2023省哈尔滨师大附中高二上学期开学考试数学试题含答案

哈师大附中 2021 级高二上学期开学数学试题

一、选择题 (本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的)

1. 在复平面内, 复数 所对应的点关于虚轴对称, 若 , 则复数

A.

B.

C.

D.

2. 如图, 水平放置的 的斜二测直观图为 , 已知 , 则 的周长为

A. 6

B. 8

C.

D.

3. 已知在 中, , 若三角形有两解, 则 的取值范围是

A.

B.

C.

D.

4. 为庆祝中国共产党成立 100 周年, 某市举办 “红歌大传唱” 主题活动, 以传承红色 革命精神, 践行社会主义路线, 某高中有高一、高二、高三分别 600 人、500人、700 人, 欲采用分层抽样法组建一个 36 人的高一、高二、高三的红歌传唱队, 则应抽取高三

A. 10 人

B. 12 人

C. 14 人

D. 16 人

5. 已知向量 满足 , 且 与 反向, 则

A. 36

B. 48

C. 57

D. 64

6. 的三个内角 所对的边分别为 , 且 , 其面积 为 2 , 则 的外接圆的直径为

A.

B.

C. 4

D. 5

7. 某圆锥的母线长为 2 , 侧面积为 , 则其体积为

A.

B.

C.

D.

8. 从 2 名男生和 2 名女生中选 2 人参加校庆汇报演出 , 则选到一男一女的概率为

A.

B.

C.

D.

9. 已知四面体 的所有棱长都相等, 其外接球的体积等于 , 则下列结论正确的个数为

①四面体 的棱长均为 2 :

②四面体 的体积等于 ;

③异面直线 与 所成角为 .

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

10. 已知 是边长为 2 的正三角形 的边 上的一点, 则 的取值范围是

A.

B.

C.

D.

11. 已知正方体 的棱长为 分别是棱 的中点, 动点 在正方形 (包括边界) 内运动, 若 面 , 则线段 的长度范围是

A.

B.

C.

D.

12. 在等腰 中, , 若 边上的中线 的长为 3 , 则 的面积的最大值是

A. 6

B. 12

C. 18

D. 24

二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分)

13. 已知平面向量 满足 , 则 的夹角为              .

14.已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据: 甲组: , ; 乙组: . 若甲组数据的第 30 百分位数 和乙组数据的中位数相等, 则 等于              .

15. 设 的内角 所对的边为 , 则下列命题正确的有              .

①. 若 , 则

②. 若 , 则

③. 若 , 则

④. 若 , 则

16. 已知正三棱雉 侧棱长为 , 且 , 底面边长为 2 , 则 外接球表面的最小值为              .

三、解答题 (解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)

17. (本小题 10 分).

树立和践行 “绿水青山就是金山银山, 坚持人与自然和谐共生” 的理念越来越深入人心,

已形成了全民自觉参与, 造福百姓的良性循环. 据此, 某网站推出了关于生态文明建设进 展情况的调查, 现从参与调查的人群中随机选出 20 人的样本, 并将这 20 人按年龄分组: 第 1 组 , 第 2 组 , 第 3 组 , 第 4 组[45, 55）, 第 5 组 , 65], 得到的频率分布直方图如图所示.

(1) 求样本中第 3 组人数;

(2) 根据频率分布直方图, 估计参与调查人群的样本数据的平均数;

(3) 若从年龄在 的人中随机抽取两位, 求至少有一人的年龄在 内的概率.

18. （本小题 12 分）.

在 中, 内角 所对的边分别是 , 已知 .

( I ) 求角 的大小;

(II) 若 , 求 的取值范围.

19. (本小题 12 分).

如图, 直三棱柱 的体积为 的面积为 .

(1) 求 到平面 的距离;

(2) 设 为 的中点, , 平面 平面 , 求二面角

的正弦值.20. (本小题 12 分).

甲、乙, 丙三个同学做同一道数学题, 且他们能否解答正确该题互不影响.已知甲解答正确的概率为 , 乙解答正确的概率为 , 丙解答正确的概率为 , 甲、乙二人中至少有一人解答正确的概率为 .

(1)若 , 求甲, 乙二人中至多有一人解答正确的概率;

(2)若 , 求甲, 乙、丙三人中恰有两人解答正确的概率.

21. (本小题 12 分).

已知 的内角 的对边分别是 , 且 .

(1)求角 的大小;

(2)若 , 求 面积的最大值.

22. (本小题 12 分).

如图, 在平行四边形 中, , 四边形 为矩形, 平面 平面 , 点 在线段 上运动.

(1)当 时, 求点 的位置;

(2)在 (1) 的条件下, 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.