2021-2022学年上海理工大学附属实验初级中学七年级（下）期末数学试卷-（含解析）

2021-2022学年上海理工大学附属实验初级中学七年级（下）期末数学试卷

一、填空题（本题共14小题，共28分）

1. 如果一个数的平方是，那么这个数是______．
2. 的立方根是______．
3. ______．
4. 亿保留到______，有______有效数字．
5. 若是的整数部分，则______．
6. 比较大小：______．
7. 平面直角坐标系中，点到轴距离是______．
8. 在直角坐标系中，已知两点、的坐标分别是、，那么与两点之间的距离是______结果保留根号．
9. 如图，是直线上的点，若，，，则______度．

10. 如图，直线，点、位于直线上，点、、位于直线上，且：：，若的面积为，则的面积为______．

11. 如图，于点，过点作，若，则 ______．

12. 如图，已知，，那么______度．
13. 在等边三角形中，，与相交于点，，垂足为，则______．

14. 已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为______ ．

二、选择题（本题共4小题，共12分）

15. 在实数，，，，．，，中无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

16. 有一个如图的数值转换器，当输出值是时，输入的是(    )

A.
B.
C.
D.

17. 性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是(    )

A. 等腰三角形底角的平分线 B. 等腰三角形腰上的高
C. 等腰三角形腰上的中线 D. 等腰三角形顶角的平分线

18. 如图，已知，，增加下列条件：
    ；；；．
    其中能使≌的条件有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

三、解答题（本题共10小题，共60分）

19. 计算：．
20. 计算：．
21. 利用幂的运算性质计算：．
22. 如图，已知在中，，，是的一个外角，且，求的度数．

23. 作图不必写作法：
    请借助三角尺或量角器作出，使，，．
    请用尺规法作出的边上的高．保留作图痕迹
24. 请将一个三个内角分别为、、的等腰三角形分割成三个等腰三角形．

25. 如图，在直角坐标平面内，已知点的坐标，
    图中点的坐标是______；
    点关于原点对称的点的坐标是______；点关于轴对称的点的坐标是______；
    的面积是______；
    在直角坐标平面上找一点，能满足的点有______个；
    在轴上找一点，使，那么点的所有可能位置是______用坐标表示，并在图中画出

26. 如图，已知：，，试说明平分的理由．

27. 已知：如图，是等边三角形内一点，，，且．
    试说明．

28. 把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．
    图是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，、、在同一条直线上，连接请找出图中的全等三角形结论中不含未标识的字母，并说明理由；
    图也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，、、在同一条直线上，连接、连接并延长与交于点请找出线段和的位置关系，并说明理由；
    请你：
    画出一个符合放置规则且不同于图和图所放位置的几何图形；
    写出你所画几何图形中线段和的位置和数量关系；
    上面第题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗？
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
这个数是，
故答案为：．
根据有理数的乘方运算即可求出答案．
本题考查有理数的乘方，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：由于，
故的立方根是，
故答案为：．
根据立方根的定义即可求出答案．
本题考查立方根，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：

．
故答案是：．
根据表示的算术平方根，据此即可求解．
本题主要考查了算术平方根的定义，正确理解定义是解题的关键．
 

4.【答案】万位   

【解析】解：亿保留到万位，有个有效数字．
故答案为：万位，．
根据近似数的精确度和有效数字的定义求解．
本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
；
故答案为：．
根据，由此找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的整数部分即可．
此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
又因为，
，
即：，
故答案为：．
先把括号外的数字引入括号内，再进行大小比较．
本题考查的是实数的大小比较，熟知两数比较大小的法则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点到轴距离是．
故答案为：．
根据点的纵坐标的绝对值是点到轴的距离，可得答案．
本题考查了点的坐标．解题的关键是明确点的纵坐标的绝对值是点到轴的距离，横坐标的绝对值是点到轴的距离．
 

8.【答案】 

【解析】解：点、的坐标分别是、，
与两点之间的距离是．
故答案为：．
根据已知条件可知，点、都在轴上，那么与两点之间的距离是它们纵坐标的绝对值．
本题考查了两点间的距离公式，熟记公式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质即可求出．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理已经平行线的性质．掌握各定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
的面积：的面积：：，
的面积．
故答案为：．
根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知和的面积比等于：，从而进行计算．
此题考查了平行线间的距离以及三角形的面积比的一种方法，即等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
，
．
，
，
．
故答案为：．
先根据补角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查平行线的性质和垂线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
又，
，
．
故答案为：．
由可知，由三角形外角性质得，再由可知，为等腰三角形，由内角和定理求．
本题考查了等腰三角形的性质．关键是根据“等边对等角”，外角性质，内角和定理求解．
 

13.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：如图，等腰三角形为锐角三角形，

，，
，
即顶角的度数为．
如图，等腰三角形为钝角三角形，

，，
，
．
故答案为或．
首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数．
本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．
 

15.【答案】 

【解析】解：，是整数数，属于有理数；
，．是分数，属于有理数．
无理数有，，中共有个．
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

16.【答案】 

【解析】解：设输入的数为，
，
，
故选：．
设输入的数为，根据输出值是即可求出答案．
本题考查的是算术平方根的概念和性质，掌握一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根是解题的关键，注意有理数的概念．
 

17.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，
只有选项D符合条件，
故选：．
根据等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，逐个选项进行分析即可得出结果．
本题主要考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是正确解答本题的关键，比较简单．
 

18.【答案】 

【解析】解：，，，
和不一定全等，
故不符合题意；
，，，
≌，
故符合题意；
，
，
，
，，
≌，
故符合题意；
，，，
≌，
故符合题意；
所以，增加上列条件，其中能使≌的条件有个，
故选：．
根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】利用零指数幂的意义，分数指数幂的意义和立方根的意义解答即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，分数指数幂的意义和立方根的意义，正确利用上述法则与性质化简运算是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式

． 

【解析】先利用积的乘方得到原式，然后利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
 

21.【答案】解：原式

． 

【解析】先都化成底数为的幂的乘方的形式，再根据同底数幂的乘法或除法进行计算即可．
本题考查了分数指数幂，幂的乘方和积的乘方，关键是化成同底数幂的乘法或除法，题目比较哈珀，但是有一定的难度．
 

22.【答案】解：是的一个外角，
，
，，，
．
解得：．
． 

【解析】根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列一元一次方程，求出，从而求出的度数．
此题考查的知识点是三角形的外角性质及一元一次方程的应用，关键是先根据三角形的外角性质列一元一次方程，求出．
 

23.【答案】解：如图，即为所求；
如图，线段即为所求．
 

【解析】根据要求作出图形即可；
根据三角形的高的定义画出图形即可．
本题考查作图复杂作图，三角形的高等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：如图，中，，．
，，．
沿直线、剪开，则，，都是等腰三角形．
 

【解析】根据等腰三角形的判定结合图形把的角分为，和即可．
本题考查了作图应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质作出图形．也考查了等腰三角形的判定．
 

25.【答案】        无数  或 

【解析】解：点的坐标是．
故答案为：；
点关于原点对称的点的坐标是；点关于轴对称的点的坐标是．
故答案为：，；
的面积．
故答案为：；
当时，满足，
过点作直线，直线上的点都满足条件，
故答案为：无数；

设点，
当点在的上方时，，
解得，．

当点在的下方时此时，则有，
解得，，

故答案为：或
根据点的位置写出坐标即可；
国际化中心对称，轴对称的性质作出图形即可；
利用割补法求解即可；
在轴上寻找特殊点，再利用等高模型解决问题即可；
分两种情形，分别构建方程求解即可．
本题考查作图复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：，
，
，
，
，
又，
≌，
，
平分． 

【解析】由等腰三角形的判定与性质证出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

27.【答案】证明：如图，连接、．

，
，
是等边三角形，
，，
．
在与中，
，
≌，
，
．
，
，
，
．
在与中，
，
≌，
． 

【解析】连接、先证明≌，证出，；然后利用全等三角形的判定定理证得≌，由全等三角形的性质可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
 

28.【答案】解：≌．
是等腰直角三角形，
，．
同理，．
．
．
即．
在和中，

≌．

；
在和中，

≌．
全等三角形对应角相等
，对顶角相等
，三角形内角和
，三角形内角和
．
，
．
即．
垂直定义

如图：
，．
存在． 

【解析】可证，运用证明与全等；
根据证明与全等，得；根据三角形内角和定理证明可判断位置关系；
当绕点旋转与重叠时结论仍成立．
此题考查全等三角形的判定和垂直的定义，把实际问题抽象成数学模型是难点．