2022年中考数学基础题提分讲练专题：01 数与式（含答案）

这是一份2022年中考数学基础题提分讲练专题：01 数与式（含答案），共18页。

必考点1 实数的分类
【典例1】下列各数中，是无理数的是（ ）
A．3.1415B．C．D．
【答案】D
【解析】
是有理数，是无理数，
故选：．
【点睛】
本题考查无理数的定义；能够准确辨识无理数是解题的关键．
【举一反三】
1．在实数，，，中有理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
在实数，，，中＝2，有理数有，共2个．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别.
2．下列各数中，，无理数的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
试题分析：无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数，因此，由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个。故选B。
3．下列各数是正数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
既不是正数，也不是负数；是正数； 和都是负数．
故选：．
【点睛】
本题考查的是正数，熟练掌握正数的定义是解题的关键.
必考点2 实数中的几个概念
1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a的相反数是 -a； （2）a和b互为相反数a+b=0
2、倒数：
（1）实数a（a≠0）的倒数是；（2）a和b 互为倒数；（3）注意0没有倒数
3、绝对值：
（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：
（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4、平方根与立方根
（1）平方根，算术平方根：设a≥0，称叫a的平方根，叫a的算术平方根。
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）立方根：叫实数a的立方根。
（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
【典例2】2019的倒数的相反数是（ ）
A．-2019B．C．D．2019
【答案】B
【解析】
2019的倒数是，
的相反数为，
所以2019的倒数的相反数是，
故选B．
【点睛】
本题考查了倒数和相反数，熟练掌握倒数和相反数的求法是解题的关键．
【举一反三】
4．的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点到原点的距离是，所以，的绝对值是，故选C。
5．下列四个数：，，，中，绝对值最大的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
∵|-3|=3，|-0.5|=0.5，||=，||=且0.5＜＜＜3，
∴所给的几个数中，绝对值最大的数是-3．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了实数大小比较的方法以及绝对值的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
必考点3 实数的混合运算
实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。
【典例3】计算：．
【答案】
【解析】
解：原式
【点睛】
考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【举一反三】
6．计算：
【答案】2019.
【解析】
解：原式．
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
必考点4 有效数字和科学记数法
1、科学记数法：设N＞0，则N= a×（其中1≤a＜10，n为整数）。
2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字。
【典例4】太阳距离银河系中心约为250000000000000000公里，其中数据250000000000000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
将250000000000000000用科学记数法表示为．
故选B．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【举一反三】
7.第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于2019年4月25日至27日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款250000000000元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数字250000000000用科学记数法表示，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
数字250000000000用科学记数法表示，正确的是
故选：B．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
必考点5 整式的概念与整式运算
1、概念
（1）单项式：像x、7、，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。
单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。
（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。
升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。
（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
2、运算
（1）整式的加减：
合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。
去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。
添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。
整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。
（2）整式的乘除：
幂的运算法则：其中m、n都是正整数
同底数幂相乘：；同底数幂相除：；幂的乘方：积的乘方：。
单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。
乘法公式：
平方差公式：；
完全平方公式：，
【典例5】下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
A、，故本选项错误；B、，故本选项错误；
C、，正确；D、，故本选项错误，故选C．
【点睛】
本题考查了单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质．熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
【举一反三】
8.下列计算错误的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
选项A，单项式×单项式，，选项正确
选项B，积的乘方，，选项正确
选项C，同底数幂的除法，，选项错误
选项D，合并同类项，，选项正确
故选：C．
【点睛】
本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练运用各运算公式是解题的关键．
9.若.则___________.
【答案】4
【解析】
∵
∴
【点睛】
本题考查了同底数幂相乘的逆运算，幂的乘方逆运算，掌握运算法则即可求解.
10.若是关于的完全平方式，则__________．
【答案】7或-1
【解析】
∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式，
∴2（m-3）=±8，
解得：m=-1或7，
故答案为-1或7．
点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．
必考点6 因式分解
1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。
2、常用的因式分解方法：
（1）提取公因式法：
（2）运用公式法：
平方差公式：；完全平方公式：
（3）十字相乘法：
（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。
（5）运用求根公式法：若的两个根是、，则有：
3、因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；
（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
（4）最后考虑用分组分解法。
【典例6】分解因式：_____．
【答案】
【解析】
原式
.
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
【举一反三】
11.分解因式：_______．
【答案】
【解析】
解：原式．
故答案为：
【点睛】
本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有a的二次项，a的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．
必考点7 分式及其运算
1、分式定义：形如的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。
（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B≠0时，分式有意义。
（2）分式的值为0：A=0，B≠0时，分式的值等于0。
2、分式的基本性质：
（1）；（2）
3、分式的运算：
（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。
（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。
（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。
（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。
【典例7】计算的正确结果是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
原式
.
故选B．
【点睛】
本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用．
【举一反三】
12.先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
．
∵．
，，
，．
．
原式的值为．
【点睛】
本题是分式化简求值题，需要熟练掌握通分和因式分解及分式乘除法运算．
必考点8 二次根式及其运算
1、二次根式的概念：式子叫做二次根式。
（1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。
（2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。
（3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。
（4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：与；与）
2、二次根式的性质：
（1） ；（2）；（3）（a≥0，b≥0）；（4）
3、运算：
（1）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。
（2）二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）。
（3）二次根式的除法：
二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。
【典例8】 函数自变量x的取值范围是 _____.
【答案】x≥1且x≠3
【解析】
根据题意得：，解得x≥1，且x≠3，即：自变量x取值范围是x≥1且x≠3．故答案为x≥1且x≠3．
考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
【举一反三】
13.计算的结果是_____________．
【答案】0
【解析】
原式＝2-2＝0．
故答案为0．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
1.在实数，，，中有理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
在实数，，，中＝2，有理数有，共2个．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别.
2.的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】
．故选：B．
【点睛】
本题考查绝对值，解题的关键是掌握绝对值的计算.
3.若则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
解：∵0＜x＜1，
∴可假设x=0.1，
则，x2=（0.1）2=
<0.1<10
x2故选C
4.宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资1526000000元人民币数1526000000用科学记数法表示为（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【解析】
数字1526000000科学记数法可表示为1.526×109元．
故选C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
A.，故此选项错误；
B.，故此选项错误；
C.，故此选项错误；
D.，正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了平方根和算术平方根的性质以及立方根的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
6.估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【答案】C
【解析】
解：=2+6=2+
又因为4＜＜5
所以6＜2+＜7
故答案为C.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，其中明确化简方向和正确的估值是解题的关键.
7.下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
解：A．，此选项计算正确；
B．，此选项计算错误；
C．，此选项计算错误；
D．，此选项计算错误；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式和单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则．
8.已知（m-n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（ ）
A．10B．6C．5D．3
【答案】C
【解析】
根据完全平方公式可得，，再把两式相加即可求得结果.
由题意得，
把两式相加可得，则
故选C.
9.函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．且B．C．D．
【答案】A
【解析】
解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+2≥0且x-1≠0，
解得：x≥-2且x≠1．
故选：A．
10.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. 是最简二次根式，符合题意，
故选D.
【点睛】
本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键.
11.单项式与是同类项，则______．
【答案】1
【解析】
解：由题意知，即，
∴，，，
则，
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了同类项的定义和二次根式的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项的定义，难度一般．
12.计算：的结果是_____.
【答案】
【解析】
=
=
=(5-4)2018×
=+2，
故答案为+2.
【点睛】
本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
13.因式分解：m2n+2mn2+n3＝_____．
【答案】n（m+n）2
【解析】
解：m2n+2mn2+n3
＝n（m2+2mn+n2）
＝n（m+n）2．
故答案为：n（m+n）2
【点睛】
此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握运算法则.
14.计算的结果是__________.
【答案】3
【解析】
解：，
故答案为3
【点睛】
本题考查了二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键.
15.计算：2sin60°+|2|+（﹣1）﹣1
【答案】3.
【解析】
2sin60°+|2|+（﹣1）﹣1
＝221﹣（﹣2）
21
＝3.
16.先化简，再求值：，其中．
【答案】1
【解析】
解：原式
将代入原式
【点睛】
考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变.