北京一零一中教育集团2021-2022学年九年级下学期入学适应性练习数学试题及解析

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北京一零一中教育集团2021－2022学年第二学期
九年级入学适应性练习 数学试题
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题：本大题共8小题，每题2分，共16分．
1. 在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数。本题小数点往左移动到的后面，所以
【详解】解：
故选A．
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
2. 下列安全图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 抛物线的顶点坐标是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点式解析式直接得出顶点坐标.
【详解】∵抛物线的解析式为，
∴其顶点坐标为.
【点睛】此题主要考察抛物线的顶点坐标.
4. 如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC，若，则BC的长度是（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行得到△BCE∽△DAE，然后得到对应边的比例关系，求解即可．
【详解】∵AD∥BC
∴△BCE∽△DAE
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，由相似得到比例关系是解题的关键．
5. 下列函数中，当时，y的值随着x的值增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正比例函数，二次函数，反比例函数的性质逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，当时，y的值随着x的值增大而增大，故该选项不正确，不符合题意，
B. ，当时，y的值随着x的值增大而增大，故该选项不正确，不符合题意，
C. ，当时，y的值随着x的值增大而减小，故该选项正确，符合题意，
D. ，当时，y的值随着x的值增大而增大，故该选项不正确，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了正比例函数，二次函数，反比例函数的性质，掌握正比例函数，二次函数，反比例函数的性质是解题的关键．
6. 如图，在中，，于点 ．若，，则的长为(　　)

A. 12 B. 10 C. 6 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】先利用等腰三角形三线合一得出BD=12，再根据求出AB=13，再用勾股定理即可解出AD的长.
【详解】在中，，于点 ，
∴BD=BC=12，
∵，∴AB=13，
故AD===5.
【点睛】此题主要考察三角函数的应用.
7. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（　　）

A. 随着θ的增大而增大
B. 随着θ的增大而减小
C. 不变
D. 随着θ的增大，先增大后减小
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．
【详解】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC＝BP＝BA，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，
∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，
∴∠PAH的度数是定值，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
8. 小明使用图形计算器探究函数的图象，他输入了一组的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的的值满足( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过本题已知条件可知，本题考查函数的探究拓展，需要根据题目所给图像特点，选定特殊区间确定参数范围
【详解】由图像可知，当x＞0时,，函数值 ,可知
∴
由图像可知，在自变量 范围内，分子，同时该区间内当取某一值时，值非常大，有且仅当取值接近于值时，即分母接近于0，该y值会出现
∴
故本题选A选项
【点睛】本题非常规例题，考查对于函数清晰的理解以及图像信息点抓取能力，作答时为提升效率可采取试数的方式作答
二、填空题：本大题共8小题，每题2分，共16分．
9. 将二次函数化成的形式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法整理即可得解．
【详解】解：，
所以．
故答案．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：为常数)；
(2)顶点式：；
(3)交点式(与轴)：．
10. 若点在双曲线上，则代数式的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的意义分别进行分析即可.形如：y＝()或或的函数是反比例函数.根据定义求得的值，进而求得代数式的值．
【详解】解：∵点双曲线上，
∴

故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．y＝()或或的函数是反比例函数.
11. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降到128元，已知两次降价百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得_______________．
【答案】168（1﹣x）2=128
【解析】
【详解】试题分析：由题意可得方程为168（1-x）2=128；
考点：一元二次方程的应用
12. 疫情期间，进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校．某校有3个测温通道，分别记为，，通道．学生可随机选取其中的一个通道测温进校园，某日早晨，小王和小李两位同学在进入校园时，恰好选择不同通道测温进校园的概率是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图展示所有9种等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概慨率公式求解即可．
【详解】画树状图为：

共有9种等可能的情况，其中小王和小李从不同通道测温进校园的有6种情况，
侧小王和小李两位同学在进入校园时，恰好选择不同通道测温进校园的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
13. 已知的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在的______________．（填“内部”、“外部”、“上”）
【答案】外部
【解析】
【分析】先解一元二次方程，根据点与圆的位置关系求解即可．
【详解】解：

解得
∴点P到圆心O的距离d
的半径是4，
点P在的外部
故答案为：外部
【点睛】本题考查了解一元二次方程，点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
14. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝_____m．

【答案】8．
【解析】
【分析】连结OA，先计算OD的长，由勾股定理解得AD的长，再根据垂径定理可得AB=2AD，据此解题．
【详解】连结OA，

拱桥半径OC为5cm，
cm，
m，
cm，
m
m，
故答案为：8．
【点睛】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15. 如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为_____．

【答案】60°或120 °
【解析】
【分析】线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，根据切线的性质得OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，利用直角三角形30度的判定或三角函数求出∠OAC′=30°，从而得到∠BAB′=60°，同理可得∠OAC″=30°，则∠BAB″=120°．
【详解】线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，
则OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，

在Rt△OAC′中，∵OC′=1，OA=2，
∴∠OAC′=30°，
∴∠BAB′=60°，
同理可得∠OAC″=30°，
∴∠BAB″=120°，
综上所述，α的值为60°或120°．
故答案60°或120°．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质和直角三角形的性质．
16. 李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．

有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的
②当，时，可得到形状唯一确定的
③当，时，可得到形状唯一确定的
其中所有正确结论的序号是______________．
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】分别在以上三种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案．
【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误．

如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以②正确．

如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以③正确．

综上：②③正确．
故答案为：②③
【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键．
三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－24题，每题6分，第25题，5分，第26－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，零次幂进行计算即可．
【详解】解：


【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，零次幂，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18. 已知，求代数式的值．
【答案】2.
【解析】
【分析】先求出，算乘法，合并同类项，再代入求出即可．
【详解】∵，
∴，





．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19. 下面是小玟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：在中，，平分交AC于点D．
求作：，使．
作法：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E和点F，连接EF交BD于点O；
②以点O为圆心，OB的长为半径作；
③在劣弧AB上任取一点P（不与点A、B重合），连接BP和CP．
所以．根据小玟设计的尺规作图过程．

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA、OC．
∵，BD平分，
∴且．（___________）（填推理的依据）．
∴．
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴____________．
∴．
∴为的外接圆．
∵点P在上，
∴（___________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2）三线合一；；同弧所对的圆周角相等
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，同弧所对的圆周角相等完成证明过程即可．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
证明：连接OA、OC．
∵，BD平分，
∴且．（三线合一）（填推理的依据）．
∴．
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴．
∴．
∴为的外接圆．
∵点P在上，
∴（同弧所对的圆周角相等）（填推理的依据）．

【点睛】本题考查了作圆、作垂直平分线，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，同弧所对的圆周角相等，熟练运用以上知识是解题的关键．
20. 如图，在ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长．

【答案】2
【解析】
【分析】根据题意，结合图形中公共角，推出，从而利用相似三角形的对应边成比例列出式子进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
解得2，
故CD长为2．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
21. 已知关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个不相等的实数根；
若是此方程的一个根，求实数的值．
【答案】证明见解析； ，．
【解析】
【分析】（1）求证这个方程都有两个不相等的实数根，只要证明△＞0，即可得出方程有两不相等的实数根；（2）把x=-2代入方程得出关于m的方程，解方程求出m的值即可．
【详解】证明：∵关于的一元二次方程．
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根；
解：∵是此方程的一个根，
∴把代入方程中得到，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了①一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．②方程的解得定义，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的坐标为．

（1）求出n的值，并确定反比例函数的表达式；
（2）请直接写出当时，的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】（1）把B的坐标代入 求出n的值，得出B(4，-2)，再代入即可求得k的值；
（2）根据函数图象即可求得的取值范围；
【详解】（1）∵B(2n，-n)在上
∴ 将点B坐标代入得-n=-2n+2，
得n=2，∴ 点B(4，-2)
将点B(4，-2)代入得：
k=，
∴ ，
（2）把x=2代入，得，
∴ 由图象可知，当x＜2时，的取值范围为＞0或＜-4；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了用待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力；
23. 如图，B是的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交于点C，D，连接OD．E是上一点，，过点C作的切线l，连接OE并延长交直线l于点F．

（1）①依题意补全图形；
②求证：；
（2）连接FB，若B是OA的中点，的半径是4，求FB的长．
【答案】（1）①补全图形见解析；②证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，如图1，根据垂径定理得：，，由已知可得，则圆心角相等，即，由是的切线，则，由三角形内角和定理可得；
（2）根据直角三角形的性质得：，再证明点，，在同一条直线上，最后根据勾股定理可得的长．
【小问1详解】
解：①连接OE并延长交直线l于点F，补全图形，如图1；

②证明：连接，
半径，
，，
，
∴，
，
，
是的切线，是半径，
，
；
【小问2详解】
解：过点作于点，如图2．

是的中点，，
．
在中，，
，
，
，
∴，．
即点，，在同一条直线上，
在中，，
可得，
在中，，
可得，
∴，
，
在中，由勾股定理可得．
【点睛】本题考查垂径定理、切线的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
24. 有这样一个问题：
如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积（用含的式子表示）.

小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：
解：如图，令，，

设的内切圆分别与相切于点，的长为
根据切线长定理，得，，
根据勾股定理得，
整理，得
所以

请你参考小冬的做法.
解决以下问题：
（1）当时，求的面积；
（2）当时，直接写出的面积（用含的式子表示）为 .
【答案】（1）35；（2）
【解析】
【分析】（1）模仿例题求解即可解决问题;
（2）探究规律，利用规律即可解决问题．
【详解】（Ⅰ）如图，令

设的内切圆分别与相切于点，的长为
根据切线长定理，得，，，
据勾股定理得，
整理，得
所以
（Ⅱ）由（1）可知：
【点睛】本题考查了三角形的面积，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
25. 北京某超市按月订购一种酸奶，每天的进货量相同．根据往年的销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．为了确定今年六月份的酸奶订购计划，对前三年六月份的最高气温及该酸奶需求量数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．酸奶每天需求量与当天最高气温关系如下：
最高气温t（单位：℃）



酸奶需求量（单位：瓶/天）
300
400
600
b．2019年6月最高气温数据的频数分布统计表如下（不完整）：
2019年6月最高气温数据的频数分布表
分组
频数
频率

3



0.20

14



0.23
合计
30
1.00
c．2020年6月最高气温数据的频数分布直方图如下：

d．2021年6月最高气温数据如下（未按日期顺序）：
25
26
28
29
29
30
31
31
31
32
32
32
32
32
32
33
33
33
33
33
34
34
34
35
35
35
35
36
36
36
根据以上信息，回答下列问题：
（1）的值为______________；
（2）2021年6月最高气温数据的众数为______________，中位数为______________；
（3）已知该酸奶进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．
①2021年6月这种酸奶每天的进货量为500瓶，则此月这种酸奶的利润为______________元；
②根据以上信息，预估2022年6月这种酸奶订购的进货量不合理的为（ ）
A.550瓶/天；B.600瓶/天；C.380瓶/天
【答案】（1）6 （2）32，32.5；
（3）①28000，②C，
【解析】
【分析】（1）估计频数＝总数×频率即可得到结论；
（2）估计众数和中位数的定义即可得到结论；
（3）根据题意列式计算即可得到结论．
【小问1详解】
m＝30×0.20＝6；
故答案为：6
【小问2详解】
2021年6月最高气温数据的众数为32，中位数为＝32.5；
故答案为：32，32.5；
【小问3详解】
①400×（6﹣4）×5+（500﹣400）×（2﹣4）×5+500×（6﹣4）×25＝28000；
故答案为：28000
②∵以上三年6月最高气温低于25的天数一共有3+1＝4天，
∴有86天酸奶每天需求量大于400瓶，
故预估2022年6月这种酸奶订购的进货量不合理的为C，
故选C．
【点睛】考查了频数（率）分布表，统计与预测，众数和中位数的求法，解题关键是正确的理解题意．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）当时，的最大值为12；
①请求出的值；
②若，是抛物线上两点，其中，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上最高点与最低点的纵坐标之差为4，直接写出的取值范围．
【答案】（1）（1，-4）；
（2）①a=1；②或
【解析】
【分析】（1）将解析式化为顶点式即可顶点答案；
（2）①根据顶点坐标及得到当x=5时的函数值为12，代入函数解析式计算即可；
②先求出图象的顶点坐标为（1，-4），及，分四种情况：当图象G不包含顶点，m>1时，；当图象G不包含顶点，m+t<1时，；当图象包含顶点，m+t>1，m1，时，，当图象包含顶点，m+t1，m<1，时，，进而求出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；
【小问2详解】
解：①∵图象的顶点坐标为（1，-4），
∴当x=1时，函数有最值为-4，
∵当时，的最大值为12，1-（-1）<5-1，
∴当x=5时的函数值为12，
∴，
解得a=1；
②对于抛物线，其顶点坐标为（1，-4），，
当图象G不包含顶点，m>1时，，
∴，
∴，
∵t>0，
∴；
当图象G不包含顶点，m+t<1时，，
∴，
∴，
∵t>0，
∴；
当图象包含顶点，m+t>1，m1，时，，
∴，
∴，
∴m+t=4或m+t=-2（舍去），即m=4-t，
∵m1，，
∴m1，2m+t-2，
∴，
∴；
当图象包含顶点，m+t1，m<1，时，，
∴，
∴m=4（舍去）或m=-2，
∵m+t 1，，
∴m+t 1，，
∴-2+t1，，
∴；
综上，或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合知识，二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，运用分类思想进行讨论解决问题是解题的关键．
27. 在中，，，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．

（1）①请补全图形；
②写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；
（2）取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②，证明见解析
（2）位置关系：，数量关系：，证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意作图即可；②连接，证明，可得，，进而证明是直角三角形，从而得到，根据，即可证明；
（2）如图，连接，过点作分别交于点，设与交于点，连接，设，则，证明，可得，，，即可证明，根据全等的性质以及直角三角形斜边上的中线可得，即可得．
【小问1详解】
①如图，

②，证明如下，
如图，连接，

依题意，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
【小问2详解】
位置关系：，数量关系：，理由如下，
如图，连接，过点作分别交于点，设与交于点，连接，，

，，
是的垂直平分线，
， ，
，
，
，
，
设，则，
是直角三角形，，
，
，
，
，
是的中点，是的中点，
，
由（1）可知，
，
点是的中点，点是的中点，
，
，
，
，
在和中，

，
，
，
，
，
即，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形的外角性质，垂直平分线的性质，证明是解题的关键．
28. 定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知，，，是平面直角坐标系中四点．

（1）根据上述定义，完成下面的问题；
①当，时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是_________；
②当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是，则n的取值范围是_________．
（2）如图2，若点B落在圆心为A，半径为的圆上，当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为，线段BC的中点为．直接写出点随线段BC运动所走过的路径长．
【答案】（1）①；②
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义求解即可；
（2）过点作于，根据定义求得的最小值即可；
（3）根据（2）的结论可得，在如图中的上运动，根据弧长公式求解即可．
【小问1详解】
解：①

，，
当，，
,
根据定义可知，的长即为线段BC与线段OA的“冰雪距离”

故答案为：
②当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是，
由①可知到线段的距离为
的最小值为的纵坐标减2，最大值为的纵坐标

故答案为：
【小问2详解】
根据题意，点B落在圆心为A，半径为的圆上
当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，

根据图象可知点在的上半圆运动，过点作于，根据定义可知，当点在线段上时，，当不在线段上时，
则当位于与轴的切点位置时，最小，如图，

最小值为
即的最小值为1
【小问3详解】
如图，
依题意，的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为，根据（2）的图象可知，点在半径为的上运动，
过点作于，根据定义可知，当点在线段上时，，当不在线段上时，
则当在如图中的上运动，
则当与重合时，如图

，

线段BC的中点为．点随线段BC运动所走过的路径长等于点走过的路程
即．
【点睛】本题考查了新定义，点到直线的距离，平面直角坐标系中两点距离，勾股定理，根据弧长公式求弧长，理解题意是解题的关键．