广西南宁市第三中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)

这是一份广西南宁市第三中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广西南宁三中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）2020年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至2022年5月14日，累计确诊人数超过520000000例，抗击疫情成为全人类共同的战役．确诊病例“520000000”用科学记数法可表示为（　　）
A．5.2×109 B．5.2×108 C．52×107 D．0.52×109
2．（3分）下列各图象中不表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）以下列各组数为边长能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．6，8，11
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝1.5，则两人射击成绩波动情况是（　　）
A．.甲波动大 B．乙波动大
C．.甲、乙波动一样大 D．.无法比较
6．（3分）下列关于特殊平行四边形的判定说法中，正确的是（　　）
A．四个内角相等的四边形为矩形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形为矩形
D．有一条对角线所在直线恰好是对称轴的四边形为菱形
7．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（　　）

A．4 B．4 C．3 D．5
8．（3分）关于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论正确的是（　　）
A．图象过点（1，﹣2）
B．图象经过第一、二、三象限
C．y随x的增大而增大
D．当x＞2时，y＜0
9．（3分）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，则下列方程正确的是（　　）
A．100（1+x）2＝64 B．100（1﹣x）2＝64
C．100（1+2x）＝64 D．100（1﹣2x）＝64
10．（3分）如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（　　）

A．4cm B．5cm C．cm D．cm
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（　　）

A．12 B．10 C．8 D．6
12．（3分）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（　　）

A．h B．h C．h D．h
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若二次根式有意义，则自变量x的取值范围是 　 　．
14．（3分）小颖同学参加学校举办的“抗击疫情，你我同行”主题演讲比赛，她的演讲内容、语言表达和形象风度三项得分分别为86分、90分、80分，若这三项依次按照50%，40%，10%的百分比确定成绩，则她的成绩为 　 　．
15．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+n＝0有两个相等的实数根，则n＝　 　．
16．（3分）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于k2x＜k1x+b的不等式的解为 　 　．

17．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 　 　．

18．（3分）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连结AH，CG．若AB＝10，AD＝6，EF＝4，则AH+CG的最小值为 　 　．

三、解答题。（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（6分）计算：（﹣2）3﹣|﹣5|+；
20．（6分）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．
21．（8分）如图，BD为▱ABCD的对角线．
（1）作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC，BD于点E，F，O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，求证：四边形BEDF为菱形．

22．（8分）北京冬奥会开幕式以24节气为倒计时，充分展现了我国传统文化的博大精深．
某中学在八、九年级共1200名学生中开展“中国24节气”知识竞赛，并从八、九年级学生中各抽取20名学生统计他们的竞赛成绩（竞赛成绩为整数，满分10分，6分及以上为合格），相关数据统计、整理如下：
九年级抽取的学生的竞赛成绩：4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．

八，九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
八年级
九年级
平均数
7.4
7.4
中位数
a
b
众数
7
c
合格率
85%
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）若该校八年级700人，九年级500人，估计这1200名学生中成绩达8分及以上的总人数；
（3）根据以上数据分析，选一个方面评价哪个年级学生的本次知识竞赛成绩更优异．
23．（8分）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
【实践操作】勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，图1、图2、图3是三种常见的证明方法，请你从中任选一种证明勾股定理（图中出现的直角三角形大小形状均相同）．
【探索发现】如图4，以直角三角形的三边为边向外部作等边三角形，请判断S1、S2、S3的数量关系并说明理由．


24．（10分）为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶 A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到 A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往 A、B两村的运费如下表：
目的地车型
A村（元/辆）
B村（元/辆）
大货车
800
900
小货车
400
600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往 A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在 （2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
25．（10分）如图1，正方形ABCD的边长为4．动点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿A→D→A运动；动点G从点A出发，以每秒1个单位的速度沿A→B运动，两点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点随之也停止运动．过点G作FG⊥AB交AC于点F．设运动时间为t（单位：秒）．以FG为一直角边向右作等腰直角三角形FGH，△FGH与正方形ABCD重叠部分图形的面积为S．

（1）当t＝1.5时，S＝　 　；
（2）当t＝3时，求S的值；
（3）设DE＝y，在图2的坐标系中，求出y与t的函数关系式并直接画出函数图象．

26．（10分）（1）方法回顾
在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：
第一步添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF；
第二步证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到中位线DE与BC的关系是 　 　；（直接填写结果）
（2）问题解决
如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
（3）拓展研究
如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．


2021-2022学年广西南宁三中八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）2020年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至2022年5月14日，累计确诊人数超过520000000例，抗击疫情成为全人类共同的战役．确诊病例“520000000”用科学记数法可表示为（　　）
A．5.2×109 B．5.2×108 C．52×107 D．0.52×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：520000000＝5.2×108．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
2．（3分）下列各图象中不表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】依据函数的定义，x取一个值，y有唯一值对应，可直接得出答案．
【解答】解：A．根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，故A选项是函数，
B．根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，故B选项是函数，
C．根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，故C选项是函数，
D．根据图象知给自变量一个值，都有2个函数值与其对应，故D选项不是函数，
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数概念，任意画一条与x轴垂直的直线，始终与函数图象有一个交点，那么y是x的函数．
3．（3分）以下列各组数为边长能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．6，8，11
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
【解答】解：A、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、12+12＝（）2，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、62+82≠112，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则计算，进而判断得出答案．
【解答】解：A.+不能合并为一项，故此选项不合题意；
B.4﹣＝3，故此选项不合题意；
C.×＝，故此选项符合题意；
D.÷＝，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝1.5，则两人射击成绩波动情况是（　　）
A．.甲波动大 B．乙波动大
C．.甲、乙波动一样大 D．.无法比较
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】解：∵每人10次射击成绩的平均数都是8环，S甲2＝0.4，S乙2＝1.5，
∴S甲2＜S乙2，
∴乙波动大，
故选：B．
【点评】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
6．（3分）下列关于特殊平行四边形的判定说法中，正确的是（　　）
A．四个内角相等的四边形为矩形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形为矩形
D．有一条对角线所在直线恰好是对称轴的四边形为菱形
【分析】根据特殊四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可得到结论．
【解答】解：A、∵四个内角相等的四边形为矩形，故原命题符合题意；
B、∵四条边都相等的四边形是菱形，故原命题不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形为矩形，故原命题不符合题意；
D、有一条对角线所在直线恰好是对称轴的四边形不一定为菱形，

如图，四边形ABCD关于对角线AC 为对称，但四边形ABCD不是菱形，
故原命题不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定，熟练掌握矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定方法是解题的关键．
7．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（　　）

A．4 B．4 C．3 D．5
【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝3即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD＝3，AC＝BD＝6，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
8．（3分）关于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论正确的是（　　）
A．图象过点（1，﹣2）
B．图象经过第一、二、三象限
C．y随x的增大而增大
D．当x＞2时，y＜0
【分析】根据一次函数的性质以及图象上点的坐标特征对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵当x＝1时，y＝2，
∴图象经过点（1，2），故本选项错误；
B、∵k＝﹣2＜0，b＝4＞0，
∴图象经过第一、二、四象限，故本选项错误；
C、∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y＝0，
∴当x＞2时，y＜0，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降是解答此题的关键．
9．（3分）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，则下列方程正确的是（　　）
A．100（1+x）2＝64 B．100（1﹣x）2＝64
C．100（1+2x）＝64 D．100（1﹣2x）＝64
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：根据题意得：100（1﹣x）2＝64，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
10．（3分）如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（　　）

A．4cm B．5cm C．cm D．cm
【分析】先把圆柱体沿AB剪开，则AD的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求出AC的长．
【解答】解：如图所示，圆柱体的侧面展开图为：
∵底面圆周长为8cm，
∴AD＝BC＝4cm，
又∵AB＝3cm，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝5（cm），
∴蚂蚁爬行的最短路程为5cm，
故选：B．

【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（　　）

A．12 B．10 C．8 D．6
【分析】∵△AD′C≌△CBA，∴△AD′F≌△CBF，得△AD′F与△CBF面积相等，设BF＝x，列出关于x的关系式，解得x的值即可解题．
【解答】解：∵△AD′C≌△CBA，
∴△AD′F≌△CBF，
∴△AD′F与△CBF面积相等，
设BF＝x，则（8﹣x）2＝x2+42，
64﹣16x+x2＝x2+16，
16x＝48，
解得x＝3，
∴△AFC的面积＝×4×8﹣×3×4＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边相等的性质，矩形各内角为直角的性质，本题中正确计算BF的值是解题的关键．
12．（3分）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（　　）

A．h B．h C．h D．h
【分析】根据图象得出，慢车的速度为，快车的速度为．从而得出快车和慢车对应的y与t的函数关系式．联立两个函数关系式，求解出图象对应两个交点的坐标，即可得出间隔时间．
【解答】解：根据图象可知，慢车的速度为．
对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是4 h，
因此单程所花时间为2 h，故其速度为．
所以对于慢车，y与t的函数表达式为①．
对于快车，y与t的函数表达式为y＝，
联立①②，可解得交点横坐标为t＝3，
联立①③，可解得交点横坐标为t＝4.5，
因此，两车先后两次相遇的间隔时间是1.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查根据函数图象求一次函数表达式，以及求两个一次函数的交点坐标．解题的关键是利用图象信息得出快车和慢车的速度，进而写出y与t的关系．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若二次根式有意义，则自变量x的取值范围是 　x≥2　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14．（3分）小颖同学参加学校举办的“抗击疫情，你我同行”主题演讲比赛，她的演讲内容、语言表达和形象风度三项得分分别为86分、90分、80分，若这三项依次按照50%，40%，10%的百分比确定成绩，则她的成绩为 　87分　．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：根据题意，她的成绩为86×50%+90×40%+80×10%＝87（分），
故答案为：87分．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的额关键是掌握加权平均数的定义．
15．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+n＝0有两个相等的实数根，则n＝　　．
【分析】根据一元二次方程根的判别式等于零求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝9﹣4n＝0，
∴n＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．
16．（3分）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于k2x＜k1x+b的不等式的解为 　x＜﹣1　．

【分析】写出直线y＝k2x在直线k1x+b下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵直线y＝k2x和直线k1x+b的交点坐标为（﹣1，﹣2），
∴当x＜﹣1时，k2x＜k1x+b．
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 　12　．

【分析】根据勾股定理求出BC，根据直角三角形斜边上的中线性质求出DE和DF，根据三角形的中位线性质求出EF，再求出答案即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝10，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10，
∴DE＝AB＝4，DF＝AC＝3，EF＝BC＝5，
∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝5+4+3＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的中位线性质等知识点，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连结AH，CG．若AB＝10，AD＝6，EF＝4，则AH+CG的最小值为 　6　．

【分析】方法一：延长DA至A′，使A′A＝EH＝EF＝4，连接A′E，EG，可得四边形AA′EH是平行四边形，所以A′E＝AH，则AH+CG的最小值即为A′E+CG的最小值，根据勾股定理即可解决问题．方法二：过点G作GA′∥AH交AF于点A′，可得四边形AHGA′是平行四边形，进而可以解决问题．
【解答】解：方法一：如图，延长DA至A′，使A′A＝EH＝EF＝4，连接A′E，EG，

∵HE⊥AB，AA′⊥AB，
∴AA′∥EH，
∵A′A＝EH，
∴四边形AA′EH是平行四边形，
∴A′E＝AH，
则AH+CG的最小值即为A′E+CG的最小值，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝FG＝4，
∴EG＝4，
∵A′D＝AD+AA′＝6+4＝10，
在Rt△A′DC中，DC＝AB＝10，
∴A′C＝＝10，
∴A′E+CG＝A′C﹣EG＝6．
则AH+CG的最小值为6．
方法二：如图，过点G作GA′∥AH交AF于点A′，

∴四边形AHGA′是平行四边形，
∴AA′＝HG＝4，A′G＝AH，
∴A′B＝AB﹣AA′＝6，
∵BC＝6，
∴A′C＝6，
∴AH+CG＝A′G+CG≥A′C，
则AH+CG的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
三、解答题。（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（6分）计算：（﹣2）3﹣|﹣5|+；
【分析】根据立方，绝对值，二次根式的乘法计算法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣8﹣5+
＝﹣13+6
＝﹣7．
【点评】本题考查实数的混合运算，解题关键是熟知立方，绝对值的定义以及二次根式的乘法计算法则．
20．（6分）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．
【分析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．
【解答】解：原方程可化为：（x﹣7）（x+1）＝0，
x﹣7＝0或x+1＝0；
解得：x1＝7，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
21．（8分）如图，BD为▱ABCD的对角线．
（1）作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC，BD于点E，F，O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，求证：四边形BEDF为菱形．

【分析】（1）利用基本作图作BD的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OD，EB＝ED，FB＝FD，再证明△ODE≌△OBF得到DE＝BF，则BE＝DE＝BF＝DF，然后根据菱形的判定方法得到结论．
【解答】（1）解：如图，EF为所作；

（2）证明：∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，EB＝ED，FB＝FD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
在△ODE和△OBF中，
，
∴△ODE≌△OBF（AAS），
∴DE＝BF，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∴四边形BEDF为菱形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定．
22．（8分）北京冬奥会开幕式以24节气为倒计时，充分展现了我国传统文化的博大精深．
某中学在八、九年级共1200名学生中开展“中国24节气”知识竞赛，并从八、九年级学生中各抽取20名学生统计他们的竞赛成绩（竞赛成绩为整数，满分10分，6分及以上为合格），相关数据统计、整理如下：
九年级抽取的学生的竞赛成绩：4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．

八，九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
八年级
九年级
平均数
7.4
7.4
中位数
a
b
众数
7
c
合格率
85%
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　7.5　，b＝　8　，c＝　8　；
（2）若该校八年级700人，九年级500人，估计这1200名学生中成绩达8分及以上的总人数；
（3）根据以上数据分析，选一个方面评价哪个年级学生的本次知识竞赛成绩更优异．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义判断即可；
（2）利用样本估计总体思想求解即可；
（3）从合格率角度可得九年级学生的本次知识竞赛成绩更优异．
【解答】解：（1）由图表可得：a＝＝7.5，b＝＝8，c＝8，
故答案为：7.5，8，8；
（2）这1200名学生中成绩达8分及以上的总人数约为：700×+500×＝350+275＝625（人），
（3）∵八年级的合格率低于九年级的合格率，
∴九年级学生的本次知识竞赛成绩更优异．
【点评】本题主要考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，掌握各个概念和计算方法是解题的关键．
23．（8分）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
【实践操作】勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，图1、图2、图3是三种常见的证明方法，请你从中任选一种证明勾股定理（图中出现的直角三角形大小形状均相同）．
【探索发现】如图4，以直角三角形的三边为边向外部作等边三角形，请判断S1、S2、S3的数量关系并说明理由．


【分析】【实践操作】在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得a2+b2＝c2．在图2中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得a2+b2＝c2．在图3中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：a2+b2＝c2．
【探索发现】由等边三角形的性质、三角形面积公式以及勾股定理即可得出结论．
【解答】【实践操作】证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即c2＝ab×4+（b﹣a）2，
整理得：a2+b2＝c2；
在图2中，连接MN，
则梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，
整理得：a2+b2＝c2；
在图3中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即（a+b）2＝c2+ab×4，
整理得：a2+b2＝c2；
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，
整理得：a2+b2＝c2；
【探索发现】S1+S2＝S3，理由如下：
设S3所在的等边三角形为△ABC，
如图4，过点A作AD⊥BC于D，
则∠BAD＝30°，∠ADB＝90°，
∴BD＝AB，
∴AD＝＝AB，
∴S3＝a•a＝a2，
同理：S2＝b•b＝b2，S1＝a•c＝c2，
∴S1+S2＝a2+b2＝（a2+b2），
∵a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3．


【点评】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理的证明、三角形面积公式、正方形面积公式、梯形面积公式、等边三角形的性质以及勾股定理的应用等知识，本题综合性强，熟练掌握勾股定理的证明和应用是解题的关键，属于中考常考题型．
24．（10分）为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶 A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到 A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往 A、B两村的运费如下表：
目的地车型
A村（元/辆）
B村（元/辆）
大货车
800
900
小货车
400
600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往 A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在 （2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
【分析】（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列方程组求解；
（2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（8﹣x）辆，前往A村的小货车为（10﹣x）辆，前往B村的小货车为[7﹣（10﹣x）]辆，根据表格所给运费，求出y与x的函数关系式；
（3）结合已知条件，求x的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．
【解答】解：（1）设大货车用a辆，小货车用b辆，
根据题意得：
解得：，
∴大货车用8辆，小货车用7辆；
（2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（8﹣x）辆，前往A村的小货车为（10﹣x）辆，前往B村的小货车为[7﹣（10﹣x）]辆，
根据题意得：y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400，
∴y与x的函数解析式为y＝100x+9400，（3≤x≤8，且x为整数）；
（3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100，
解得：x≥5，
又∵3≤x≤8，
∴5≤x≤8且为整数，
∵y＝100x+9400，
k＝100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，y最小，最小值为y＝100×5+9400＝9900，
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往B村的大货车数x的关系．
25．（10分）如图1，正方形ABCD的边长为4．动点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿A→D→A运动；动点G从点A出发，以每秒1个单位的速度沿A→B运动，两点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点随之也停止运动．过点G作FG⊥AB交AC于点F．设运动时间为t（单位：秒）．以FG为一直角边向右作等腰直角三角形FGH，△FGH与正方形ABCD重叠部分图形的面积为S．

（1）当t＝1.5时，S＝　1.125　；
（2）当t＝3时，求S的值；
（3）设DE＝y，在图2的坐标系中，求出y与t的函数关系式并直接画出函数图象．

【分析】（1）由四边形ABCD是正方形得AB＝AD＝BC＝4，∠ABC＝90°，则∠BAC＝∠BCA＝45°，由∠FGH＝90°，GH＝GF得∠GHF＝∠GFH＝45°，则∠GHF＝∠BAC＝45°，所以AF＝HF，于是AH＝2t，GH＝GF＝t，当t＝1.5时，AH＝3＜4，可知GH在AB上，GH＝GF＝1.5，即可求出此时△FGH的面积，即S的值；
（2）当t＝3时，GH＝GF＝GA＝3＜4，AH＝2×3＝6＞4，可知点G在AB上，点H在AB的延长线上，即可由S＝S△GFH﹣S△BKH求出S的值；
（3）当0≤t≤2时，点E沿从A到D的方向运动，则y＝﹣2t+4；当2＜t≤4时，点E沿从D到A的方向运动，则y＝2t﹣4，再画出该函数的图象即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝4，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵FG⊥AB，
∴∠FGB＝90°，
∵∠FGH＝90°，GH＝GF，
∴点H在直线AB上，∠GHF＝∠GFH＝45°，
∴∠GHF＝∠BAC＝45°，
∴AF＝HF，
∴GH＝GA＝t，
∴AH＝2t，GH＝GF＝t，
当t＝1.5时，AH＝2×1.5＝3＜4，
此时GH在AB上，如图1甲，则GH＝GF＝1.5，
∴S＝S△FGH＝×1.5×1.5＝1.125，
故答案为：1.125．
（2）当t＝3时，GH＝GF＝GA＝3＜4，AH＝2×3＝6＞4，
此时点G在AB上，点H在AB的延长线上，如图1乙，FH交BC于点K，
∵∠HBK＝180°﹣∠ABC＝90°，∠GHF＝45°，
∴∠BKH＝∠BHK＝45°，
∴BK＝BH＝AH﹣AB＝6﹣4＝2，
∴S＝S△GFH﹣S△BKH＝×3×3﹣×2×2＝2.5．
（3）当0≤t≤2时，如图1甲，点E沿从A到D的方向运动，
∴y＝4﹣2t，
即y＝﹣2t+4；
当2＜t≤4时，如图1乙，点E沿从D到A的方向运动，
∴y＝2t﹣4，
综上所述，y＝；
该函数的图象如图所示．


【点评】此题重点考查正方形的性质、一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
26．（10分）（1）方法回顾
在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：
第一步添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF；
第二步证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到中位线DE与BC的关系是 　DE∥BC，BC＝2DE　；（直接填写结果）
（2）问题解决
如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
（3）拓展研究
如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．

【分析】（1）利用SAS证明△ADE≌△CFE，得到∠ADE＝∠F，再得▱BDFC，最后得到DE与BC的关系；
（2）过延长GE交CD的延长线于点H，得到三角形全等，求出FG的长度；
（3）延长GE至点M，使得EM＝GE，得三角形全等，和特殊的直角三角形，再求GF．
【解答】解：（1）∵点D和点E分别是AB和AC的中点，
∴AD＝AB，AE＝EC，
∵DE＝EF，∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠F＝∠ADE，AD＝CF＝BD，
∴AD∥AB，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴BC＝DF，
∴BC＝2DE．
故答案为：DE∥BC，BC＝2DE．
（2）延长GE交CD的延长线于点H，则：
∠AEG＝∠DEH，∠EAG＝∠EDH，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△AEG≌△DEH（AAS），
∴GE＝EH，HD＝AG＝3，
又∵∠GEF＝90°，
∴GF＝HF＝HD+DF＝3+4．
（3）延长GE至点M，使得EM＝EG，连接MD，MF，过点M作MN⊥CD，交CD的延长线于点N，
同（1）理可证，△AEG≌△DEM，
∴∠EDM＝∠EAG＝105°，MD＝AG＝3，
∵∠EDF＝120°，
∴∠MDF＝135°，
∴∠MDN＝45°，得△MDN为等腰直角三角形，
∴MN＝DN＝，
∴NF＝ND+FD＝，
∴MF＝，
∵GE＝EM，∠GEF＝90°，
∴MF＝GF，
∴GF＝．

【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质和判定．本题主要要求同学们掌握常见辅助线作法“倍长中线法”的解题技巧．