2022届河南省焦作市高三第一次模拟考试数学（理）试题含解析

2022届河南省焦作市高三第一次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简集合A，B，根据交集计算即可.

【详解】由已知可得，，

所以.

故选：C

2．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由复数的除法运算化简后即可写出复数的共轭复数.

【详解】由，得，

所以.

故选：A

3．已知命题：，，：，，则下列命题是真命题的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据条件判断命题、真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.

【详解】∵，，∴命题为假命题，即为真命题，

又∵，成立，∴命题为真命题，

∴为真命题．

故选：.

4．下列函数中，最小正周期为的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦型、余弦型、正切线函数的周期公式求解即可.

【详解】A项，，故A不符合；

B项，，故B不符合；

C项，，故C不符合；

D项，，故D符合.

故选：D

5．设函数的零点为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据零点存在性定理进行求解.

【详解】易知在R上单调递增且连续．由于，，，当时，，所以．

故选：B

6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（       ）

A． B． C．3 D．

【答案】A

【分析】由正弦定理求b，再由三角形面积公式求解.

【详解】因为，

由正弦定理化角为边可得，所以，

所以的面积.

故选：A

7．已知函数是奇函数，则使得的的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据求得，再根据单调性即可求解不等式.

【详解】令，得，

所以，定义域为，

，满足为奇函数，

因为在上单调递减，所以在上单调递减，

又，，所以使得的的取值范围是．

故选：C.

8．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（       ）

A．21种 B．231种 C．238种 D．252种

【答案】B

【分析】利用间接法求解，先求出任选5人的选法再减去甲乙丙三人都不被选的选法即可得解.

【详解】10人中选5人有种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有种，

则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有种.

故选：B

9．花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．如图所示是一个花窗图案，大圆为两个等腰直角三角形的外接圆，阴影部分是两个等腰直角三角形的内切圆．若在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设大圆的半径为，等腰直角三角形的内切圆的半径为，进而得出等腰直角三角形的边长，利用三角形面积公式列出方程，解出r的值，根据圆的面积公式求出阴影部分和大圆的面积，结合几何概型的概率公式计算即可.

【详解】设大圆的半径为，则等腰直角三角形的边长分别为，，，

设等腰直角三角形的内切圆的半径为，

则，解得，

则阴影部分的面积为，

大圆的面积为，

则该点取自阴影部分的概率为．

故选：D

10．已知函数的一个极值点为1，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用极值点的概念得到，结合基本不等式得到的最大值，从而得到的最大值为．

【详解】对求导得，因为函数的一个极值点为1，所以，所以，又，于是得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故的最大值为．

故选：D

11．如图，在正四面体中，是棱的中点，在棱上，且，则异面直线与所成的角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出辅助线，找到异面直线与所成角即为（或其补角），利用余弦定理求出，由勾股定理求出，利用余弦定理求出答案.

【详解】设为棱上与点最近的一个四等分点，连接，，，，则，所以异面直线与所成角即为（或其补角）．不妨设正四面体的棱长为4，则．在中，，，，由余弦定理得：，解得：，同理，．在等腰三角形中，．在中，，，，由余弦定理得，解得：．在中，由余弦定理得:．

故选：C

12．已知椭圆的左､右焦点分别为，，M为C上一点，且的内心为，若的面积为4b，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义，三角形的面积可求出椭圆的离心率，所求即为离心率的倒数可得解.

【详解】由题意可得，的内心到轴的距离就是内切圆的半径.

又点在椭圆上，由椭圆的定义，得，，即.

又，所以，

因为，

所以，即，

所以，解得或（舍去），

所以.

故选：B

二、填空题

13．已知向量，，若，则______．

【答案】

【分析】先求出向量的坐标，再根据向量垂直得数量积为0即可求出.

【详解】因为，且，

所以，解得．

故答案为：.

14．写出一个离心率与双曲线的离心率互为倒数的椭圆的标准方程：______．

【答案】（答案不唯一）

【分析】求出双曲线的离心率，进而求出椭圆的离心率，写出符合要求的椭圆方程.

【详解】双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，所以椭圆的标准方程可以为．

故答案为：

15．计算：___________.

【答案】

【分析】先切化弦，再根据二倍角的正弦公式、诱导公式、两角差的余弦公式化简即可得解.

【详解】

.

故答案为：

16．已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且是底边长为，面积为的等腰三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为___________.

【答案】

【分析】把三棱锥放入一个长方体中，转化为求长方体外接球的半径即可得解.

【详解】三棱锥可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，如图，

设，，长方体交于一个顶点的三条棱长为，，，则，解得.

由题得，

，，

解之得，，.

所以该三棱锥的外接球的半径为，

所以该三棱锥的外接球的表面积为.

故答案为：

三、解答题

17．某科技公司有甲､乙､丙三个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为，，.现安排甲组和乙组研发新产品A，丙组研发新产品B，设每个小组研发成功与否相互独立，且当甲组和乙组至少有一组研发成功时，新产品A就研发成功.

(1)求新产品A，B均研发成功的概率.

(2)若新产品A研发成功，预计该公司可获利润180万元，否则利润为0万元；若新产品B研发成功，预计该公司可获利润120万元，否则利润为0万元.求该公司研发A，B两种新产品可获总利润（单位：万元）的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列答案见解析，数学期望：

【分析】（1）设新产品研发成功为事件，根据对立事件的概率求，再由相互独立事件同时发生的概率公式求解；

（2）写出离散型随机变量的可能取值，求对应概率得到分布列求期望即可.

(1)

设新产品研发成功为事件，新产品研发成功为事件.

则，，

所以.

(2)

设该公司研发，两种新产品可获总利润为随机变量，

则的可能取值为0，120，180，300.

；；；

.

所以的分布列如下：

则数学期望.

18．已知数列是递增的等比数列，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意列出方程求出公比可得；

（2）根据错位相减法及分组求和即可得解.

(1)

设数列的公比为，，则.

由得，由得，

所以，解得或（舍去），

所以.

所以数列的通项公式为.

(2)

由条件知，设，

则，

将以上两式相减得，

所以.

设，

则.

19．如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，底面ABCD，，，平行四边形ABCD的面积为，设E是侧棱PC上一动点.

(1)求证：；

(2)记，若直线PC与平面ABE所成的角为60°，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)或

【分析】（1）证明再由线面垂直得出，可得平面，即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法计算求解.

(1)

平行四边形的面积为，，，

所以，解得.

在中，由，，，

得，

所以，即.

因为底面，所以，

又，所以平面.

又平面，所以.

(2)

以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，，，

所以点，，，.

设，由，得.

所以，

所以，，，即点.

所以，，.

设平面的法向量为.

由得

取，得平面的一个法向量为.

因为直线与平面所成的角为60°，

所以，

化简得，解得或.

所以当实数或时，直线与平面所成的角为60°.

20．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合．

(1)求抛物线的方程；

(2)过点作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，过，作的垂线分别与轴交于，，求四边形面积的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合求解；

（2）设直线，代入抛物线方程得，设点，，直线，得到，，然后由四边形的面积，利用导数法求解.

(1)

解：双曲线方程化为标准方程是，其焦点坐标为，，

因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，

所以，，，

故抛物线的方程为．

(2)

设直线，代入抛物线方程得，

设点，，则，，

直线，所以点，同理可得，

所以四边形的面积，

，

由抛物线的对称性，只需考虑的情形，

则，

所以，

令，得，

当时，，当时，，

所以当时，四边形的面积最小，最小值为．

21．已知函数，，其中.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，证明：当时，.

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数导数，解不等式求单调区间；

（2）原不等式转化为，令，看作关于m的二次函数，利用二次函数的最值及利用导数求相关最值即可得证.

(1)

由题可知，

令，得，令，得或，

故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

(2)

由得.

令，将看做关于的二次函数，其图象的对称轴为.

令，可得，易知函数在上单调递增，

又，，故存在对，满足.

（i）当时，，所以，此时.

此时需证.

，设，

则.

显然当时，，从而单调递增，

又，所以当时，，当时，，故.

（ii）当时，，所以，

此时.

此时需证.

，

令，则，

则当时，，当时，，

所以.

综合（i）（ii），原命题得证.

【点睛】关键点点睛：在利用导数证明不等式时，首先要对所证不等式进行适当转化，转化后构造恰当的函数，利用导数求函数的单调性、极值、最值是此类问题的常规操作，注意在研究上述单调性及最值过程中经常需要继续构造函数，能力要求较高.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

(1)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；

(2)当时，求直线与圆的公共点的极坐标．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）消去参数，得到普通方程，利用公式化极坐标方程为直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系下求出交点坐标，再化为极坐标，注意舍去不合要求的点.

(1)

由消去得：，即直线的普通方程是．

由，代入得：，

即圆的直角坐标方程为．

(2)

由解得：或，

因为，所以交点在平面直角坐标系的第二象限或x轴负半轴，或y轴正半轴上，故舍去，所以交点为，化为极坐标为

故直线与圆的公共点的极坐标为．

23．设函数．

(1)当时，解不等式；

(2)若关于的不等式无解，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分，和三种情况求解即可，

（2）由题意可得，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，从而可得的取值范围

(1)

当时，即为，

①当时，不等式可化为，解得；

②当时，不等式可化为，解得，舍去；

③当时，不等式可化为，解得．

综上，的解集为．

(2)

不等式无解，即无解，

所以，

因为，

所以，即的取值范围是．