专题25 竖直面内的圆周运动-2023届高三物理二轮复习多维度导学与分层专练

2023届高三物理二轮复习多维度导学与分层专练

专题25 竖直面内的圆周运动

【知识导学与典例导练】

一、常见绳杆模型特点：

（一）绳（轨道内侧）类竖直面内圆周运动

【例1】如图所示，用长为L的轻绳把一个小铁球悬挂在高2L的O点处，小铁球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，则有（　　）

A．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最大为6mg

B．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最小为mg

C．若运动中轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为

D．若小铁球运动到最低点时轻绳断开，则小铁球落到地面时的水平位移为2L

【答案】AC

【详解】AB．小铁球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，说明小铁球在最高点B处时，轻绳的拉力最小，为零对小球由B点运动到最低点的过程应用动能定理在最低点时轻绳的拉力最大，由牛顿第二定律联立解得轻绳的拉力最大为F＝6mg，A正确，B错误；

C．以地面为重力势能参考平面，小铁球在B点处的总机械能为无论轻绳是在何处断开，小铁球的机械能总是守恒的，因此到达地面时的动能落到地面时的速度大小

C正确；

D．小铁球运动到最低点时速度由平抛运动规律；联立解得小铁球落到地面时的水平位移，D错误。故选AC。

【例2】如图所示，半径为的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速，若大小不同，则小球能够上升到的最大高度（距离底部）也不同。下列说法中不正确的是（　　）

A．如果，则小球能够上升的最大高度等于

B．如果，则小球能够上升的最大高度等于

C．如果，则小球能够上升的最大高度小于

D．如果，则小球能够上升的最大高度等于

【答案】B

【详解】A．如果，则有小球始终在轨道下半部分运动，不会脱离轨道，能够上升的最大高度为，故A正确；

BD．假设小球能够以速度v恰好通过轨道最高点，则在最高点，根据牛顿第二定律有

对小球从最低点到最高点的过程，根据动能定理有联立解得所以是小球为了能够通过最高点而在最低点获得的最小速度，由此可知B错误，D正确；

C．如果，设其能够上升的最大高度为h，由于小球做圆周运动，所以在最大高度处速度不能为零，设为，根据动能定理有解得故C正确。故选B。

（二）杆（管）类竖直面内圆周运动

【例3】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其图象如，乙图所示。则（　　）

A．小球的质量为

B．当地的重力加速度小为

C．时，小球对杆弹力方向向下

D．时，杆对小球弹力大小为2mg

【答案】A

【详解】AB．在最高点，当时，有当时，有解得，故A正确；B错误；

C．由图可知，当时，杆对小球弹力方向向上，当时，杆对小球弹力方向向下，所以当时，杆对小球弹力方向向下，故C错误；

D．若，由图可知，杆与小球间的弹力为0，故D错误。故选A。

【例4】如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与最高点时的速度平方的关系如图乙所示（取竖直向下为正方向）。MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（　　）

A．管道的半径为

B．小球的质量为

C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定没有有作用力

D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

【答案】BC

【详解】A．由图可知：当，，此时解得故A错误；

B．当时，此时所以故B正确；

C．小球在下方的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有力，故C正确；

D．小球在上方的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁受力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力，故D错误。故选BC。

二、拱形桥和凹形桥模型特点

（三）拱形桥和凹形桥类竖直面内圆周运动

【例5】城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则(　　)

A．小汽车通过桥顶时处于失重状态

B．小汽车通过桥顶时处于超重状态

C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg－m

D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于

【答案】A

【详解】AB．由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得

mg－FN＝m解得FN＝mg－m＜mg故其处于失重状态，A正确，B错误；

C．FN＝mg－m只在小汽车通过桥顶时成立，而在其上桥过程中不成立，C错误；

D．由mg－FN＝m，FN≥0，解得v1≤，D错误。故选A。

【例6】如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为，则物体在最低点时，下列说法正确的是（　　）

A．受到的摩擦力为

B．受到的摩擦力为

C．受到向心力为

D．受到的合力方向竖直向上

【答案】A

【详解】AB．根据牛顿第二定律得则所以滑动摩擦力

故A正确B错误；

C．向心力的大小故C错误；

D．由于重力支持力的合力方向竖直向上，滑动摩擦力方向水平向左，则物体合力的方向斜向左上方，D错误。故选A。

【多维度分层专练】

1．如图所示，在同一竖直平面内有两个正对着的半圆形光滑轨道，轨道的半径都是R。轨道端点所在的水平线相隔一定的距离x。一质量为m的小球能在其间运动而不脱离轨道，经过最低点B时的速度为v。小球在最低点B与最高点A对轨道的压力之差为ΔF（ΔF>0）。不计空气阻力。则（　　）

A．m、x一定时，R越大，ΔF一定越大

B．m、x一定时，v越大，ΔF一定越大

C．m、R一定时，x越大，ΔF一定越大

D．m、R一定时，v越大，ΔF一定越大

【答案】C

【详解】设m在A点时的速度为vA，在B点时速度为v=vB；对m从A到B点时，根据动能定理有：

对m在B点时，受重力和支持力NB的作用，根据牛顿第二定律：

所以；对m在A点，受重力和支持力NA，根据牛顿第二定律：

所以 小球在最低点B与最高点A对轨道的压力之差

A．m、x一定时，R越大，ΔF一定越小，选项A错误；

B．m、x一定时，ΔF与v无关，选项B错误；

C．m、R一定时，x越大，ΔF一定越大，选项C正确；

D．m、R一定时，ΔF与v无关，选项D错误；故选C。

2．在离心浇铸装置中，电动机带动两个支承轮同向转动，管状模型放在这两个轮上靠摩擦转动，接触处不打滑，如图所示。铁水注入后，由于离心作用，铁水紧紧靠在模型的内壁上，从而可得到密实的铸件，浇铸时转速不能过小，否则铁水会脱离模型内壁，产生次品。已知管状模型内壁的半径为R，铁水与模型转动的角速度相同，铁水的厚度可忽略。则（　　）

A．管状模型转动的最小角速度

B．管状模型转动的最小角速度

C．若发现产生次品，应增大浇铸时转动的周期

D．支承轮边缘转动的线速度大于模型外边缘转动的线速度

【答案】A

【详解】AB．要使经过最高点的铁水紧压模型内壁，临界情况是铁水的重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律，有则管状模型转动的最小角速度故A正确，B错误；

C．若发现产生次品，应提高转速，减小转动的周期，故C错误；

D．支承轮边缘和模型外边缘相切，线速度大小相等，故D错误。故选A。

3．如图（a）所示，小球的初速度为v0，沿光滑斜面上滑，能上滑的最大高度为h，在图(b)中，四个物体的初速度均为v0。在A图中，小球沿一光滑内轨向上运动，内轨半径大于h；在B图中，小球沿一光滑内轨向上运动，内轨半径小于h；在图C中，小球固定在轻绳的下端，轻绳的长度为h的一半，小球随轻绳绕O点向上转动。在D图中，小球以与水平方向成30°斜抛。则小球上升的高度能达到h的有（       ）

A．A B．B C．C D．D

【答案】A

【详解】对图（a）中的小球应用机械能守恒定律有解得所以，小球上升高度h时的末速度一定等于零；

A．根据机械能守恒定律得解得，A能上升到h处，A正确；

BC．两个小球上升到h前已经离开轨道，最高点速度不为零，所以B、C两个小球无法上升到h处，BC错误；

D．D球无法到达h处，因为最高点速度不为零，D错误。故选A。

4．如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上。若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t1，平均摩擦力f1，到C点的速率v1。第二次由C滑到A，所用时间为t2，平均摩擦力f2，到A点的速率v2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则（　　）

A．f1 > f2 B．t1 = t2 C．t1 > t2 D．v1 > v2

【答案】D

【详解】ABCD．在AB段，由牛顿第二定律得滑块受到的支持力则速度v越大，滑块受支持力F越小，摩擦力f = μF就越小。在BC段，由牛顿第二定律得滑块受到的支持力则速度v越大，滑块受支持力F越大，摩擦力f = μF就越大。由题意知从A运动到C相比从C到A，在AB段速度较大，在BC段速度较小，所以从A到C运动过程受摩擦力较小（f1 < f2），用时短（t1 < t2），克服摩擦力做功较小，根据动能定理可得v1 > v2，故D正确，ABC错误。故选D。

5．2018 年国际雪联单板滑雪U形池世锦赛决赛在西班牙内华达山收官，女子决赛中，中国选手蔡雪桐以 90．75 分高居第一，成功卫冕．如图所示，单板滑雪 U形池场地可简化为固定在竖直面内的半圆形轨道场地，雪面不同曲面处的动摩擦因数不同．因摩擦作用， 滑雪运动员从半圆形场地的坡顶下滑到坡底的过程中速率不变，则（        ）

A．运动员下滑的过程中加速度不变

B．运动员下滑的过程所受摩擦力先增大后减小

C．运动员下滑过程中与雪面的动摩擦因数变小

D．运动员滑到最低点时对轨道的压力等于物体的重力

【答案】C

【详解】A．运动员在下滑过程中速率不变，故可看做匀速圆周运动，根据：可知加速度大小不变，方向始终指向圆心，方向时刻在变，故加速度时刻在变；故A错误

B．设支持力与竖直方向的夹角为θ，则摩擦力：在下滑过程中，由于角度变小，故变小，则变小；故B错误。

C．设支持力 与竖直方向的夹角为θ，则；由于合力大小不变，故在下滑过程中，由于角度变小，故变大，变小，故变大，变小，根据：可知，摩擦因数减小；故C正确

D．在最低点时：依题意，有速度，则支持力不等于重力，根据牛顿第三定律，压力等于支持力，所以压力不等于重力；故D错误。

6．现有一根长0.4m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着一个可视为质点且质量为1kg的小球，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示。不计空气阻力，g=10m/s2，则（　　）

A．小球以1m/s的速度水平抛出到绳子再次伸直时的位置在过O点的水平线之上

B．小球以1m/s的速度水平抛出到绳子再次伸直时的位置在过O点的水平线之下

C．小球以2m/s的速度水平抛出的瞬间，绳子的张力大小为10 N

D．小球以4m/s的速度水平抛出的瞬间，绳中的张力大小为30N

【答案】BD

【详解】AB．若要想使得细绳恰在与O点水平线时细绳伸直，则需满足；解得

则若小球以1m/s的速度水平抛出，则到绳子再次伸直时的位置在过O点的水平线之下，选项A错误，B正确；

CD．要使小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时重力恰好提供的向心力，根据牛顿第二定律可得mg＝m解得v＝＝2m/s小球以2m/s的速度水平抛出的瞬间，轻绳刚好有拉力，张力为0；小球以4m/s的速度水平抛出的瞬间，对小球受力分析，由牛顿第二定律得T+mg＝m

解得T＝30N故D正确，C错误；故选BD。

7．如图所示，轻质的细杆一端连接有质量为m的小球，轻杆可绕另一端在竖直平面内转动，杆的长度为l，小球可以当作质点，当杆转动到竖直平面的最高点时，小球的速度为，忽略小球受到的阻力，g为重力加速度。下列说法中正确的是

A．小球在最高点时小球对轻杆的弹力方向向上

B．小球在最高点时轻杆对小球的弹力大小为mg

C．小球转动到最低点时，杆对小球的弹力大小为mg

D．若小球在最高点受到杆的弹力大小为mg，小球在最高点的速度一定为

【答案】BC

【详解】AB.对位于最高点的小球分析受力，设轻杆对小球的弹力F方向向下，由牛顿第二定律有

，代入速度值，解得，负号表示方向向上，轻杆对小球的弹力方向向上，小球对轻杆的弹力方向向下，选项A错误、B正确；

C.设轻杆在最低点对球的弹力为F1，由牛顿第二定律有 ，根据动能定理可求小球的速度

，则，选项C正确；

D.若小球在最高点受到杆的弹力大小为，小球受到杆的力可能是拉力也可能是支持力，

，或 ，选项 D 错误；故选择：BC；

8．如图所示，一个内部光滑的螺旋状管道固定在竖直平面内，外、中、内三段圆周的直径之比为5∶4∶3，最外侧管道的直径d。某时刻，小球以大小为v0的初速度从水平管道的左端O处射入管道，小球恰好能够在管道内自由移动。管道的粗细远小于其螺旋半径，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）

A．当小球的初速度时，小球能够运动到M点，且对管道的压力等于mg

B．当小球的初速度时，小球能够运动到N点，且对管道的压力等于零

C．当小球的初速度时，小球恰好运动到N点，且对管道的压力等于mg

D．当小球的初速度时，小球能够运动到M点，且对管道的压力等于零

【答案】AB

【详解】A．从O点到M点根据机械能守恒定律有设在M点，管道对小球的作用力为F，根据牛顿第二定律有mg+FM=当时，解得小球到M点的速度vM=0；FM=mg所以小球对管道的压力等于mg，A正确。

B．同理当时，根据机械能守恒定律有小球运动到N点时速度大小为

根据对轨道的压力大小为0，B正确。

CD．当时，设小球能够到达的最大高度为h，根据机械能守恒有解得

可见，小球在最外侧轨道运动到与N点等高的位置时，速度变为零，不会运动到N点，更不会运动到M点，则CD错误。故选AB。