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2022届高中数学一轮复习 第十一章 高考大题专项(六) 概率与统计 精品课件
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这是一份2022届高中数学一轮复习 第十一章 高考大题专项(六) 概率与统计 精品课件，共60页。PPT课件主要包含了考情分析，典例剖析，2由题意得，类型四二项分布等内容，欢迎下载使用。
一、考查范围全面概率与统计解答题对知识点的考查较为全面,近五年的试题考点覆盖了概率与统计必修与选修的各个章节内容,考查了抽样方法、统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体、回归分析、相关系数的计算、独立性检验、古典概型、条件概率、相互独立事件的概率、独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差、超几何分布、二项分布、正态分布等基础知识和基本方法.
二、考查方向分散从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及函数知识、概率分布列等知识交汇考查;三是期望与方差的综合应用,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等知识交汇考查;四是以生活中的实际问题为背景将正态分布与随机变量的期望和方差相结合综合考查.
三、考查难度稳定高考对概率与统计解答题的考查难度稳定,多年来都控制在中等或中等偏上一点的程度,解答题一般位于试卷的第18题或第19题的位置.近两年有难度提升的趋势,位置有所后调.
【例1】 某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示,该基地周光照量X(单位:小时)都在30小时以上,其中不足50小时的有5周,不低于50小时且不超过70小时的有35周,超过70小时的有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量y(单位:千克)与使用某种液体肥料的质量x(单位:千克)之间的关系如图所示.
(1)依据上图,是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01).(若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制,并有如下关系:
若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3 000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1 000元.以频率作为概率,商家欲使周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台?
(2)记商家周总利润为Y元,由条件可知至少需安装1台,最多安装3台光照控制仪.①安装1台光照控制仪可获得周总利润3 000元.②安装2台光照控制仪的情形:当X>70时,只有1台光照控制仪运行,此时周总利润Y=3 000-1 000=2 000(元),所以E(Y)=2 000×0.2+6 000×0.8=5 200(元).
所以E(Y)=1 000×0.2+5 000×0.7+9 000×0.1=4 600(元).综上可知,为使商家周总利润的均值达到最大,应该安装2台光照控制仪.
对点训练1 近年来,随着互联网技术的快速发展,共享经济覆盖的范围迅速扩张,继共享单车、共享汽车之后,共享房屋以“民宿”“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天.得到的统计数据如下表,x为收费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天),以频率作为各自的“入住率”,收费标准x与“入住率”y的散点图如图.
(1)若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查,记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数,求ξ的概率分布列.
(3)若一年按365天计算,试估计收费标准为多少时,年销售额L最大?(年销售额L=365·入住率·收费标准x)
题型二 独立性检验的综合问题【例2】 某学校高二年级的第二学期,因某学科的任课教师王老师调动工作,于是更换了另一名教师赵老师继任.第二学期结束后从全学年的该门课的学生考试成绩中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本,用茎叶图表示如下:
学校秉持均衡发展、素质教育的办学理念,对教师的教学成绩实行绩效考核,绩效考核方案规定:每个学期的学生成绩中与其中位数相差在±10范围内(含±10)的为合格,此时相应的给教师赋分为1分;与中位数之差大于10的为优秀,此时相应的给教师赋分为2分;与中位数之差小于-10的为不合格,此时相应的给教师赋分为-1分.(1)问王老师和赵老师的教学绩效考核成绩的期望值哪个大?(2)是否有95%的把握认为“学生成绩取得优秀与更换老师有关”.
解 (1)第一学期的数据为43,44,49,52,53,56,57,59,62,64,65,65,65,68,72,73,75,76,78,83,84,87,88,93,95,其“中位数”为65,优秀有8个,合格有12个,不合格有5个.∴王老师的教学绩效考核成绩X的分布列为
第二学期的数据为44,49,52,54,54,58,59,60,61,62,63,63,65,66,67,70,71,72,72,73,77,81,88,88,94,其“中位数”为65,优秀有5个,合格有15个,不合格有5个,∴赵老师的教学绩效考核成绩Y的分布列为
解题心得有关独立性检验的问题的解题步骤:(1)作出2×2列联表;(2)计算随机变量K2的值;(3)查临界值,检验作答.
对点训练2手机支付也称为移动支付,是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.随着信息技术的发展,手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式.某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查,随机抽取了100人,其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示:(年龄单位:岁)
(1)若以45岁为分界点,根据以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关?(2)若从年龄在[55,65),[65,75]的样本中各随机选取2人进行座谈,记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.参考数据:
解 (1)由统计表可得,低于45岁人数为70人,不低于45岁人数为30人,可得列联表如下:故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关.
题型三 离散型随机变量的分布列(多维探究)类型(一) 互斥事件、独立事件的概率及分布列【例3】 随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2 000个学员第1次参加科目二考试进行了统计,得到下表:
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元,求X的分布列与数学期望.
解题心得使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答这类问题并得分的根本保证.引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确,使得问题描述有条理,不会有遗漏,也不会重复.
类型(二) 超几何分布【例4】 某市为了解本市1万名小学生的普通话水平,在全市范围内进行了普通话测试,测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计,发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69,49).(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生,求这名小学生的普通话测试成绩在(62,90]内的概率;(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩,对应的数据如下:50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个,记X表示大于总体平均分的个数,求X的方差.参考数据:若Y~N(μ,σ2),则P(μ-σ
类型(三) 古典概型及分布列的综合【例5】 1995年联合国教科文组织把每年4月23日确定为“世界读书日”,为提升学生的文化素养,养成多读书、读好书的文化生活习惯,某中学开展图书源流活动,让图书发挥它的最大价值,该校某班图书角有文学名著类图书5本,学科辅导书类图书3本,其他类图书2本,共10本不同的图书,该班班委会从图书角的10本不同的图书中随机挑选3本不同的图书参加学校的图书漂流活动.(1)求选出的三本图书来自两个不同类别的概率;(2)设随机变量X表示选出的3本图书中,文学名著类本数与学科辅导类本数差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
解题心得利用古典概型求解分布列的概率一定要注意事件的等可能性以及事件的组成,若涉及排列、组合求解基本事件的个数,则需分清元素有序与无序,分清排列还是组合,做到不重不漏.
【例6】某兴趣小组在科学馆的帕斯卡三角仪器前进行探究实验.如图所示,每次使一个实心小球从帕斯卡三角仪器的顶部入口落下,当它在依次碰到每层的菱形挡板时,会等可能地向左或者向右落下,在最底层的7个出口处各放置一个容器接住小球,该小组连续进行200次试验,并统计容器中的小球个数得到柱状图:
(1)用该实验来估测小球落入4号容器的概率,若估测结果的误差小于5%,则称该实验是成功的.试问:该兴趣小组进行的实验是否成功?(2)再取3个小球进行试验,设其中落入4号容器的小球个数为X,求X的分布列与数学期望.(计算时采用概率的理论值).
解题心得对于实际问题中的随机变量X,如果能够断定它服从二项分布B(n,p),则其概率、均值与方差可直接利用公式(k=0,1,2,…,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得,因此,熟记二项分布的相关公式,可以避免烦琐的运算过程,提高运算速度和准确度.
对点训练3某发电厂新引进4台发电机,已知每台发电机一个月中至多出现1次故障,且每台发电机是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修,每台发电机出现故障的概率为 .(1)若一个月中出现故障的发电机台数为X,求X的分布列及数学期望E(X)和方差D(X);(2)该发电厂至少有多少名工人,才能保证每台发电机在任何时刻同时出现故障时,能及时进行维修的概率不少于90%?(3)已知一名工人每月只有维修1台发电机的能力,每台发电机不出现故障或出现故障能及时维修,就使该厂产生2万元的利润,否则将不产生利润,若该发电厂现有2名工人,要使求该发电厂每月获利的均值不少于6万元,则该发电厂每月需支付给每位工人的工资最多为多少万元?
题型四 样本的均值、方差与正态分布的综合【例7】 某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛,计分规则如下表:
(1)现从样本的100名学生跳绳个数中,任意抽取2人的跳绳个数,求两人得分之和小于35分的概率;(用最简分数表示)(2)若该校高二年级共有2 000名学生,所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中σ2≈225,μ为样本平均数
的估计值(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表).利用所得的正态分布模型,解决以下问题:
年级组为了解学生的体质,随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本,绘制了如下样本频率分布直方图.
(ⅰ)估计每分钟跳绳164个以上的人数(结果四舍五入到整数);(ⅱ)若在全年级所有学生中随机抽取3人,每分钟跳绳在179个以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望与方差.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ
解题心得解决正态分布有关的问题,在理解μ,σ2意义的情况下,记清正态分布的密度曲线是一条关于x=μ对称的钟形曲线,很多问题都是利用图象的对称性解决的.
对点训练4在某市高中某学科竞赛中,某一个区4 000名考生的参赛成绩统计如图所示.(1)求这4 000名考生的竞赛平均成绩 (同一组中数据用该组区间中点值作代表);
(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况,现从全市参赛考生中随机抽取4名考生,记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ,求P(ξ≤3).(精确到0.001)②z~N(μ,σ2),则P(μ-σ
(2)依题意z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ= =70.5,σ2=S2=204.75,σ=14.31,∴z服从正态分布N(μ,σ2)=N(70.5,14.312),而P(μ-σ题型五 概率与分布列与其他知识总合交汇【例8】 (2019全国1,理21)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(ⅰ)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ⅱ)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
解 (1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列为
(2)(ⅰ)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.
解题心得若离散型随机变量分布列与其他知识交汇综合,则需把问题分解成各个基础知识进行逐个求解.本题就是利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.
对点训练5某部门拟抽检博士学位论文约6 000篇,预算为800万元.每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议,3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的学位论文,将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文,将再送2位同行专家进行复评,2位复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的学位论文,将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为p(0
一、考查范围全面概率与统计解答题对知识点的考查较为全面,近五年的试题考点覆盖了概率与统计必修与选修的各个章节内容,考查了抽样方法、统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体、回归分析、相关系数的计算、独立性检验、古典概型、条件概率、相互独立事件的概率、独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差、超几何分布、二项分布、正态分布等基础知识和基本方法.
二、考查方向分散从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及函数知识、概率分布列等知识交汇考查;三是期望与方差的综合应用,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等知识交汇考查;四是以生活中的实际问题为背景将正态分布与随机变量的期望和方差相结合综合考查.
三、考查难度稳定高考对概率与统计解答题的考查难度稳定,多年来都控制在中等或中等偏上一点的程度,解答题一般位于试卷的第18题或第19题的位置.近两年有难度提升的趋势,位置有所后调.
【例1】 某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示,该基地周光照量X(单位:小时)都在30小时以上,其中不足50小时的有5周,不低于50小时且不超过70小时的有35周,超过70小时的有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量y(单位:千克)与使用某种液体肥料的质量x(单位:千克)之间的关系如图所示.
(1)依据上图,是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01).(若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制,并有如下关系:
若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3 000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1 000元.以频率作为概率,商家欲使周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台?
(2)记商家周总利润为Y元,由条件可知至少需安装1台,最多安装3台光照控制仪.①安装1台光照控制仪可获得周总利润3 000元.②安装2台光照控制仪的情形:当X>70时,只有1台光照控制仪运行,此时周总利润Y=3 000-1 000=2 000(元),所以E(Y)=2 000×0.2+6 000×0.8=5 200(元).
所以E(Y)=1 000×0.2+5 000×0.7+9 000×0.1=4 600(元).综上可知,为使商家周总利润的均值达到最大,应该安装2台光照控制仪.
对点训练1 近年来,随着互联网技术的快速发展,共享经济覆盖的范围迅速扩张,继共享单车、共享汽车之后,共享房屋以“民宿”“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天.得到的统计数据如下表,x为收费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天),以频率作为各自的“入住率”,收费标准x与“入住率”y的散点图如图.
(1)若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查,记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数,求ξ的概率分布列.
(3)若一年按365天计算,试估计收费标准为多少时,年销售额L最大?(年销售额L=365·入住率·收费标准x)
题型二 独立性检验的综合问题【例2】 某学校高二年级的第二学期,因某学科的任课教师王老师调动工作,于是更换了另一名教师赵老师继任.第二学期结束后从全学年的该门课的学生考试成绩中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本,用茎叶图表示如下:
学校秉持均衡发展、素质教育的办学理念,对教师的教学成绩实行绩效考核,绩效考核方案规定:每个学期的学生成绩中与其中位数相差在±10范围内(含±10)的为合格,此时相应的给教师赋分为1分;与中位数之差大于10的为优秀,此时相应的给教师赋分为2分;与中位数之差小于-10的为不合格,此时相应的给教师赋分为-1分.(1)问王老师和赵老师的教学绩效考核成绩的期望值哪个大?(2)是否有95%的把握认为“学生成绩取得优秀与更换老师有关”.
解 (1)第一学期的数据为43,44,49,52,53,56,57,59,62,64,65,65,65,68,72,73,75,76,78,83,84,87,88,93,95,其“中位数”为65,优秀有8个,合格有12个,不合格有5个.∴王老师的教学绩效考核成绩X的分布列为
第二学期的数据为44,49,52,54,54,58,59,60,61,62,63,63,65,66,67,70,71,72,72,73,77,81,88,88,94,其“中位数”为65,优秀有5个,合格有15个,不合格有5个,∴赵老师的教学绩效考核成绩Y的分布列为
解题心得有关独立性检验的问题的解题步骤:(1)作出2×2列联表;(2)计算随机变量K2的值;(3)查临界值,检验作答.
对点训练2手机支付也称为移动支付,是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.随着信息技术的发展,手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式.某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查,随机抽取了100人,其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示:(年龄单位:岁)
(1)若以45岁为分界点,根据以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关?(2)若从年龄在[55,65),[65,75]的样本中各随机选取2人进行座谈,记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.参考数据:
解 (1)由统计表可得,低于45岁人数为70人,不低于45岁人数为30人,可得列联表如下:故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关.
题型三 离散型随机变量的分布列(多维探究)类型(一) 互斥事件、独立事件的概率及分布列【例3】 随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2 000个学员第1次参加科目二考试进行了统计,得到下表:
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元,求X的分布列与数学期望.
解题心得使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答这类问题并得分的根本保证.引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确,使得问题描述有条理,不会有遗漏,也不会重复.
类型(二) 超几何分布【例4】 某市为了解本市1万名小学生的普通话水平,在全市范围内进行了普通话测试,测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计,发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69,49).(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生,求这名小学生的普通话测试成绩在(62,90]内的概率;(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩,对应的数据如下:50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个,记X表示大于总体平均分的个数,求X的方差.参考数据:若Y~N(μ,σ2),则P(μ-σ
类型(三) 古典概型及分布列的综合【例5】 1995年联合国教科文组织把每年4月23日确定为“世界读书日”,为提升学生的文化素养,养成多读书、读好书的文化生活习惯,某中学开展图书源流活动,让图书发挥它的最大价值,该校某班图书角有文学名著类图书5本,学科辅导书类图书3本,其他类图书2本,共10本不同的图书,该班班委会从图书角的10本不同的图书中随机挑选3本不同的图书参加学校的图书漂流活动.(1)求选出的三本图书来自两个不同类别的概率;(2)设随机变量X表示选出的3本图书中,文学名著类本数与学科辅导类本数差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
解题心得利用古典概型求解分布列的概率一定要注意事件的等可能性以及事件的组成,若涉及排列、组合求解基本事件的个数,则需分清元素有序与无序,分清排列还是组合,做到不重不漏.
【例6】某兴趣小组在科学馆的帕斯卡三角仪器前进行探究实验.如图所示,每次使一个实心小球从帕斯卡三角仪器的顶部入口落下,当它在依次碰到每层的菱形挡板时,会等可能地向左或者向右落下,在最底层的7个出口处各放置一个容器接住小球,该小组连续进行200次试验,并统计容器中的小球个数得到柱状图:
(1)用该实验来估测小球落入4号容器的概率,若估测结果的误差小于5%,则称该实验是成功的.试问:该兴趣小组进行的实验是否成功?(2)再取3个小球进行试验,设其中落入4号容器的小球个数为X,求X的分布列与数学期望.(计算时采用概率的理论值).
解题心得对于实际问题中的随机变量X,如果能够断定它服从二项分布B(n,p),则其概率、均值与方差可直接利用公式(k=0,1,2,…,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得,因此,熟记二项分布的相关公式,可以避免烦琐的运算过程,提高运算速度和准确度.
对点训练3某发电厂新引进4台发电机,已知每台发电机一个月中至多出现1次故障,且每台发电机是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修,每台发电机出现故障的概率为 .(1)若一个月中出现故障的发电机台数为X,求X的分布列及数学期望E(X)和方差D(X);(2)该发电厂至少有多少名工人,才能保证每台发电机在任何时刻同时出现故障时,能及时进行维修的概率不少于90%?(3)已知一名工人每月只有维修1台发电机的能力,每台发电机不出现故障或出现故障能及时维修,就使该厂产生2万元的利润,否则将不产生利润,若该发电厂现有2名工人,要使求该发电厂每月获利的均值不少于6万元,则该发电厂每月需支付给每位工人的工资最多为多少万元?
题型四 样本的均值、方差与正态分布的综合【例7】 某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛,计分规则如下表:
(1)现从样本的100名学生跳绳个数中,任意抽取2人的跳绳个数,求两人得分之和小于35分的概率;(用最简分数表示)(2)若该校高二年级共有2 000名学生,所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中σ2≈225,μ为样本平均数
的估计值(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表).利用所得的正态分布模型,解决以下问题:
年级组为了解学生的体质,随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本,绘制了如下样本频率分布直方图.
(ⅰ)估计每分钟跳绳164个以上的人数(结果四舍五入到整数);(ⅱ)若在全年级所有学生中随机抽取3人,每分钟跳绳在179个以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望与方差.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ
解题心得解决正态分布有关的问题,在理解μ,σ2意义的情况下,记清正态分布的密度曲线是一条关于x=μ对称的钟形曲线,很多问题都是利用图象的对称性解决的.
对点训练4在某市高中某学科竞赛中,某一个区4 000名考生的参赛成绩统计如图所示.(1)求这4 000名考生的竞赛平均成绩 (同一组中数据用该组区间中点值作代表);
(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况,现从全市参赛考生中随机抽取4名考生,记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ,求P(ξ≤3).(精确到0.001)②z~N(μ,σ2),则P(μ-σ
(2)依题意z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ= =70.5,σ2=S2=204.75,σ=14.31,∴z服从正态分布N(μ,σ2)=N(70.5,14.312),而P(μ-σ
(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(ⅰ)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ⅱ)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
解 (1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列为
(2)(ⅰ)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.
解题心得若离散型随机变量分布列与其他知识交汇综合,则需把问题分解成各个基础知识进行逐个求解.本题就是利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.
对点训练5某部门拟抽检博士学位论文约6 000篇,预算为800万元.每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议,3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的学位论文,将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文,将再送2位同行专家进行复评,2位复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的学位论文,将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为p(0
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