2022届河南省顶级名校高三下学期阶段性联考四数学（文）试题含解析

这是一份2022届河南省顶级名校高三下学期阶段性联考四数学（文）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届河南省顶级名校高三下学期阶段性联考四数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则=（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合，，所以=，故选：A2．已知，复数，则A．-2 B．1 C．0 D．2【答案】D【详解】分析：先利用复数的除法法则化简等式的右边，再利用复数相等的定义得到相关值．详解：因为，所以，即.故选D．点睛：本题考查复数的除法法则、复数相等的概念等知识，意在考查学生的基本计算能力．3．若角的终边经过点，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角函数定义可直接求得结果.【详解】角的终边经过点，.故选：B.4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2019年9月到2020年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（       ）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差【答案】C【分析】根据走势图，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A：由走势图可得，网民对该关键词相关的信息关注度没有周期性变换，故A错误；对于B：从2月开始，网民对该关键词相关的信息关注度上升，故B错误；对于C：由走势图可得，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故C正确；对于D：去年10月份波动较大，方差大，去年11月波动较小，方差小，故去年10月份的方差大于11月份的方差，故D错误，故选：C5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据三视图知几何体是一个四分子一圆锥与一个三棱锥的组合体，分别计算其表面积得解.【详解】四分子一圆锥表面积 , 所以组合体表面积为故选：D【点睛】本题考查三视图还原几何体求表面积问题.几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．6．已知直线与圆相交于，两点，若，则实数的值为A．或 B．或 C．9或 D．8或【答案】A【详解】由题意可得，圆心（0，3）到直线的距离为,所以，选A．【点睛】直线与圆相交圆心角大小均是转化为圆心到直线的距离，用点到直线的距离公式解决．7．执行下面的程序框图，如果输入，，则输出的A．7 B．20 C．22 D．54【答案】B【详解】初始值a=1,b=1,s=0,k=0s=2,a=2,b=3,k=2,s=7,a=5,b=8,k=4s=20,a=13,b=21,k=6输出s=20,选B.8．材料一：已知三角形三边长分别为，，，则三角形的面积为，其中．这个公式被称为海伦-秦九韶公式材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知中，，，则面积的最大值为（       ）A． B．3 C． D．6【答案】C【解析】根据材料二可得点的轨迹为椭圆，当点运动到椭圆短轴的顶点时，可得的面积取得最大值.【详解】由材料二可得点的轨迹为椭圆，其焦距，长轴，短轴当点运动到椭圆短轴的顶点时，可得的面积取得最大值，，故选：C.【点睛】本题考查椭圆的定义及三角形面积的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力.9．已知函数，若方程有两个解，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，必有一解，所以只需时有一解即可，而在是减函数，只需，即.故选：C.10．设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为,则，，可得，在和中，分别求出和，利用，可得结合，即可求解.【详解】由题可得双曲线的渐近线方程为，，，，因为，所以，在中，，中，，因为，所以，所以可得，所以，所以，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了利用双曲线的性质求双曲线的离心率，属于中档题.11．已知函数，若 是函数 的唯一极值点，则实数 的取值范围是 （       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出导函数并因式分解得到，再令，进而讨论函数的单调性并求出最小值，然后讨论和两种情况分别求出原函数的极值点个数，最后得到答案.【详解】由题意，，，记，则，则时，，单调递减，时，，单调递增，所以.若，则时，，单调递减，时，，单调递增，于是 是函数 的唯一极值点.若，则，易知，于是时，；设，，即在上单调递增，所以，则时，，此时，于是且时，.再结合函数的单调性可知，函数在两个区间内分别存在唯一一个零点，且当时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.于是函数 存在3个极值点.综上所述：.故选：D.【点睛】本题难度较大，首先，注意对函数求完导之后要因式分解，题目要求为极值点，则尽量分解出，其次，在讨论函数的零点时可以借助函数的单调性和图象进行分析，这样作为选择题会很快得出答案.12．在中，，，有下述四个结论：①若为的重心，则②若为边上的一个动点，则为定值2③若，为边上的两个动点，且，则的最小值为④已知为内一点，若，且，则的最大值为2其中所有正确结论的编号是（       ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【解析】根据题意，先得为等腰直角三角形；①取中点为，连接，得到，根据平面向量基本定理，即可得出结果；②先由①得到，由题意得到在上的投影为，进而可求出向量数量积；③以点为坐标原点，分别以、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，由题意，设，且，不妨令，根据向量数量积的坐标表示，即可求出结果；④同③建立平面直角坐标系，设，根据题意，得到，再设，由题意，得到，，用表示出，即可求出结果；【详解】因为在中，，； 所以为等腰直角三角形；①如图1，取中点为，连接，因为为的重心，所以在上，且，所以，故①正确；②如图1，同①，因为为中点，为等腰直角三角形，所以，若为边上的一个动点，则在上的投影为，因此，故②错；③如图2，以点为坐标原点，分别以、所在直线为轴、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，易得，所在直线方程为：；因为，为边上的两个动点，所以设，，且，不妨令，因为，所以，即，则，所以，当且仅当时，等号成立；故③正确；④同③建立如图3所示的平面直角坐标系，则，，设，则，又，所以，即因为为内一点，且，设，则，且，，因此，因为，所以，所以无最值，即无最值，故④错.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及求平面向量的数量积等问题，熟记平面向量基本定理，灵活运用建系的方法求解即可，属于常考题型.二、填空题13．若满足约束条件则的最小值是_______．【答案】；【分析】画出可行域和目标函数，根据图像得到答案.【详解】画出可行域和目标函数，如图所示：，则，表示直线在轴的截距，根据图像知：当时，目标函数有最小值为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.14．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为_______．【答案】【分析】分析可知，动圆圆心的轨迹是以点为圆心，以直线为准线的抛物线，由此可得出动圆圆心的轨迹方程.【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为，由于动圆与定圆相外切，且与直线相切，动圆圆心到点的距离比它到直线的距离大，所以，动圆圆心到点的距离等于它到直线的距离，所以，动圆圆心的轨迹是以点为圆心，以直线为准线的抛物线，设动圆圆心的轨迹方程为，则，可得，所以，动圆圆心的轨迹方程为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.15．点在双曲线（，）的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】画出图形，由条件可得，，，设线段的中点为，则，然后求出，然后利用双曲线的定义即可建立出方程求解.【详解】由线段的垂直平分线恰好过点可得因为直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点所以，设线段的中点为，则在直角三角形中可得所以由双曲线的定义可得：即，即，即，即，解得所以离心率为故答案为：【点睛】本题考查的是双曲线的定义及三角形中的计算，考查了离心率的求法，属于中档题.16．菱形ABCD中，，，将△CBD沿BD折起，C点变为E点，当四面体E-ABD的体积最大时，四面体E-ABD的外接球的面积为_______．【答案】【分析】当平面平面时，四面体E-ABD的体积最大，分别从△EBD和△ABD的外接圆圆心作其面的垂线，交线即为外接球球心，在根据边角关系求得半径长，从而求得外接球表面积.【详解】如图所示，当平面平面时，四面体E-ABD的体积最大，分别从△EBD和△ABD的外接圆圆心作其面的垂线，交于点，即为外接球球心，则易知四边形为正方形.由知，，，由正弦定理知，故，在中，，故四面体E-ABD的外接球的面积为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：找到四面体E-ABD的体积最大的位置，做出外接球球心，从而在三角形中求得外接球半径.三、解答题17．在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角；(2)若，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理将，推导出，由此求出角.（2）由已知条件推导出，从而由余弦定理得出，最后利用基本不等式求出的最小值.【详解】(1)△中，，由正弦定理知，，∵，∴ ，∴，∴，∴，又∵ , ∴；(2)由（1）及得，所以,当且仅当时取等号，所以的最小值为.18．蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费.对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次数第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例10.950.900.850.80 该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：消费次数1次2次3次4次≥5次频数60201055 假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题：(1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率.(2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润.(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取2人进一步了解情况，求抽取的2人中恰有一人的消费次数为3次的概率.【答案】(1)；(2)23元；(3).【分析】（1）根据频数分布表求得至少消费2次的频数之和，再求频率，即为所求概率；（2）分别求得每次消费对应的利润，再求利润之和，以及利润的平均值即可；（3）先求得从6人中随机选取2人的所有情况，再求满足题意的情况，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】(1)随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有(位)，所以该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率.(2)第1次消费时，蹦床主题公园获取的利润为(元)，第2次消费时，蹦床主题公园获取的利润为(元)，第3次消费时，蹦床主题公园获取的利润为(元)，第4次消费时，蹦床主题公园获取的利润为(元)，第5次或第6次消费时，蹦床主题公园获取的利润为(元)所以这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润为(元).(3)由题意知，从消费次数为3次和4次的会员中抽取的人数分别为4人，2人，这6人中，将消费3次的会员分别记为，消费4次的会员分别记为.从6人中随机抽取2人的情况有，，，共15种.设“抽取的2人中恰有一人的消费次数为3次”为事件A，则事件A包含的情况有，，共8种.根据古典概型的概率计算公式可得，.19．如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点E是的中点.(1)求证：平面；(2)若平面平面，，，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，设，连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）取的中点，连接，得到，进而证得平面，结合体积公式，利用，即可求解.【详解】(1)解：连接，设，连接，因为四边形是菱形，所以点是的中点，又因为是的中点，所以是三角形的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面.(2)解：因为四边形是菱形，且，所以，又因为，所以是正三角形，取的中点，连接，则，又平面平面，平面，平面平面，所以平面，在等边中，，又由的面积，所以.20．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上．(1)若，求抛物线的标准方程；(2)若直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，且满足，原点到直线的距离不小于，求的取值范围．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）由已知可得，由抛物线的定义可得，解方程求得的值即可求解；（2）设，，联立直线与，由原点到直线的距离不小于可得的范围，由韦达定理可得、，利用坐标表示可利用表示，再利用函数的单调性求得最值即可求解.【详解】(1)由题意及抛物线的定义得：，又因为点在抛物线上，所以，由 可得或，所以抛物线的标准方程为或．(2)设，，联立消去可得：，则，，因为，所以，所以，可得，由原点到直线的距离不小于，可得，解得或，因为，所以不成立，所以，因为在上单调递增，所以，所以，即的取值范围为．21．已知.（1）若，求的极值.（2）若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）的极小值为，极大值为；（2）.【分析】(1)对函数求导，求出导函数为0时的x值并讨论导数值正负即可作答；(2)把给定等式分离参数变形为，再讨论函数在上的性质即可得解.【详解】(1)由题意得，所以，令，得，解得，时，；时，；时，，所以在处取极小值，在处取极大值；(2)由，得，令，，则，时，，时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故在处取得最大值，而，且，因原方程有两个不同的实数根，则8-e2≤m<8ln2-4，所以实数的取值范围为.22．在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M的参数方程为 (为参数)，过原点O且倾斜角为的直线交M于A、B两点．(1)求和M的极坐标方程；(2)当时，求的取值范围．【答案】（1），（2）【分析】（1）结合消去参数，得到极坐标方程，即可．（2）将直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，得到，用表示，结合三角函数的性质，计算范围，即可．【详解】（Ⅰ）由题意可得，直线的极坐标方程为.曲线的普通方程为，因为，，，所以极坐标方程为.（Ⅱ）设，，且，均为正数，将代入，得，当时，，所以，根据极坐标的几何意义，，分别是点，的极径.从而： .当时，，故的取值范围是.【点睛】本道题考查了极坐标方程的转化以及极坐标方程的性质，难度较大．23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若的最大值为m，正数满足，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，分、和，三种情况讨论，结合不等式，即可求解；（2）根据函数的解析式，分类讨论求得函数的最大值，得到，结合柯西不等式，即可求解.【详解】(1)解：当时，，由，得，解得，此时；当时，，由，得，解得，此时；当时，，此时不等式无解，综上所述，不等式的解集为；(2)解：由（1）可知，当时，；当时，；当时，.所以，函数的最大值为，则.由柯西不等式可得，即，即，当且仅当时，等号成立.因此，.