2022届河南省顶级名校高三下学期阶段性联考三数学（文）试题含解析

这是一份2022届河南省顶级名校高三下学期阶段性联考三数学（文）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届河南省顶级名校高三下学期阶段性联考三数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为，，所以.故选：C.2．若复数满足，，则的虚部为（       ）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】求出，化简，得到的虚部.【详解】，∴虚部为故选：D3．已知l、m是两条不同的直线，是平面，，，则“”是“” 的（       ）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据空间中线面垂直关系的转化，利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】依题意，l、m是两条不同的直线，是平面，，，若，则与可以相交，也可以平行，故推不出；若，由线面垂直的性质定理可知，.故“”是“” 的必要不充分条件.故选：C.4．在等差数列中，，表示数列的前项和，则（       ）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】C【分析】根据等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由等差数列中，满足，根据等差数列的性质，可得，所以，则.故选：C.5．若向量，满足，且，则向量与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解.【详解】因为，，即，，求得，所以向量与的夹角为.故选：B6．已知，，两直线，，且，则的最小值为（       ）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】D【分析】根据两直线的方程得出，，由两直线垂直的斜率关系，得出，再利用整体乘“1”法和基本不等式，即可求出的最小值.【详解】解：由题可知，，，，，则，，，则，即，，∵，，∴，当且仅当时取等号，所以的最小值为9.故选：D.7．已知函数，则下列结论正确的是（       ）A．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C．是奇函数，递减区间是D．是奇函数，递增区间是【答案】C【分析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断；【详解】解：将函数去掉绝对值得，画出函数的图象，如图，观察图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，且在上单调递减，故选：C8．我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为，数列的前n项和为，则使得不等式成立的正整数n的最小值为（       ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】依题意可得：数列是首项、公比为的等比数列，即可得到通项公式及前项和公式，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：由题设可得：数列是首项、公比为的等比数列，∴，，又由可得：，解得：，∵，∴，故选：B．9．函数的图象向左平移个单位长度后所得图象关于直线对称，则函数的一个递增区间是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据的图象向左平移个单位长度后所得图象关于直线对称，求得，再求的递增区间，对赋值，求得答案.【详解】的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为，又其图象关系直线对称，，得，又，得，得，令，得，，令，得，即函数的一个递增区间是.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换，对称性和单调性，属于中档题.10．如图，底面为矩形的四棱锥，侧棱底面，，.设该四棱锥的外接球半径为，内切球半径为，则的值（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将四棱锥外接球半径的计算转化为长方体外接球半径的计算，即长方体的体对角线长度的一半即为半径；内切球的半径可采用等体积法转化，运用公式求解.【详解】因为棱锥的侧棱底面，且底面为正方形，所以该几何体的外接球半径等于长、宽、高分别为，，的长方体的外接球半径，因为，，所以外接球半径：，解得:，设内切球球心为点，内切球半径为，则球心到每一个侧面的距离都为，则有：，又，，所以,故,所以．故选：D．【点睛】对于一些常见几何体的外接球半径、内切球半径的结论如下：（1）长、宽、高分别为，，的长方体的外接球半径为；（2）直棱柱的外接球半径满足：，其中为直棱柱的高，为底面图形内切圆的半径.（3）棱锥的内切球半径满足：，其中为该棱锥的体积，为该棱锥的表面积.11．若函数在上无极值，则实数的取值范围（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.【详解】由可得，恒成立，为开口向上的抛物线，若函数在上无极值，则恒成立，所以，解得：，所以实数的取值范围为，故选：D.12．已知抛物线的准线与圆只有一个公共点，设是抛物线上一点，为抛物线的焦点，若（为坐标原点），则点的坐标是（       ）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】先求出抛物线的焦点，根据抛物线的方程设，则，，再由，可求得的值，即可得答案.【详解】解：抛物线的准线方程为．方程可化为．由题意，知圆心到准线的距离，解得，所以抛物线的方程为，焦点为．设，则，，所以，解得，所以点的坐标为或．故选B．二、填空题13．已知，若向量与共线，则____________．【答案】【分析】首先根据向量共线的坐标表示得到方程，求出，再根据向量数量积的坐标运算计算可得；【详解】解：因为且，所以，解得，所以，所以;故答案为：14．已知是函数的一个极值点，则实数_____．【答案】【分析】求得函数的导数，根据是函数的一个极值点，得到，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，因为是函数的一个极值点，所以，解得，经检验当时，是函数的一个极值点．故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用函数的极值点求解参数问题，其中解答中熟记函数的极值点的概念，结合导数求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．在中，角所对的边分别为，且满足：   ，则的面积为____________．【答案】【分析】先由及正弦定理求得，再由求得，由面积公式求解即可.【详解】由及正弦定理得即，又，即，又，故 即．由正弦定理及，得故故答案为：.16．如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】【详解】不妨设正方体的棱长为，如图，当为中点时，平面，则为直线与所成的角，在中，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.三、解答题17．如图，四棱锥中，平面，，，，为上一点，且．（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）计算出，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.【详解】（1）平面，平面，，在直角梯形中，，，， ，所以，为等腰直角三角形，且，，，在中，，，，由余弦定理可得，，则，，平面，平面，平面平面；（2），由（1）可知平面，所以三棱锥的高为，平面，、平面，，，，，，，【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.18．已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的基本量和，列出方程，即可解得和的值，进而可得通项公式.（2）根据裂项相消求和的方式得到，然后根据不等式成立，分参后求最值，即可求解.【详解】(1)设等差数列首项为，由题意可得即又因为，所以 故．(2)∵，∴ ．因为存在，使得成立．即存在，使得成立．即存在，使得成立．（当且仅当时取等号）．故，即实数的取值范围是．19． 随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑训练天数不大于天天或天不少于天人数 若某人平均每周进行长跑训练天数不少于天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”（1）经调查，该市约有万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关？ 热烈参与者非热烈参与者合计男  140女 55 合计    附：（n为样本容量） 0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）人；（2）列联表见解析；能.【分析】（1）先求出样本中热烈参与者的频率再乘以即可求解；（2）根据已知条件补全列联表，计算的值，与临界值比较即可判断.【详解】（1）样本中热烈参与者的频率为，所以该市万人参与马拉松运动，热烈参与者的人数人，所以“热烈参与者”的人数为人（2）根据已知条件可知参与马拉松运到的女性有人，所以女性中热烈参与者有人，男性中热烈参与者有人，进而可得列联表如下： 热烈参与者非热烈参与者合计男 女 合计 所以能在犯错误的概率不超过的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关.20．已知点到的距离与它到直线的距离之比为．（1）求点的轨迹的方程；（2）若是轨迹与轴负半轴的交点，过点的直线与轨迹交于两点，求证：直线的斜率之和为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由椭圆的第二定义建立方程化简即可；（2）先设出直线方程，再与椭圆方程联立得到两根之和与两根之积，然后直线与直线的斜率之和用两根之和与两根之积表示出代，再代入计算化简可得定值.【详解】（1）设点，由题意可得．化简整理可得,所以点的轨迹的方程为．（2）由（1）可得，A(-3,0),过点D的直线斜率存在且不为0，故可设l的方程为，，由得，，，而由于直线过点，所以，所以（即为定值）.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是直线与椭圆联立，二是准确的运算.21．已知函数．（1）若曲线在点处的切线为，求；（2）当时，若关于的不等式在上恒成立，试求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求导，根据点处的切线为，由求得m，再求得点P的坐标，代入切线方程求解； （2）将在上恒成立，转化为，在上恒成立，令，用导数法求其最小值即可.【详解】（1）∵函数的导数，∴由题意可得，即．则，点坐标为∵点在直线上∴故（2）当时，∵关于的不等式在上恒成立，∴，在上恒成立，设，则，由的导数为，当时，，函数递增，当时，函数递减，则，即，∴当时，，则在递增，所以，则．【点睛】若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当时，求出的普通方程，并说明该曲线的图形形状；（2）当时，P是曲线上一点，Q是曲线上一点，求的最小值．【答案】（1）该曲线是以A(2，0)，B(0，1)为端点的线段；（2）．【分析】（1）当时，消去参数，可直接得出的普通方程；从而可确定该曲线的图形形状；（2）当时，先得曲线的参数方程，设点P坐标；再将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可得出结果.【详解】（1）当时，曲线的参数方程为为参数），其中，，消得，即该曲线是以A(2，0)，B(0，1)为端点的线段；（2）当时，曲线的参数方程为为参数，因为P是曲线上一点，所以可设，又由化为直角坐标方程可得：，即表示直线；因为Q是曲线上一点，所以，当时，有最小值，即的最小值为.【点睛】思路点睛：利用参数的方法求解曲线上一点与直线上一点距离的最值问题时，一般根据曲线的参数方程设出曲线上任意一点的坐标，再由点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求出最值.23．已知函数，．（1）解不等式：；（2）记的最小值为，若实数满足，试证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）先将函数解析式写成分段函数的形式，分，，三种情况，求解不等式，即可得出结果；（2）根据函数单调性，确定的最小值，得到，再由展开后利用基本不等式即可求出最小值，从而可得结论成立.【详解】（1）易知，因为，所以，或，或所以，或，或，所以，所以不等式的解集为（2）由（1）知，所以在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，所以，所以，当且仅当，即，时取等号．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.