辽宁省营口地区2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题（Word版含答案）

高二考试数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

2．已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（    ）

A．    B．7    C．    D．3

3．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜边长为2的等腰直角三角形，高为2，则该“堑堵”的表面积为（    ）

A．   B．   C．   D．

4．如图，在四面体OABC中，，，，G为的重心，P为OG的中点，则（    ）

A．   B．

C．   D．

5．如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，若，，则的面积为（    ）

A．   B．   C．8   D．

6．如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D处，塔顶C的仰角为30°，在A的正东方向且距D点60m的B点测得塔底位于北偏西45°方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的高度CD约为（    ）

（参考数据：6）

A．38m    B．44m    C．40m    D．48m

7．我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖内均铸一“爰”字．通高24cm，口长13.5cm，口宽12cm，底长12.5cm，底宽10.5cm．现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体，则其体积约为（    ）（参考数据：，）

A．  B．  C．  D．

8．已知角A，B，C是（非直角三角形）的三个内角，，且，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知向量，，，则（    ）

A．      B．

C．      D．

10．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的是（    ）

A．若，，则  B．若，，则

C．若，，则  D．若，，，则

11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则（    ）

A．外接圆的半径为   B．外接圆的半径为3

C．       D．

12．已知复数满足，复数满足，则的值可能为（    ）

A．1   B．   C．2   D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的共轭复数为______．

14．已知，则______．

15．已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则______．

16．已知向量，，．写出m的一个值：______，使得，此时______．（本题第一空3分，第二空2分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知，，．

（1）求；

（2）求在上投影的数量．

18．（12分）

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，且．

（1）求角C的大小；

（2）若D为AB的中点，且，求的周长．

19．（12分）

如图，在三棱柱中，平面ABC，AB＝BC＝AC，，D是BC的中点．

（1）证明：平面．

（2）求直线AC与平面所成角的正弦值．

20．（12分）

已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以a，b，c为边长的三个正方形的面积依次为，，，且．

（1）求C；

（2）若，求的取值范围．

21．（12分）

在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，．

（1）求；

（2）求．

22．（12分）

如图，在直角梯形ABCD中，，，，沿对角线BD将折至的位置，记二面角的平面角为．

（1）当时，求三棱锥的体积；

（2）若E为BC的中点，当时，求二面角的正弦值．

高二考试数学试卷参考答案

1．A  因为，所以z在复平面内对应的点位于第一象限．

2．C  ．

3．D  ．

4．C  因为G为的重心，所以．

因为P为OG的中点，所以．

5．B  在中，由，得，

所以，故的面积为．

6．D  如图，根据题意，平面ABD，，，，．

在中，因为，所以，

所以．在中，．

7．D  因为，，所以．

8．C  取BC的中点M，连接GM（图略），因为．所以点G是的重心．

所以．以M为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系，不妨设，，因为，所以可设，则．因为，，

则．因为，

所以．

9．BCD  因为，，所以，所以，故A错误；

因为，，所以，故B正确；

因为，所以，故C正确；

因为，，所以，所以，故D正确．

10．ABC  若，，则或，故A不正确；

若，，则或，故B不正确；

若，，则n，相交或或，故C不正确；

若，，，则故D正确．

11．AC  因为，所以．设外接圆的半径为R，则，所以外接圆的半径为．由．得．

因为，所以．

因为，所以，所以，则．

12．ABC  令，代入，得，

由，解得，或，或，

故或或．

设，则．

表示以为圆心，为半径的圆．

当时，，可理解为圆上的点与（0，0）之间的距离，此时；

当时，，可理解为圆上的点与（0，2）之间的距离，此时；

当时，，可理解为圆上的点与之间的距离，此时．

故．

13．  互为共轭复数的复数实部相等，虚部相反．

14．  因为，所以，

则

．

15．  因为，

所以．因为P，A，B，C四点共面，O具有任意性，所以，故．

16．；或4；（写出一组答案即可）  因为，所以．

因为，，

所以，所以或．

当时，，；

当时，，．

17．解：（1）因为，，，所以，．

因为，，，

所以，故．

（2）因为，，所以．

因为，所以在上投影的数量为．

18．解：（1）因为，

所以，

所以，

所以．

结合正弦定理可得，即，

所以．因为，所以．

（2）因为，所以，所以，

所以．

即，因为，，所以．

因为，所以，所以．

故的周长为．

19．（1）证明：如图，连接交于点O，连接OD，则O为的中点．

因为D是BC的中点，所以OD是的中位线，所以．

因为平面，平面，所以平面．

（2）解；过C作于点E，连接AE．

因为是等边三角形，且D是BC的中点，所以．

因为平面ABC，所以平面ABC，即，故平面．

因为平面，所以平面平面．

因为平面，平面平面，所以平面，

所以是AC与平面所成的角．

设，，则．

因为，所以．

故直线AC与平面所成角的正弦值为．

20．解：（1）由题意得，

则．因为，所以．

（2）因为，，且，

所以，，

所以．

因为是锐角三角形，所以，解得，

所以，所以．

故的取值范围是．

21．解：（1）因为，，所以．

（2）因为，，所以，，．

因为，所以，所以．

因为，所以，

所以

．

因为，所以，故．

22．解：（1）当时，平面平面BCD．

在直角梯形ABCD中，，所以，所以，

因为平面平面，平面BCD，所以平面，

所以CD为三棱锥的高，

故．

（2）取BD的中点F，连接，因为，所以．

因为E为BC的中点，连接EF，则EF为的中位线，所以．

因为，所以，

所以为二面角的平面角，即．

因为，所以平面．

因为平面BCD，所以平面平面BCD．

因为平面平面，所以过作于点O，则平面BCD．

因为平面BCD，所以．

过作于点G，连接OG，OF，

因为，所以平面，所以，

所以为二面角的平面角．

在中，，，．

在中，．

在中，，

所以，故二面角的正弦值为．