2021-2022学年河北省秦皇岛市青龙县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河北省秦皇岛市青龙县七年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程中，是二元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数值中，是二元一次方程的解的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列句子中，属于命题的是(    )

A. 对顶角相等 B. 延长线段到
C. 过点作直线 D. 锐角都相等吗

4. 下列各图中，与是对顶角的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 在解方程组的过程中，将代入可得(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，我们以前已学过用直尺和三角尺画平行线，在这一过程中，用到的原理是(    )

A. 同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角相等，两直线平行
D. 对顶角相等，两直线平行

7. 若是方程的一个解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是(    )

A. 两点之间，线段最短
B. 垂线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

9. 已知方程组，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体正在向下运动，为了使所有图案消失，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失(    )

A. 顺时针旋转，向右平移
B. 逆时针旋转，向右平移
C. 顺时针旋转，向左平移
D. 逆时针旋转，向左平移

11. 已知，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，已知直线，把三角尺的直角顶点放在直线上．若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

13. 在方程中，用含的代数式表示，则______．
14. 二元一次方程的正整数解有______个．
15. 在同一平面内，两条直线的位置关系有______ ．
16. 用反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设______．
17. 化简 ______ ．
18. 如图所示，要在竖直高为米，水平宽为米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要______米．

19. 如图，，，，则等于______ ．

20. 我们规定一种运算：，例如按照这种运算规定，已知，则______．

三、解答题（本大题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    用适当的方法解方程组：
    ；
    ．
22. 本小题分
    已知和都是方程的解，求，的值．
23. 本小题分
    某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买、两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买种件、种件，共需元；若购买种件、种件，共需元．
    、两种奖品每件各多少元？
    学校决定现要购买种奖品件、种奖品件，那么总费用是多少元？
24. 本小题分
    如图，点为上的点，为上的点，，．
    求证：．
    证明：已知，，______，
    ______
    __________________
    ______
    ______，
    ____________
    ______，

25. 本小题分
    如图，在中，，垂足为，点在上，，垂足为．
    与平行吗？为什么？
    如果，吗？为什么？

26. 本小题分
    如图，已知数轴上的点、对应的数分别是和．
    若到点、的距离相等，求点对应的数；
    动点从点出发，以个长度单位秒的速度向右运动，设运动时间为秒，问：是否存在某个时刻，恰好使得到点的距离是点到点的距离的倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
    若动点从点出发向点运动，同时，动点从点出发向点运动，经过秒相遇；若动点从点出发向点运动，同时，动点从点出发与点同向运动，经过秒相遇，试求点与点的运动速度长度单位秒．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：含有个未知数，不属于二元一次方程，不符合题意；
B.未知数的项的最高次数是，不属于二元一次方程，不符合题意；
C.含有个未知数，不属于二元一次方程，不符合题意；
D.含有个未知数，未知数的项的最高次数是的整式方程，属于二元一次方程，符合题意．
故选：．
根据二元一次方程的定义可得答案．
此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：将代入等式成立，符合题意；
将代入，得到，等式不成立，不符题意；
将代入，得到，等式不成立，不符题意；
将代入，得到，等式不成立，不符题意；
故选：．
分别将选项中的解代入方程，检验方程是否成立，即可求解．
本题考查二元一次方程的解，理解方程的解与方程的关系，并能准确代入运算是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、对顶角相等，是命题，符合题意；
B、延长线段到，没有作出判断，不是命题，不符合题意；
C、过点作直线，没有作出判断，不是命题，不符合题意；
D、锐角都相等吗，没有作出判断，不是命题，不符合题意；
故选：．
根据命题的概念判断即可．
本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题．
 

4.【答案】 

【解析】解：、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故此选项不符合题意；
B、的两边分别是的两边的反向延长线，与是对顶角，故此选项符合题意；
C、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故此选项不符合题意；
D、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故此选项不符合题意；
故选：．
根据对顶角的概念判断即可．
本题考查了对顶角的定义．解题的关键是掌握对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
将代入，得，
即，
故选：．
将代入得出，再去掉括号即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图用直尺和三角尺画平行线，用到的原理是：同位角相等，两直线平行．
故选：．
根据平行线的判定解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握平行线的判定方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：将代入中，
得，
解得．
故选：．
将代入中，即可转化为关于的一元一次方程，解答即可．
此题考查了二元一次方程的解，对方程解的理解，直接代入方程求值即可．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短．
故选：．
由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出分析和判断．
本题考查了垂线段最短性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
得：
，
，
故选：．
把三个方程相加，进行计算即可解答．
本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，出现的小方格体需顺时针旋转，向右平移至边界．
故选：．
根据小方格体的两格与三格的不同，结合要填入的空格的形状解答．
本题考查了利用旋转设计图案，利用平移设计图案，认准小方格的特征与需要填入的空格的形状是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，得，．
故选：．
直接用即可得出结论．
本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．

故选：．
由直角三角板的性质可知，再根据平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

13.【答案】 

【解析】解：方程，
解得：．
故答案为：．
把看做已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
．
当为小于的奇数时，有正整数解．
所以满足条件的解有：，；，；，；，；，共个．
故答案为：．
先用含的代数式表示，根据能被整除的数的特点可得结论．
本题考查了二元一次方程的解，掌握“奇数与偶数的和或差是奇数”、“奇数与奇数的和或差是偶数”、“能被整除的数是偶数”是解决本题的关键．
 

15.【答案】相交或平行 

【解析】

【分析】
本题是基础题型，主要考查了在同一平面内，两条直线的两种位置关系．
根据在同一平面内，两条直线的位置关系可知．
【解答】
解：在同一平面内，两条直线有种位置关系，它们是相交或平行．
故答案为：平行或相交  

16.【答案】与不平行 

【解析】解：反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时，
首先应假设与不平行，
故答案为：与不平行．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

17.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据幂的乘方和积的乘方运算法则求解．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握运算法则．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意可得：
地毯的水平长度米，地毯的垂直长度米，
地毯的长度至少需要：米，
故答案为：．
利用平移可得地毯的水平长度等于的长，地毯的垂直长度等于的长，然后进行计算即可解答．
本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得出，求出即可．
本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
 

20.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了新定义、整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则以及一元一次方程的解法．
根据题意给出的运算法则，然后将其原式进行化简即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：，
，
，
，
故答案为．  

21.【答案】解：，
由，可得：，
代入，可得：，
解得，
把代入，可得：，
原方程组的解是．

，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是． 

【解析】应用代入消元法，求出方程组的解即可．
应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

22.【答案】解：把和代入方程得：，
解得：，
则，的值分别为，． 

【解析】把与的值代入方程计算即可求出与的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

23.【答案】解：设种奖品每件元，种奖品每件元，
依题意得：
解得：，
答：种奖品每件元，种奖品每件元；
由题意得：元，
答：总费用是元． 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设种奖品每件元，种奖品每件元，由题意：若购买种件、种件，共需元；若购买种件、种件，共需元．列出方程组，解方程组即可；
由题意结合的结果列式计算即可．
 

24.【答案】对顶角相等  等量代换      内错角相等，两直线平行  两直线平行，同位角相等  已知    等量代换  内错角相等，两直线平行 

【解析】解：已知，，对顶角相等，
等量代换，
内错角相等，两直线平行，
 两直线平行，同位角相等，
已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行．
故答案为：对顶角相等；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
根据已知条件及对顶角相等求得同位角，从而推知两直线，所以同位角；然后由已知条件推知内错角，所以两直线．
本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
 

25.【答案】解：，
理由是：，，
，
．

，
理由是：，
，
，
，
． 

【解析】根据垂直定义得出，根据平行线判定推出即可；
根据平行线的性质得出，推出，根据平行线的判定推出即可．
本题考查了对垂直定义和平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和猜想能力．
 

26.【答案】解：设点对应的数为，则，，
，
，
解得：，
答：点对应的数为；
存在，
对应的数为，
，，
，
，
当时，；
当时，；
答：当或时，恰好使得到点的距离是点到点的距离的倍；
设点的运动速度单位长度秒，点的运动速度单位长度秒，
根据题意得：，
解得：，
答：点的运动速度单位长度秒，点的运动速度单位长度秒． 

【解析】设点对应的数为，则，，由列出一元一次方程，解方程即可求出点对应的数；
对应的数为，进而表示出，，根据，得出，解方程即可得出答案；
设点的运动速度单位长度秒，点的运动速度单位长度秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案．
本题考查了一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程或二元一次方程组是解决问题的关键．