2021-2022学年辽宁省抚顺市新抚区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年辽宁省抚顺市新抚区八年级（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共20分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列四组线段中，可以组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 能使等式成立的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数，是的一次函数，则的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 任意实数

5. 某地连续天的最高气温统计如下：

这组数据的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 如图，一次函数为常数，且的图象过点，，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在中，，，分别是，的中点，是上一点，，连接，，若，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9. 如图，点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作，延长线的垂线，垂足分别为点，若，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，两条直线分别为，，且点在直线上，点在直线上，轴，轴，轴，垂足分别为和，若四边形为正方形时，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

11. 计算：______．
12. 一组数据，，，，，的中位数是______．
13. 一组数：，，，，的方差为______．
14. 某中学规定学生的学期体育总评成绩满分为分，其中平均成绩占，期中考试成绩占，期末考试成绩占，小彤的三项成绩百分制依次为，，，则小彤这学期的体育总评成绩为______．
15. 一次函数，若随的增大而增大，函数图象与轴的交点在轴的上方，则的取值范围是______ ．
16. 在中，，，边上的高，则的面积是______．
17. 如图，在中，，，，平分交于点，则的长是______．

18. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在边上，，关于直线的对称点为，交于，当为直角三角形时，______．

三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
20. 本小题分
    为落实视力保护工作，某校组织七年级学生开展了视力保护活动，活动前随机测查了名学生的视力，活动后再次测查这部分学生的视力，两次相关数据记录如下：
    活动前被测查学生视力数据：
    
    活动后被测查学生视力数据：
    
    活动后被测查学生视力频数分布表

根据以上信息回答下列问题：
填空：______，______；
活动前被测查学生视力样本数据的中位数是______，活动后被测查学生视力样本数据的众数是______；
分析活动前后相关数据，从一个方面评价学校开展视力保护活动的效果如取得了好的效果，简要说明原因；没有效果，也说明理由．

21. 本小题分
    我国古代数学著作九章算术中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端尺处．折断处离地面的高度是多少？丈尺

22. 本小题分
    如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接 、，连接交于点．
    求证：；
    若菱形的边长为，，求的长．

23. 本小题分
    如图，正方形的对角线，相交于点，在上，连接，过点作，为垂足，交于，连接．
    求证：；
    若，，直接写出的长．

24. 本小题分
    ，两个水果市场各有荔枝吨，现从，向甲、乙两地运送荔枝，其中甲地需要荔枝吨，乙地需要荔枝吨，从到甲地的运费为元吨，到乙地的运费为元吨，从到甲地的运费为元吨，到乙地的运费为元吨，设地到甲地运送荔枝吨，总运费为元．
    求与的函数关系式；
    怎样调送荔枝才能使总运费最少？
25. 本小题分
    如图，已知中，，分别延长、到点、使得，，连接、、．
    求证：四边形是矩形；
    以、为一组邻边作▱，连接，若，求的度数．

26. 本小题分
    如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
    求的面积；
    ，分别在和上，，在轴上，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.是最简二次根式，故C符合题意；
D.，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解得：，
故选：．
根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，分式的乘除法，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得：
且，
且，
，
故选：．
根据一次函数的定义：形如为常数且，可得且，然后进行计算即可解答．
本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是；
处于这组数据中间位置的两个个数都是，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是；
故这组数据的中位数与众数分别是，．
故选：．
根据众数和中位数的定义就可以求解．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义，解题的关键是正确分析表格中的数据．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图所示：不等式的解集为：．
故选：．
利用图象得出答案即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
在中，是的中点，
，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，进而求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，设大树高为，
小树高为，
过点作于，则是矩形，
连接，
，，，
在中，，
故选：．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，，，
，，，，
在中，，
，
，
中，，
，
在中，，
，
，
故选：．
连接交于，由菱形的性质和勾股定理得，则，再由含角的直角三角形的性质得，则，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是求出，把转化为．
 

10.【答案】 

【解析】解：设点的坐标为，则点的坐标为，
又点在直线上，
，
．
故选：．
设点的坐标为，利用正方形的性质可得出点的坐标为，由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，解之即可得出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，利用正方形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，找出是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先进行化简，再进行减法运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，，，
所以这组数据的中位数为，
故答案为：．
将数据重新排列，再根据中位数的定义计算即可．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

13.【答案】 

【解析】解：平均数为：，
，
，
，
故答案为：．
结合方差公式先求出这组数据的平均数，然后代入方差公式计算即可．
此题主要考查了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是解决问题的关键．
 

14.【答案】分 

【解析】解：

分，
小彤这学期的体育总评成绩为分．
故答案为：分．
根据加权平均数的计算方法，求出小彤这学期的体育总评成绩为多少即可．
此题主要考查了加权平均数的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是：平均成绩占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．
 

15.【答案】 

【解析】解：由已知得：，
解得：．
故答案为：．
由一次函数为增函数可得出，再由函数图象与轴的交点在轴的上方可得出，联立成不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据已知得出关于的不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的性质结合题意得出关于一次函数系数的不等式不等式组是关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
如图所示：

是边上的高，
，
，，
，
；
如图所示：

同得：，，
，
；
综上所述，的面积为或．
故答案为：或．
分两种情况，由勾股定理求出、，得出的长，再由三角形面积公式列式计算即可．
本题考查了勾股定理、三角形面积公式以及分类讨论思想；熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
过作于，
平分，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故答案为：．
由勾股定理得，过作于，再由角平分线的性质得，然后证≌，得，进而由勾股定理求出的长，即可解决问题．
本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

18.【答案】或 

【解析】解：由题意可知不可能是，可分两种情况：
如图，当时，

四边形是矩形，
，，
，，
，
，
过点作于点，
，
，
关于直线的对称点为，
，
，
，
，
；
如图，当时，

关于直线的对称点为，
，，
由可知，，
，
设，则，
，
，
解得，
，
即的长为或．
故答案为：或．
由题意可知不可能是，可分两种情况：如图，当时，如图，当时，由轴对称的性质及勾股定理可得出答案．
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；




． 

【解析】先进行二次根式的乘法与除法的运算，化简运算，再进行加减运算即可；
先进行乘法的运算，化简运算，最后进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：，；
，；
活动前视力在及以上的有人，活动后视力在及以上的有人，说明学生在做完视力保健活动后整体视力情况变好． 

【解析】解：由图表中的数据可得，，
故答案为：，；
活动前被测查的名学生视力数据从小到大排列后，
处在中间位置的两个数的平均数为，
因此中位数是，
活动后被测查的名学生视力数据的众数是，
故答案为：，；
见答案．
根据已知数据可得、的值；
根据中位数和众数的概念求解可得；
可从及以上人数的变化情况得出结论．
本题主要考查频数分布直方图、用样本估计总体的思想、中位数，解题的关键是搞清楚频数、中位数和众数等概念，属于基础题．
 

21.【答案】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：．
解得：，
答：折断处离地面的高度为尺． 

【解析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
 

22.【答案】证明：为菱形，
，．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形．  
．
在菱形中，，
为等边三角形，
．
在矩形中，
．
在中，
． 

【解析】先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明是矩形，可得即可；
根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：在上取，连接，

，，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
． 

【解析】利用正方形的性质，根据证明≌，得；
在上取，连接，利用证明≌，得，，说明是等腰直角三角形，进而得出答案．
本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
 

24.【答案】解：从地到甲地运送荔枝吨，则从地到乙地运送荔枝吨，从地到甲地运送荔枝吨，从地到乙地运送荔枝吨，
根据题意得：，
与的函数关系式为；
，
，
在函数中，，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为．
此时调往甲地吨，调往乙地吨，调往甲地吨． 

【解析】根据运往甲的费用加上运往乙的费用，加上运往甲的费用，加上运往乙的费用，可得函数解析式；
根据一次函数的性质，可得答案．
本题考查了一次函数的应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数增减性．
 

25.【答案】解：证明：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形；
连接，设与交于，

，
，
四边形是平行四边形，
，
，
即是直角三角形，
是中边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
． 

【解析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据已知条件推出四边形是平行四边形，求得，，等量代换得到，于是得到四边形是矩形；
连接，设与交于，根据垂直的定义得到，根据平行四边形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，于是得到结论．
 

26.【答案】解：直线中，当时，；当吋，，
，，
直线中，当时，；当吋，，
，，
，
联立，
解得：，
，
，
即的面积为；

、分别在和上，、在轴上，
设，，
当以、、、为顶点的四边形为正方形时，

若为正方形的一条边，则轴，，，
，
，
，
，
解得：或，
此时，点的坐标为或；
若为正方形的一条对角线，则与互相垂直平分，

，轴，
，
，
解得：，
此时，点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或或． 

【解析】求出、、的坐标，利用三角形的面积公式即可求出的面积；
分是正方形的边、对角线两种情况，根据正方形的性质求解即可．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积，正方形的性质等知识，运用数形结合、分类讨论是解题的关键．