；
如果两个直角三角形的面积相等，那么无法判定两个直角三角形全等，故D错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、直角三角形全等的判定，解题的关键是知道直角三角形也可用判定一般三角形的全等方法进行判定．
5．（3分）如图：若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
【分析】根据全等三角形性质求出AC，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABE≌△ACF，AB＝5，
∴AC＝AB＝5，
∵AE＝2，
∴EC＝AC﹣AE＝5﹣2＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
6．（3分）如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A＝50°，则∠BPC＝（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360°求得．
【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BPC＝∠DPE＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
【点评】主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是360度．注意∠BPC与∠DPE互为对顶角．
7．（3分）如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（ ）km．
A．5 B．10 C．15 D．25
【分析】根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，
解得：x＝15km．
所以，E应建在距A点15km处．
故选：C．
【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
8．（3分）如图，用尺规作∠AOB的角平分线OC时，用到三角形全等的判定方法是（ ）
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③画射线OC．射线OC就是∠AOB的角平分线．
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】利用基本作图得到OM＝ON，MC＝NC，加上OC为公共边，则根据全等三角形的判定方法可判断△OMC≌△ONC，从而得到∠MOC＝∠NOC．
【解答】解：由作法得OM＝ON，MC＝NC，
而OC为公共边，
所以根据“SSS”可判断△OMC≌△ONC，
所以∠MOC＝∠NOC，
即射线OC就是∠AOB的角平分线．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了全等三角形的判定．
9．（3分）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．
【解答】解：在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB （SSS），
∴∠ACB＝∠DBE．
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠ACB+∠DBE＝∠AFB，
∠ACB＝∠AFB，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．
10．（3分）如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，则下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF； ③CD＝DN；④△ACN≌△ABM，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，根据直角三角形全等的判定得到Rt△ABE≌Rt△ACF，则BE＝C，∠EAB＝∠FAC得到①②正确；易证Rt△AEM≌Rt△AFN，得到AM＝AN，
则MC＝BN，易证得△ACN≌△ABM，得到④正确；△DMC≌△DMB，则DC＝DB，得到③错误．
【解答】解：如图，
∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ACF，
∴BE＝CF，所以②正确；
∴∠EAB＝∠FAC，
∴∠1＝∠2，所以①正确；
∴Rt△AEM≌Rt△AFN，
∴AM＝AN，
而∠MAN公共，∠B＝∠C，
∴△ACN≌△ABM，所以④正确；
∵AC＝AB，AM＝AN，
∴MC＝BN，
而∠B＝∠C，
∴△DMC≌△DMB，
∴DC＝DB，所以③错误；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角对应相等，并且有一条边对应相等相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了直角三角形全等的判定．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．（3分）如图，共有 6 个三角形．
【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．
【解答】解：图中有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，共6个．
故答案为：6
【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏．
12．（3分）已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边为x，则x的取值范围是 4＜x＜10 ．
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．
【解答】解：∵三角形的两边长分别为3、7，
∴第三边x的取值范围是7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10．
故答案为：4＜x＜10．
【点评】本题考查了三角形三边关系，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
13．（3分）一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 十二 边形．
【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．
【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，
解得n＝12．
故多边形是十二边形．
【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
14．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为 60 度．
【分析】根据题意，已知∠A＝65°，∠B＝75°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．
【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40度，
∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，
∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣300°＝60度．
故填60．
【点评】本题通过折叠变换考查三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．
15．（3分）等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为50°，则该三角形的顶角为 40°或140° ．
【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠A＝90°﹣50°＝40°；
如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠BAC＝50°+90°＝140°，
综上所述，顶角等于40°或140°．
故答案为：40°或140°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
16．（3分）如图，平面直角坐标系中，C（0，4），A（1，0），K为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点K在x轴上运动时，BK的最小值为 1 ．
【分析】过点B作BH⊥x于H．△COA≌△AHB（AAS），推出OA＝BH＝1，再根据垂线段最短，即可解决问题．
【解答】解：过点B作BH⊥x于H．
∵C（0，4），A（1，0），
∴OC＝4，OA＝1，
∵∠AOC＝∠BAC＝∠AHB＝90°，
∴∠CAO+∠BAH＝90°，∠BAH+∠ABH＝90°，
∴∠CAO＝∠ABH，
在△COA和△AHB中，
，
∴△COA≌△AHB（AAS），
∴OA＝BH＝1，
根据垂线段最短可知，当BK与BH重合时，BK的值最小，最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）推理填空
已知：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：PA＝PB．
证明：在△ PAN 与△ PBM 中，
∠＝ P ＝∠ P （ 公共角 ），
PN ＝ PM （ 已知 ），
∠ N ＝∠ M （ 已知 ），
∴△ PAN ≌△ PBM （ ASA ）．
∴PA＝ PB （ 全等三角形对应边相等 ）．
【分析】证明PA＝PB即可，只要证明△PAN≌△PBM，由已知可证．
【解答】证明：在△PAN和△PBM中，
，
∴△PAN≌△PBM（ASA），
∴PA＝PB（全等三角形对应边相等）．
故答案为：PAN，PBM，P，P，公共角，PN，PM，已知，N，M，已知，PAN，PBM，ASA，PB，全等三角形对应边相等．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形判定方法，属于基础题，中考常考题型．
18．（8分）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：AC∥DF．
【分析】要证AC∥DF的关键是证∠B＝∠DEF，也就是证△ABC和△DEF全等，已知了这两个三角形三组对应边相等，由此可得出三角形全等．
【解答】证明：∵BE＝CF，BE+CE＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE（全等三角形的对应角相等），
∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质及平行线的判断等知识；根据全等三角形来得出对应的角相等，是解此类题的常用方法．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，△ABC的高AD与CE的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式）
【分析】利用△ABC的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，
∵AB＝2cm，BC＝4cm，
∴×2•CE＝×4•AD，
∴＝．
【点评】本题考查了三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列出方程是解题的关键．
20．（8分）（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，画出△ABC的中线AT；
（2）如图2，在△FGH中，画出边GH的高FM，边GF的高HN和边FH的高GP．
【分析】（1）根据三角形的三条中线交于一点，解决问题即可．
（2）根据三角形的高的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，线段AT即为所求．
（2）如图2中，线段FM，GP即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的角平分线，中线，高等知识，解题的关键是掌握三角形的中线，高的定义以及性质，属于中考常考题型．
21．（8分）已知在△ABC中，AB＝AC，且线段BD为△ABC的中线，线段BD将△ABC的周长分成12和6两部分，求△ABC三边的长．
【分析】因为两个数据具体是哪一部分的不明确，所以分12是腰长加腰长的一半和6是腰长加腰长的一半两种情况讨论求解．
【解答】解：如图，（1）若12是腰长加腰长的一半，
则腰长为：12×＝8，
底边长为：6﹣8×＝2，
此时三角形的三边长为8、8、2，
能组成三角形；
（2）若6是腰长加腰长的一半，
则腰长为：6×＝4，
底边长为：12﹣×4＝10，
此时，三角形的三边长为4、4、10不能组成三角形．
故该等腰三角形的腰长和底边长分别为8，2．
【点评】本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．
22．（10分）如图，△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC和∠ACB．
（1）若∠A＝60°，求∠BIC的度数；
（2）求证：∠BIC＝90°+∠A；
（3）若∠A＝60°，求证EI＝FI．
【分析】（1）（2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义表示出∠IBC+∠ICB，再利用三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）过I作AB，AC的垂线段IM，IN，连接AI，根据角平分线的性质证明全等即可．
【解答】解：（1）∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝∠ABC+∠ACB＝（180°﹣∠A），
在△BCI中，∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A，
即∠BIC＝90°+∠A＝90°+30°＝120°；
（2）∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝∠ABC+∠ACB＝（180°﹣∠A），
在△BCI中，∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A，
即∠BIC＝90°+∠A；
（3）过I作AB，AC的垂线段IM，IN，连接AI，
由（1）知∠A＝60°时，∠BIC＝120°，
∴∠AFI+∠AEI＝180°，
∴∠AFI＝∠MEI，
又∵AI是角平分线，
∴NI＝MI，
在△FNI与△EMI中，
，
∴△FNI≌△EMI（AAS），
∴FI＝EI．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义以及全等的判定，整体思想的利用是解题的关键．
23．（10分）如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，BC分别交AD、DE于点G、F，AC与DE交于点H．
求证：（1）△ABC≌△ADE；（2）BC⊥DE．
【分析】（1）利用AB⊥AD，AC⊥AE，得出∠DAB＝∠CAE，进一步得出∠BAC＝∠DAE，再根据已知条件及全等的判定方法SAS即可证得△ABC≌△ADE；
（2）由△ABC≌△ADE，得出∠E＝∠C，利用∠E+∠AHE＝90°，推出∠C+∠DHC＝90°，结论成立．
【解答】证明：（1）∵AB⊥AD，AC⊥AE，
∴∠DAB＝∠CAE＝90°，
∴∠DAB+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴∠E＝∠C，
∵∠E+∠AHE＝90°，∠AHE＝∠DHC，
∴∠C+∠DHC＝90°，
∴BC⊥DE．
【点评】本题考查了全等三角形全等的判定及性质，垂直的意义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
24．（12分）平面直角坐标系中，已知：如图1，A（a，0），B（0，b），且a、b满足，点D在第二象限，且AD平分∠BAO．
（1）求∠BAO的度数；
（2）如图2，若AD交y轴于C，且∠BDA＝90°．求证：AC＝2BD；
（3）如图3，若，P为AB上一动点，且OP＝PE，∠OPE＝45°，求点E的坐标．
【分析】（1）由非负性可求a＝b＝6，可得OA＝OB＝6，即可求解；
（2）由“ASA”可证△ADB≌△ADH，可得BD＝DH，由“ASA”可证△AOC≌△BOH，可得AC＝BH，可得结论；
（3）由等腰三角形的判定可证AP＝AO＝BO＝6，由“AAS”可证△BPO≌△AEP，可得BP＝AE＝6﹣6，即可求解．
【解答】（1）解：∵，
∴a＝b＝6，
∴点A（6，0），点B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∴∠BAO＝45°；
（2）证明：如图2，延长BD交x轴于H，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAD＝∠DAH，
又∵∠ADB＝∠ADH＝90°，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADH（ASA），
∴BD＝DH，
∴BH＝2BD，
∵∠BHO+∠HBO＝90°＝∠BHO+∠HAD，
∴∠HBO＝∠HAD，
又∵BO＝AO，∠AOC＝∠BOH，
∴△AOC≌△BOH（ASA），
∴AC＝BH，
∴AC＝2BD；
（3）如图3，∵OA＝OB＝6，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵OP＝PE，∠OPE＝45°，
∴∠POE＝∠PEO＝67.5°，
∴∠AEP＝112.5°，∠APO＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AOP＝∠APO＝67.5°，
∴AP＝AO＝6＝BO，∠OPB＝112.5°＝∠AEP，
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣6，
∵BO＝AP，∠ABO＝∠BAO＝45°，∠BPO＝∠PEA＝112.5°，
∴△BPO≌△AEP（AAS），
∴BP＝AE＝6﹣6，
∴OE＝OA﹣AE＝12﹣6，
∴点E（12﹣6，0）．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，非负性，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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2021-2022学年湖北省武汉市江夏一中八年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cm B．4cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm
2．（3分）从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
3．（3分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C三个角的比例如下，其中能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．2：3：4 B．1：2：3 C．4：3：5 D．1：2：2
4．（3分）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个直角三角形的面积相等
5．（3分）如图：若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
6．（3分）如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A＝50°，则∠BPC＝（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
7．（3分）如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（ ）km．
A．5 B．10 C．15 D．25
8．（3分）如图，用尺规作∠AOB的角平分线OC时，用到三角形全等的判定方法是（ ）
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③画射线OC．射线OC就是∠AOB的角平分线．
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
9．（3分）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF
10．（3分）如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，则下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF； ③CD＝DN；④△ACN≌△ABM，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．（3分）如图，共有 个三角形．
12．（3分）已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边为x，则x的取值范围是 ．
13．（3分）一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 边形．
14．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为 度．
15．（3分）等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为50°，则该三角形的顶角为 ．
16．（3分）如图，平面直角坐标系中，C（0，4），A（1，0），K为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点K在x轴上运动时，BK的最小值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）推理填空
已知：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：PA＝PB．
证明：在△ 与△ 中，
∠＝ ＝∠ （ ），
＝ （ ），
∠ ＝∠ （ ），
∴△ ≌△ （ ）．
∴PA＝ （ ）．
18．（8分）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：AC∥DF．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，△ABC的高AD与CE的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式）
20．（8分）（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，画出△ABC的中线AT；
（2）如图2，在△FGH中，画出边GH的高FM，边GF的高HN和边FH的高GP．
21．（8分）已知在△ABC中，AB＝AC，且线段BD为△ABC的中线，线段BD将△ABC的周长分成12和6两部分，求△ABC三边的长．
22．（10分）如图，△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC和∠ACB．
（1）若∠A＝60°，求∠BIC的度数；
（2）求证：∠BIC＝90°+∠A；
（3）若∠A＝60°，求证EI＝FI．
23．（10分）如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，BC分别交AD、DE于点G、F，AC与DE交于点H．
求证：（1）△ABC≌△ADE；（2）BC⊥DE．
24．（12分）平面直角坐标系中，已知：如图1，A（a，0），B（0，b），且a、b满足，点D在第二象限，且AD平分∠BAO．
（1）求∠BAO的度数；
（2）如图2，若AD交y轴于C，且∠BDA＝90°．求证：AC＝2BD；
（3）如图3，若，P为AB上一动点，且OP＝PE，∠OPE＝45°，求点E的坐标．
2021-2022学年湖北省武汉市江夏一中八年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cm B．4cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
【解答】解：A、4+3＞5，能组成三角形；
B、6+4＝10，不能组成三角形；
C、1+1＝2＜3，不能组成三角形；
D、3+4＝7＜9，不能组成三角形；
故选：A．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
2．（3分）从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【分析】根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，可分成（n﹣2）个三角形直接判断．
【解答】解：从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n﹣2），
∴从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是：7﹣2＝5（个，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的对角线，多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．
3．（3分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C三个角的比例如下，其中能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．2：3：4 B．1：2：3 C．4：3：5 D．1：2：2
【分析】根据三角形的内角和公式分别求得各角的度数，从而判断其形状．
【解答】解：A、设三个角分别为2x，3x，4x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：40°，60°，80°，所以不是直角三角形；
B、设三个角分别为x，2x，3x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：30°，60°，90°，所以是直角三角形；
C、设三个角分别为3x，4x，5x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：45°，60°，75°，所以不是直角三角形；
D、设三个角分别为x，2x，2x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：36°，72°，72°，所以不是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题通过设适当的参数，根据三角形内角和定理建立方程求出三个内角的度数后判断．
4．（3分）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个直角三角形的面积相等
【分析】根据全等三角形的判定方法对A、B、C、D选项逐个分析是否可求证两三角形全等，然后即可得出正确选项．
【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，
那么根据SAS即可判断两三角形全等，故选项A正确；
如果如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，
那么根据AAS可判断两三角形全等，故选项B正确；
如果如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，
那么根据HL可判断两三角形全等，故选项C正确；
如果两个直角三角形的面积相等，那么无法判定两个直角三角形全等，故D错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、直角三角形全等的判定，解题的关键是知道直角三角形也可用判定一般三角形的全等方法进行判定．
5．（3分）如图：若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
【分析】根据全等三角形性质求出AC，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABE≌△ACF，AB＝5，
∴AC＝AB＝5，
∵AE＝2，
∴EC＝AC﹣AE＝5﹣2＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
6．（3分）如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A＝50°，则∠BPC＝（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360°求得．
【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BPC＝∠DPE＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
【点评】主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是360度．注意∠BPC与∠DPE互为对顶角．
7．（3分）如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（ ）km．
A．5 B．10 C．15 D．25
【分析】根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，
解得：x＝15km．
所以，E应建在距A点15km处．
故选：C．
【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
8．（3分）如图，用尺规作∠AOB的角平分线OC时，用到三角形全等的判定方法是（ ）
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③画射线OC．射线OC就是∠AOB的角平分线．
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】利用基本作图得到OM＝ON，MC＝NC，加上OC为公共边，则根据全等三角形的判定方法可判断△OMC≌△ONC，从而得到∠MOC＝∠NOC．
【解答】解：由作法得OM＝ON，MC＝NC，
而OC为公共边，
所以根据“SSS”可判断△OMC≌△ONC，
所以∠MOC＝∠NOC，
即射线OC就是∠AOB的角平分线．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了全等三角形的判定．
9．（3分）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．
【解答】解：在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB （SSS），
∴∠ACB＝∠DBE．
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠ACB+∠DBE＝∠AFB，
∠ACB＝∠AFB，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．
10．（3分）如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，则下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF； ③CD＝DN；④△ACN≌△ABM，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，根据直角三角形全等的判定得到Rt△ABE≌Rt△ACF，则BE＝C，∠EAB＝∠FAC得到①②正确；易证Rt△AEM≌Rt△AFN，得到AM＝AN，
则MC＝BN，易证得△ACN≌△ABM，得到④正确；△DMC≌△DMB，则DC＝DB，得到③错误．
【解答】解：如图，
∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ACF，
∴BE＝CF，所以②正确；
∴∠EAB＝∠FAC，
∴∠1＝∠2，所以①正确；
∴Rt△AEM≌Rt△AFN，
∴AM＝AN，
而∠MAN公共，∠B＝∠C，
∴△ACN≌△ABM，所以④正确；
∵AC＝AB，AM＝AN，
∴MC＝BN，
而∠B＝∠C，
∴△DMC≌△DMB，
∴DC＝DB，所以③错误；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角对应相等，并且有一条边对应相等相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了直角三角形全等的判定．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．（3分）如图，共有 6 个三角形．
【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．
【解答】解：图中有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，共6个．
故答案为：6
【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏．
12．（3分）已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边为x，则x的取值范围是 4＜x＜10 ．
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．
【解答】解：∵三角形的两边长分别为3、7，
∴第三边x的取值范围是7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10．
故答案为：4＜x＜10．
【点评】本题考查了三角形三边关系，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
13．（3分）一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 十二 边形．
【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．
【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，
解得n＝12．
故多边形是十二边形．
【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
14．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为 60 度．
【分析】根据题意，已知∠A＝65°，∠B＝75°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．
【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40度，
∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，
∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣300°＝60度．
故填60．
【点评】本题通过折叠变换考查三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．
15．（3分）等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为50°，则该三角形的顶角为 40°或140° ．
【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠A＝90°﹣50°＝40°；
如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠BAC＝50°+90°＝140°，
综上所述，顶角等于40°或140°．
故答案为：40°或140°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
16．（3分）如图，平面直角坐标系中，C（0，4），A（1，0），K为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点K在x轴上运动时，BK的最小值为 1 ．
【分析】过点B作BH⊥x于H．△COA≌△AHB（AAS），推出OA＝BH＝1，再根据垂线段最短，即可解决问题．
【解答】解：过点B作BH⊥x于H．
∵C（0，4），A（1，0），
∴OC＝4，OA＝1，
∵∠AOC＝∠BAC＝∠AHB＝90°，
∴∠CAO+∠BAH＝90°，∠BAH+∠ABH＝90°，
∴∠CAO＝∠ABH，
在△COA和△AHB中，
，
∴△COA≌△AHB（AAS），
∴OA＝BH＝1，
根据垂线段最短可知，当BK与BH重合时，BK的值最小，最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）推理填空
已知：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：PA＝PB．
证明：在△ PAN 与△ PBM 中，
∠＝ P ＝∠ P （ 公共角 ），
PN ＝ PM （ 已知 ），
∠ N ＝∠ M （ 已知 ），
∴△ PAN ≌△ PBM （ ASA ）．
∴PA＝ PB （ 全等三角形对应边相等 ）．
【分析】证明PA＝PB即可，只要证明△PAN≌△PBM，由已知可证．
【解答】证明：在△PAN和△PBM中，
，
∴△PAN≌△PBM（ASA），
∴PA＝PB（全等三角形对应边相等）．
故答案为：PAN，PBM，P，P，公共角，PN，PM，已知，N，M，已知，PAN，PBM，ASA，PB，全等三角形对应边相等．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形判定方法，属于基础题，中考常考题型．
18．（8分）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：AC∥DF．
【分析】要证AC∥DF的关键是证∠B＝∠DEF，也就是证△ABC和△DEF全等，已知了这两个三角形三组对应边相等，由此可得出三角形全等．
【解答】证明：∵BE＝CF，BE+CE＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE（全等三角形的对应角相等），
∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质及平行线的判断等知识；根据全等三角形来得出对应的角相等，是解此类题的常用方法．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，△ABC的高AD与CE的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式）
【分析】利用△ABC的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，
∵AB＝2cm，BC＝4cm，
∴×2•CE＝×4•AD，
∴＝．
【点评】本题考查了三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列出方程是解题的关键．
20．（8分）（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，画出△ABC的中线AT；
（2）如图2，在△FGH中，画出边GH的高FM，边GF的高HN和边FH的高GP．
【分析】（1）根据三角形的三条中线交于一点，解决问题即可．
（2）根据三角形的高的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，线段AT即为所求．
（2）如图2中，线段FM，GP即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的角平分线，中线，高等知识，解题的关键是掌握三角形的中线，高的定义以及性质，属于中考常考题型．
21．（8分）已知在△ABC中，AB＝AC，且线段BD为△ABC的中线，线段BD将△ABC的周长分成12和6两部分，求△ABC三边的长．
【分析】因为两个数据具体是哪一部分的不明确，所以分12是腰长加腰长的一半和6是腰长加腰长的一半两种情况讨论求解．
【解答】解：如图，（1）若12是腰长加腰长的一半，
则腰长为：12×＝8，
底边长为：6﹣8×＝2，
此时三角形的三边长为8、8、2，
能组成三角形；
（2）若6是腰长加腰长的一半，
则腰长为：6×＝4，
底边长为：12﹣×4＝10，
此时，三角形的三边长为4、4、10不能组成三角形．
故该等腰三角形的腰长和底边长分别为8，2．
【点评】本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．
22．（10分）如图，△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC和∠ACB．
（1）若∠A＝60°，求∠BIC的度数；
（2）求证：∠BIC＝90°+∠A；
（3）若∠A＝60°，求证EI＝FI．
【分析】（1）（2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义表示出∠IBC+∠ICB，再利用三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）过I作AB，AC的垂线段IM，IN，连接AI，根据角平分线的性质证明全等即可．
【解答】解：（1）∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝∠ABC+∠ACB＝（180°﹣∠A），
在△BCI中，∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A，
即∠BIC＝90°+∠A＝90°+30°＝120°；
（2）∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝∠ABC+∠ACB＝（180°﹣∠A），
在△BCI中，∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A，
即∠BIC＝90°+∠A；
（3）过I作AB，AC的垂线段IM，IN，连接AI，
由（1）知∠A＝60°时，∠BIC＝120°，
∴∠AFI+∠AEI＝180°，
∴∠AFI＝∠MEI，
又∵AI是角平分线，
∴NI＝MI，
在△FNI与△EMI中，
，
∴△FNI≌△EMI（AAS），
∴FI＝EI．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义以及全等的判定，整体思想的利用是解题的关键．
23．（10分）如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，BC分别交AD、DE于点G、F，AC与DE交于点H．
求证：（1）△ABC≌△ADE；（2）BC⊥DE．
【分析】（1）利用AB⊥AD，AC⊥AE，得出∠DAB＝∠CAE，进一步得出∠BAC＝∠DAE，再根据已知条件及全等的判定方法SAS即可证得△ABC≌△ADE；
（2）由△ABC≌△ADE，得出∠E＝∠C，利用∠E+∠AHE＝90°，推出∠C+∠DHC＝90°，结论成立．
【解答】证明：（1）∵AB⊥AD，AC⊥AE，
∴∠DAB＝∠CAE＝90°，
∴∠DAB+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴∠E＝∠C，
∵∠E+∠AHE＝90°，∠AHE＝∠DHC，
∴∠C+∠DHC＝90°，
∴BC⊥DE．
【点评】本题考查了全等三角形全等的判定及性质，垂直的意义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
24．（12分）平面直角坐标系中，已知：如图1，A（a，0），B（0，b），且a、b满足，点D在第二象限，且AD平分∠BAO．
（1）求∠BAO的度数；
（2）如图2，若AD交y轴于C，且∠BDA＝90°．求证：AC＝2BD；
（3）如图3，若，P为AB上一动点，且OP＝PE，∠OPE＝45°，求点E的坐标．
【分析】（1）由非负性可求a＝b＝6，可得OA＝OB＝6，即可求解；
（2）由“ASA”可证△ADB≌△ADH，可得BD＝DH，由“ASA”可证△AOC≌△BOH，可得AC＝BH，可得结论；
（3）由等腰三角形的判定可证AP＝AO＝BO＝6，由“AAS”可证△BPO≌△AEP，可得BP＝AE＝6﹣6，即可求解．
【解答】（1）解：∵，
∴a＝b＝6，
∴点A（6，0），点B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∴∠BAO＝45°；
（2）证明：如图2，延长BD交x轴于H，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAD＝∠DAH，
又∵∠ADB＝∠ADH＝90°，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADH（ASA），
∴BD＝DH，
∴BH＝2BD，
∵∠BHO+∠HBO＝90°＝∠BHO+∠HAD，
∴∠HBO＝∠HAD，
又∵BO＝AO，∠AOC＝∠BOH，
∴△AOC≌△BOH（ASA），
∴AC＝BH，
∴AC＝2BD；
（3）如图3，∵OA＝OB＝6，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵OP＝PE，∠OPE＝45°，
∴∠POE＝∠PEO＝67.5°，
∴∠AEP＝112.5°，∠APO＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AOP＝∠APO＝67.5°，
∴AP＝AO＝6＝BO，∠OPB＝112.5°＝∠AEP，
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣6，
∵BO＝AP，∠ABO＝∠BAO＝45°，∠BPO＝∠PEA＝112.5°，
∴△BPO≌△AEP（AAS），
∴BP＝AE＝6﹣6，
∴OE＝OA﹣AE＝12﹣6，
∴点E（12﹣6，0）．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，非负性，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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