2022届河南省顶级名校高三5月全真模拟考试数学（理）试题含解析

2022届河南省顶级名校高三5月全真模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的运算法则和复数模的公式直接计算可得.

【详解】；；；.

故选：D．

2．已知函数，的定义域为M，的定义域为N，则（       ）

A． B． C．MN D．NM

【答案】B

【分析】分别求出的定义域为M和的定义域为N即可求解.

【详解】，则，

，则，所以，

故选：B．

3．的展开式中的常数项为（       ）

A．－80 B．80 C．－16 D．16

【答案】A

【分析】通项化简后由x的指数等于0可得r，然后代回通项可得.

【详解】的展开式中的第项

由，得，

所以展开式中的常数项为，

故选：A．

4．函数在下列区间单调递减的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三角函数半角公式及倍角公式对原函数进行变换，求解单调递减区间.

【详解】，

当时，即时单调递减，令，得是的单调递减区间.

故选:B．

5．设，为两个平面，则的充要条件是（       ）

A．，平行于同一个平面 B．，垂直于同一个平面

C．内一条直线垂直于内一条直线 D．内存在一条直线垂直于

【答案】D

【分析】由面面关系及面面垂直的判定方法依次判断4个选项即可.

【详解】，平行于同一个平面时，则，A错误；

，垂直于同一个平面时，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，B错误；

内一条直线垂直于内一条直线，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，C错误；

内一条直线垂直于，则，反之也成立，D正确.

故选：D．

6．设x，y满足约束条件则的最大值为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】作出可行域，由得，求解截距的最大值即可求解.

【详解】如图，，围成的区域为及其内部，其中，因为，所以，所以当直线过时，的最大值为1，所以，的最大值为2.

故选：A．

7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为C上一点，且，若，则C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知，，，可设，则，然后根据勾股定理表示出，然后再利用椭圆的定义表示出之间的关系，带入到离心率中即可完成求解.

【详解】，

设C的半焦距为c，则，

则，，，，

由椭圆定义可知，则，

所以离心率，

故选：A．

8．设，为两个互相垂直的单位向量，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用平面向量的数量积运算和性质直接计算可得.

【详解】因为，为两个互相垂直的单位向量，所以

，A错误；

，，B错误；

，C正确；

，，D错误.

故选：C．

9．过圆上的点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】将最小值问题转化为最小值问题，然后结合图形分析可解.

【详解】分别设圆，圆的圆心为，，根据题意可知，，

所以，因为PQ与相切于点Q，

由几何关系可知，

所以当最小时，有最小值，

所以当P在线段上时，最小，此时，

所以的最小值为.

故选：B．

10．记为等差数列的前项和，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由条件得，由等差数列的性质及求和公式即可得到C正确；若，则公差，不合题意即可得到A错误；若，，，即可得到B、D错误.

【详解】因为，所以，

所以，，故C正确；

若，则公差，此时，则不合题意，A错误；

若，则，此时，

 ，故B、D错误.

故选：C．

11．已知，，，且计算可知．有下述四个结论：

①，             ②，       

③，             ④．

其中所有正确结论的编号是（       ）

A．①③ B．①④ C．②④ D．①②③

【答案】D

【分析】根据余弦的二倍角公式和诱导公式推导出，，，从而得到，，利用正弦二倍角公式推导出，在此基础上，推导出.

【详解】，所以；

，，

所以，；

；

，，

所以，

所以①②③正确，

故选：D．

12．己知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】变形，构造函数，通过二次求导可知函数单调性，然后利用单调性可得a、b符号.

【详解】，设，

则，

设，则，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，所以，所以，单调递增．

当时，，故此时；

当时，，故此时，所以.

故选：C．

二、填空题

13．双曲线的焦距为______．

【答案】

【分析】由，可得，，从而即可求解.

【详解】解：因为，所以，，

所以，解得，

所以该双曲线的焦距为．

故答案为：.

14．己知等比数列为递增数列，且，，则______．

【答案】

【分析】根据等比数列的通项公式与数列递增，求出首项和公比，再求出即可.

【详解】设的公比为q，由可知，

，，，，

为各项为负数的递增等比数列，

所以，，．

15．若随机变量的数学期望和方差分别为，，则对于任意，不等式成立．某次考试满分150分，共有1200名学生参加考试，全体学生的成绩～N（90，62），则分数不低于110分的学生不超过______人．

【答案】54

【分析】由已知，可取，带入题目给的不等式中，计算分数不低于110分的学生的概率，然后再乘以总人数即可完成求解.

【详解】由题意可知，取，则，

所以分数不低于110分的学生不超过人．

故答案为：54.

16．在三棱锥中，，，底面是边长为的等边三角形，则在三棱锥内，半径最大的球的表面积为______．

【答案】

【分析】由题意即求三棱锥内切球表面积，先根据条件确定内切球球心，再结合平几条件求球半径，代入球表面积公式得结果.

【详解】如图，分别取，的中点，，连接，，，，由对称性

可知三棱锥的内切球的球心在上，且与的切点分别在，，，上，

设，分别为球与面和面的切点，则在上，且，为球半径，

，在上，且，，计算得到，，

，，则，，，

则，，所以，，

所以球的表面积为．

故答案为：.

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

三、解答题

17．如图，在中，D为边BC的中点，的平分线分别交AB，AD于E，F两点．

(1)证明：；

(2)若，，，求DE．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）在中与中，分别运用正弦定理可求解；

（2）根据同角三角函数的平方关系及商数关系得相关的三角函数值，再运用直角三角形中的三角函数关系得相关边长，最后运用余弦定理可求解.

【详解】(1)在中，由正弦定理可知，

且在中，由正弦定理可知，

因为D为BC中点，即，

所以，

即．

(2)当时，可知，，

又因为，且为锐角，

所以，

所以，，

因为，

所以，，

，

，，

由余弦定理可知，

可得．

18．某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占到，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有．现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访（视比率为概率）．

(1)求抽取到的问卷中至少有两份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；

(2)记抽取到的问卷中调查结果为少于7小时的份数为，求的概率分布及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，数学期望

【分析】（1）根据题意得每位学生每天睡眠时间少于7小时的概率为，每位学生每天睡眠时间不少于7小时的概率为，所以所求事件概率为；（2）根据题意可知，随机变量服从二项分布，分别求概率，得到分布列，再求期望即可.

【详解】(1)根据题意可知每位学生每天睡眠时间少于7小时的概率为，

每位学生每天睡眠时间不少于7小时的概率为，

所以4份问卷中至少有两份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为：

．

(2)根据题意可知，

则，

，

，

，

，

所以的分布列为：

所以．

19．如图，在正方体中，E，F分别为AB，的中点．

(1)证明：平面；

(2)设平面与平面的交线为l，求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作出辅助线，由线段之比相等得到线线平行，进而证明线面平行；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.

【详解】(1)如图，连接DF交于点G，连接DE交AC于点H，连接GH，

因为E，F分别为AB，的中点，且，，

所以，，

所以，，

又因为平面，且平面，

所以平面．

(2)以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨

设正方体的棱长为2，则，，，，，，

所以，，，．

设平面与平面的一个法向量分别为，，

，夹角为，则，，

即，，

不妨取，，得，

所以，

所以二面角的正弦值为．

20．已知抛物线的焦点为F，过F且不垂直于x轴的直线l交C于A，B两点，且当l的倾斜角为时，．

(1)求C的方程；

(2)设P为x轴上一点，且，证明：的外接圆过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）联立直线与抛物线方程可得，设，，根据抛物线的几何性质可知，，代入已知关系求解即可.

（2）由可知，，则直线AQ的斜率与直线BQ的斜率满足，联立方程即可求证.

【详解】(1)当l的倾斜角为时，l的斜率为1，，则：，代入C的方程，得，即，

设，，则，，

根据抛物线的几何性质可知，，，

由，可知，，

因为，

可知，

，

所以，

所以，C的方程为．

(2)设的外接圆与x轴的另一个交点为，

由可知，，

则直线AQ的斜率与直线BQ的斜率满足．

设l的斜率为k，由（1）可知，，代入，

则，即，．

设，，则，，，，

所以，

即，，

所以，为定点，则的外接圆过定点，得证.

21．已知函数，．

(1)是否为的极值点？说明理由；

(2)设a，b为正数，且，证明：．

【答案】(1)不是的极值点，理由见解析.

(2)证明见解析

【分析】（1），设，则，由函数的单调性与导数的关系可得在上单调递增，设，由函数零点存在定理可得，存在唯一，使得，进而可得在上单调递增，从而可得答案；

（2）设，当时，设，由函数的单调性与导数的关系可得在上单调递增，则，进而可得，即，又，从而有，即可证明.

【详解】(1)解：由，得，

设，则，

当时，，单调递增，则，所以在上单调递增，

设，则在区间单调递增，

又因为，，

所以存在唯一，使得，

当时，，则单调递增，

所以当时，，单调递减，

所以当时，，在上单调递增，

故不是的极值点；

(2)解：设，即，

则，

当时，，

设，则时，，单调递增，

所以，所以单调递增，

所以，所以在上单调递增，

所以，故．

因为，单调递减，

所以，即，且由（1）可知，在单调递增，

则，，故，

设，当时，，单调递增，

所以，故，

所以．

综上，若正数a，b满足，则．

【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题的关键是设，当时，设，由函数的单调性与导数的关系可得在上单调递增，则，进而可得，即，又，从而根据的单调性即可证明.

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)求C上的点到l距离的最小值．

【答案】(1)C的直角坐标方程为；l的直角坐标方程为.

(2)

【分析】（1）由曲线C的参数方程消参即可求得曲线C直角坐标方程，把，代入，即可求得直线l的直角坐标方程.

（2）法一：利用设切线联立方程判别式为0求解；法二：设C上的点为，表示P到直线l的距离，用基本不等式即可求解最值.

【详解】(1)因为，，

所以，

所以C的直角坐标方程为，

因为直线l的极坐标方程为

所以l的直角坐标方程为．

(2)方法一：因为曲线C与直线l没有公共点，

所以当C的切线与l平行时，切点到l的距离为最小值，

设切线方程为，代入C的方程，

有，整理有，

由可得，

当时，C的切线到l的距离为，当时，C的切线到l的距离也为，

故C上的点到l距离的最小值为．

方法二：设C上的点为，则P到直线l的距离为

，等号在时取得，

即或时成立．

故C上的点到l距离的最小值为．

23．设a，b为正数，且．证明：

(1)：

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）将不等式左边因式分解为，对使用基本不等式，然后综合可证；

（2）利用已知条件消元，然后由基本不等式可证

【详解】(1)，

，当且仅当“”时取“＝”，

，当且仅当“”时取“=”，

所以，

所以．

(2)因为

所以

所以，

因为a，b为正数，且，

所以，

所以，

所以．